证因极限存在与否与函数在该点的函数值无关,故可 设f(a)=F(a)=0,则由条件知f(x),F(x)在区间|a,xl(x,a 满足柯西中值定理的条件,即有 f(x) f(x)-f(a) f(s (在x与a之间), F(x) F(x)-F(a F(s) 令x>,则5)a,又因极限lin(x) x→F(x) 存在,即得 f(x lin x少0F(x)x→aF(x) 下
证 因极限存在与否与函数在该点的函数值无关，故可 设f (a)=F(a)=0，则由条件知f (x), F(x)在区间[a, x]([x, a]) 满足柯西中值定理的条件，即有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f a f F x F x F a F ξ ξ − ′ = = − ′ (ξ 在x与a之间), 令x→a，则ξ→a，又因极限 存在，即得 ( ) lim ( ) x a f x → F x ′′ ( ) ( ) lim lim . ( ) ( ) x a x a f x f x → → F x F x ′ = ′ g
例1求lm 3x+2 x→1x3-x2-x+1 解当x1时,分子和分母的极限均为零,故由洛必达 法则,得 3x+2 3x2-3 6x lim x1x3-x2-x+1x13x2-2x-1x16x-2 注在用洛必达法则求极限的过程中,可能要多次使用 洛必达法则,才能最终求出极限 下
例1 求 ． 3 3 2 1 3 2 lim x 1 x x → x x x − + − − + 解 当x→1时，分子和分母的极限均为零，故由洛必达 法则，得 3 2 3 2 2 1 1 1 3 2 3 3 6 3 lim lim lim . x x 1 3 2 1 x 6 2 2 x x x x → → x x x x x → x − + − = = = − − + − − − 注 在用洛必达法则求极限的过程中，可能要多次使用 洛必达法则，才能最终求出极限．
例2求lim e -2x x→0x-Sinx 解 2 e te-2 lim m Im x→>0x-Sinx x→>0 COSX x→>0sinx e+e lim x→>0-cOsx 下
例2 求 ． 0 2 lim . sin x x x e e x x x − → − − − 解 0 0 0 0 2 2 lim lim lim sin 1 cos sin lim 2. cos x x x x x x x x x x x x e e x e e e e x x x x e e x − − − → → → − → − − + − − = = − − + = = − −
注我们指出,如果把极限过程换成xa+或x>-或 x>+∞或x→+或x>,只要m()是型的,并且 F 极限mf(x存在或为无穷大),则仍然有 F"(x) lim f(x)_1f( F(x F(x)) 这里不再一一证明 下
注 我们指出，如果把极限过程换成x→a+或x→a-或 x→+∞或x→+∞或x→∞，只要 是 型的，并且 极限 存在(或为无穷大)，则仍然有 ( ) lim ( ) f x F x 0 0 ( ) lim ( ) f x F x ′ ′ ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) f x f x F x F x ′ = ′ 这里不再一一证明．
例3求 arctan --arctan lim x X+ x→0 x+1 解 arctan--arctan x+ 1+x21+(1+x) Im Im x→0 x→0 xx+1 +(1+x)]+1+x x→0 (1+x)2+x 下
1 1 arctan arctan 1 lim . 1 1 1 x x x x x →∞ − + − + 例3 求 解 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 arctan arctan 1 1 1 1 lim lim 1 1 1 1 1 1 [1 1 ] 1 lim 2. 1 x x x x x x x x x x x x x x x →∞ →∞ →∞ − + − + + + + = − − + + + − + + + + = = − + +