张量代数一反称化算子及反对称张量 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 015年4月3日 1知识要素 11对称化算子与反称化算子 定义1.1(置换算子).设有置换σ∈P,置换算子l。定义为 I:(皿")3φ→Iφ∈(Rm) 此处,(重)(u1,…,tr)会更(u(1,…,t(r)∈R 性质11(置换算子的线性性).对重,业∈(Rm)和Va,B∈R,有 I(a更+)=al重+BI 证明根据置换算子的定义,以及张量的线性性,有 I(a更+B重)( ,ur)=(a更+)( =a更(u(1),…,n(1)+v(u(1),…,(r) =al更(u1,…,)+Bly(1 =(al+BI业)(u1 根据置换算子的定义,任意张量经过置换算子作用之后可以表示为 (I重)(u1,…,ur)=更(ur(1),…,(r) (u(1),g1)m…(u(r),91n)m更(g2,…,g") (v1,9a-1(4)m…(tr ga-1(1)⑧…⑧9-1(x1)( ), 即有 l中= go-l(ir 又可得 =φ 91…⑧g
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 3 日 1 知识要素 1.1 对称化算子与反称化算子 定义 1.1 (置换算子). 设有置换 σ ∈ Pr, 置换算子 Iσ 定义为 Iσ : T r (R m) ∋ Φ 7→ IσΦ ∈ T r (R m). 此处, (IσΦ)(u1, · · · ,ur) , Φ(uσ(1), · · · ,uσ(r) ) ∈ R. 性质 1.1 (置换算子的线性性). 对 ∀ Φ, Ψ ∈ T r (R m) 和 ∀ α, β ∈ R, 有 Iσ(αΦ + βΨ) = αIσΦ + βIσΨ. 证明 根据置换算子的定义, 以及张量的线性性, 有 Iσ(αΦ + βΨ)(u1, · · · ,ur) = (αΦ + βΨ)(uσ(1), · · · ,uσ(r) ) = αΦ(uσ(1), · · · ,uσ(r) ) + βΨ(uσ(1), · · · ,uσ(r) ) = αIσΦ(u1, · · · ,ur) + βIσΨ(u1, · · · ,ur) = (αIσΦ + βIσΨ)(u1, · · · ,ur). 根据置换算子的定义, 任意张量经过置换算子作用之后可以表示为 (IσΦ)(u1, · · · ,ur) = Φ(uσ(1), · · · ,uσ(r) ) = (uσ(1), gi1 )Rm · · ·(uσ(r) , gir )RmΦ(g i1 , · · · , g ir ) = Φ i1···ir (u1, gσ−1(i1) )Rm · · ·(ur, gσ−1(ir) )Rm = Φ i1···ir gσ−1(i1) ⊗ · · · ⊗ gσ−1(ir) (u1, · · · ,ur), 即有 IσΦ = Φ i1···ir gσ−1(i1) ⊗ · · · ⊗ gσ−1(ir) . 又可得 IσΦ = Φ σ(i1)···σ(ir) gi1 ⊗ · · · ⊗ gir . 1
张量代数一反称化算子及反对称张量谢锡麟 定义1.2(对称张量与反对称张量).如果张量φ∈丌(Rm)满足Lφ=更,Vσ∈P或者 φ()o()=φt,则张量更称为对称张量,记作更∈Sym或者中∈∥r(Rm).如果张量 更∈(Rm)对a∈P满足L更=sm更或者(a)()=sno,则张量更称为反 对称张量,记作更∈Skw或者更∈A(Rm) 定义1.3(对称化算子和反称化算子),.对称化算子和反称化算子分别定义为 ():(R口四会∑l∈Sym ():9()→如1∑s∈(" 对于对称化算子,设Vr∈P,则有 I9=-l l rog p= 9=9 因此更是对称张量. 对于反称化算子,设Vr∈P,则有 1)=∑1o I更=8gnrm更 a∈Pr 因此凶更是反对称张量. 性质12(反称化算子基本性质).反称化算子具有如下基本性质 1.线性性:对V更,亚∈(Rm)和va,B∈R,有 a+B)=a重+B重; ,更一般地,有k=a,k∈N 3.对vφ∈丌(Rm),业∈(Rm),有 (⑧业)=m(更业=8业=(重⑧业 证明可按置换算子的基本性质,证明反称化算子的基本性质 1.根据置换算子的线性性,这是显然的 2.设更∈少(Rm),则有 2更=m(a/垂)= nolad ∑ sgnBIB ∑ ∑=以4 由此,即有a/2=a.再根据数学归纳法,易于证明ak=
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 定义 1.2 (对称张量与反对称张量). 如果张量 Φ ∈ T r (R m) 满足 IσΦ = Φ , ∀ σ ∈ Pr 或者 Φ σ(i1)···σ(ir) = Φ i1···ir , 则张量 Φ 称为对称张量, 记作 Φ ∈ Sym 或者 Φ ∈ S r (R m). 如果张量 Φ ∈ T r (R m) 对 ∀ σ ∈ Pr 满足 IσΦ = sgn σΦ 或者 Φ σ(i1)···σ(ir) = sgn σΦi1···ir , 则张量 Φ 称为反 对称张量, 记作 Φ ∈ Skw 或者 Φ ∈ Λ r (R m). 定义 1.3 (对称化算子和反称化算子). 对称化算子 S 和反称化算子 A 分别定义为 S (Φ) : T r (R n ) ∋ Φ 7→ S Φ , 1 r! ∑ σ∈Pr IσΦ ∈ Sym; A (Φ) : T r (R n ) ∋ Φ 7→ A Φ , 1 r! ∑ σ∈Pr sgn σIσΦ ∈ Λ r (R n ). 对于对称化算子, 设 ∀ τ ∈ Pr, 则有 IτS Φ = 1 r! Iτ (∑ σ∈Pr IσΦ ) = 1 r! ∑ σ∈Pr Iτ◦σΦ = 1 r! ∑ γ∈Pr IγΦ = S Φ. 因此 S Φ 是对称张量. 对于反称化算子, 设 ∀ τ ∈ Pr, 则有 IτA Φ = 1 r! Iτ (∑ σ∈Pr sgn σIσΦ ) = 1 r! ∑ σ∈Pr sgn σIτ◦σΦ = 1 r! sgn τ ∑ γ∈Pr IγΦ = sgn τA Φ. 因此 A Φ 是反对称张量. 性质 1.2 (反称化算子基本性质). 反称化算子具有如下基本性质: 1. 线性性: 对 ∀ Φ, Ψ ∈ T r (R m) 和 ∀ α, β ∈ R, 有 A (αΦ + βΨ) = αA Φ + βA Ψ; 2. A 2 = A , 更一般地, 有 A k = A , k ∈ N; 3. 对 ∀ Φ ∈ T r (R m), Ψ ∈ T s (R m), 有 A (Φ ⊗ Ψ) = A (A Φ ⊗ Ψ) = A (Φ ⊗ A Ψ) = A (A Φ ⊗ A Ψ). 证明 可按置换算子的基本性质, 证明反称化算子的基本性质. 1. 根据置换算子的线性性, 这是显然的. 2. 设 Φ ∈ T r (R m), 则有 A 2Φ = A (A Φ) = A ( 1 r! ∑ σ∈Pr sgn σIσΦ ) = 1 r! ∑ β∈Pr sgn βIβ ( 1 r! ∑ σ∈Pr sgn σIσΦ ) = 1 r! ∑ β∈Pr ( 1 r! ∑ σ∈Pr sgn (β ◦ σ)Iβ◦σΦ ) = 1 r! ∑ β∈Pr A Φ = A Φ. 由此, 即有 A 2 = A . 再根据数学归纳法, 易于证明 A k = A . 2
张量代数一反称化算子及反对称张量 谢锡麟 3.证明a(⑧业)=(重⑧重).由 a(重y)= gnaI更⑧业 ∑n0(更8) 此处1更⑧=φ)mpn-g18…8918918…⑧91,作置换o∈P的延拓 a∈P+1,如下所示: ∈Pr,a= ∈Pr+s, o(i1) o(i1) a(ir)j1 因此有I更⑧业=b{更⑧业).所以,有 (8业)=以∑0m( (r+s)! sgnBIBF ∑ sonia(更8业) B ∑s(。0)l(④重) (⑧业) 用类似的方法可以证明a(φ⑧业)={重⑧业 按以上结论,可得 (中⑧业)=m(/更⑧业)=m(s更⑧业) 1.2反对称张量的外积运算 定义1.4(外积运算).反对称张量的外积运算定义如下 ∧:P(m)×A(Rm)3便,}→更∧业∈AP+(Rmn) 其中 更∧业p+q)! p! g! anglo(⑧ p! g! 性质1.3(外积运算基本性质).外积运算具有如下基本性质 线性性:对V更,业∈AP(Rm),日∈A(Rm)和va,B∈R,有 a+)∧日=更∧白+ 2.对重∈P(Rm),业∈A9(Rm),O∈A(Rm),有 A日=A四A日)=如十十(日)∈P+(Rm) 由此,上述两种表达都统一记作更∧亚∧日;
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 3. 证明 A (Φ ⊗ Ψ) = A (A Φ ⊗ Ψ). 由 A (A Φ ⊗ Ψ) = A [( 1 r! ∑ σ∈Pr sgn σIσΦ ) ⊗ Ψ ] = A [ 1 r! ∑ σ∈Pr sgn σ (IσΦ ⊗ Ψ) ] . 此处 IσΦ ⊗ Ψ = Φ σ(i1)···σ(ir)Ψ j1···js gi1 ⊗ · · · ⊗ gir ⊗ gj1 ⊗ · · · ⊗ gjs , 作置换 σ ∈ Pr 的延拓 σˆ ∈ Pr+1, 如下所示: σ = ( i1 · · · ir σ(i1) · · · σ(ir) ) ∈ Pr, σˆ = ( i1 · · · ir j1 · · · js σ(i1) · · · σ(ir) j1 · · · js ) ∈ Pr+s, 因此有 IσΦ ⊗ Ψ = Iσˆ(Φ ⊗ Ψ). 所以, 有 A (A Φ ⊗ Ψ) = A [ 1 r! ∑ σ∈Pr sgn σIσˆ(Φ ⊗ Ψ) ] = 1 (r + s)! ∑ βˆ∈Pr+s sgn βIˆ βˆ [ 1 r! ∑ σ∈Pr sgn σIσˆ(Φ ⊗ Ψ) ] = 1 r! ∑ σ∈Pr 1 (r + s)! ∑ βˆ∈Pr+s sgn (βˆ ◦ σˆ)I βˆ◦σˆ (Φ ⊗ Ψ) = 1 r! ∑ σ∈Pr A (Φ ⊗ Ψ) = A (Φ ⊗ Ψ). 用类似的方法可以证明 A (Φ ⊗ Ψ) = A (Φ ⊗ A Ψ). 按以上结论, 可得 A (Φ ⊗ Ψ) = A (A Φ ⊗ Ψ) = A (A Φ ⊗ A Ψ). 1.2 反对称张量的外积运算 定义 1.4 (外积运算). 反对称张量的外积运算定义如下: ∧ : Λ p (R m) × Λ q (R m) ∋ {Φ, Ψ} 7→ Φ ∧ Ψ ∈ Λ p+q (R m), 其中 Φ ∧ Ψ , (p + q)! p! q! A (Φ ⊗ Ψ) = 1 p! q! ∑ σ∈Pp+q sgn σIσ(Φ ⊗ Ψ). 性质 1.3 (外积运算基本性质). 外积运算具有如下基本性质: 1. 线性性: 对 ∀ Φ, Ψ ∈ Λ p (R m), Θ ∈ Λ q (R m) 和 ∀ α, β ∈ R, 有 (αΦ + βΨ) ∧ Θ = αΦ ∧ Θ + βΨ ∧ Θ; 2. 对 ∀ Φ ∈ Λ p (R m), Ψ ∈ Λ q (R m), Θ ∈ Λ r (R m), 有 (Φ ∧ Ψ) ∧ Θ = Φ ∧ (Ψ ∧ Θ) = (p + q + r)! p!q!r! A (Φ ⊗ Ψ ⊗ Θ) ∈ Λ p+q+r (R m), 由此, 上述两种表达都统一记作 Φ ∧ Ψ ∧ Θ; 3
张量代数一反称化算子及反对称张量 谢锡麟 3.对更∈A(Rm),重∈A9(Rm),则有 y=(-1) 证明可基于反称化算子的基本性质,证明外积运算的基本性质 1.根据反称化算子的线性性,这是显然的 2.根据反称化算子的性质(3),有 更∧业)A日 sy(业)∧ (P+q)!(p+q y(+!(更8y)6 p! qlr 同理可得 ∧(业∧白) +r20(908e p! q!r! 因此有 ∧业)A日=更∧业∧) (p+q+m)d(④8y8日) pl q 3.根据外积运算的定义,有 (P+0)/( p! q! p! q! ∑sLn匝更ψ) ∑ sgn al(yg18…891,89n18…⑧g pl q! pl q! ∑sgnoφlh18…89n89n8…89n) P 引入置换 1 ∈P Jg 此置换将哑标i,…,与哑标j,…,j整体换位(此处假设了q<p,另一种情况的构 造方法完全类似),则有 更∧ goT 1or(918…③gn③9 ⑧g) pl q! sgno'1py 1"yala 89+-1() plg! gnr 89n③91②…9) d∈Pp+q Ty∧更 o∈Pp+q
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 3. 对 ∀ Φ ∈ Λ p (R m), Ψ ∈ Λ q (R m), 则有 Φ ∧ Ψ = (−1)pqΨ ∧ Φ. 证明 可基于反称化算子的基本性质, 证明外积运算的基本性质. 1. 根据反称化算子的线性性, 这是显然的. 2. 根据反称化算子的性质 (3), 有 (Φ ∧ Ψ) ∧ Θ = (p + q)! p!q! A (Φ ⊗ Ψ) ∧ Θ = (p + q)! p!q! (p + q + r)! (p + q)!r! A [A (Φ ⊗ Ψ) ⊗ Θ] = (p + q + r)! p!q!r! A (Φ ⊗ Ψ ⊗ Θ). 同理可得 Φ ∧ (Ψ ∧ Θ) = (p + q + r)! p!q!r! A (Φ ⊗ Ψ ⊗ Θ). 因此有 (Φ ∧ Ψ) ∧ Θ = Φ ∧ (Ψ ∧ Θ) = (p + q + r)! p!q!r! A (Φ ⊗ Ψ ⊗ Θ). 3. 根据外积运算的定义, 有 Φ ∧ Ψ = (p + q)! p!q! A (Φ ⊗ Ψ) = 1 p!q! ∑ σ∈Pp+q sgn σIσ(Φ ⊗ Ψ) = 1 p!q! ∑ σ∈Pp+q sgn σIσ(Φ i1···ip Ψ j1···jq gi1 ⊗ · · · ⊗ gip ⊗ gj1 ⊗ · · · ⊗ gjq ) = 1 p!q! ∑ σ∈Pp+q sgn σΦi1···ip Ψ j1···jq Iσ(gi1 ⊗ · · · ⊗ gip ⊗ gj1 ⊗ · · · ⊗ gjq ). 引入置换 τ −1 = ( i1 · · · iq iq+1 · · · ip j1 · · · jq j1 · · · jq i1 · · · ip−q ip−q+1 · · · ip ) ∈ Pp+q, 此置换将哑标 i1, · · · , ip 与哑标 j1, · · · , jq 整体换位 (此处假设了 q < p, 另一种情况的构 造方法完全类似). 则有 Φ ∧ Ψ = 1 p!q! ∑ σ∈Pp+q sgn (σ ◦ τ )Φ i1···ip Ψ j1···jq Iσ◦τ (gi1 ⊗ · · · ⊗ gip ⊗ gj1 ⊗ · · · ⊗ gjq ) = 1 p!q! sgn τ ∑ σ∈Pp+q sgn σΦi1···ip Ψ j1···jq Iσ(gτ−1(i1) ⊗ · · · ⊗ gτ−1(ip) ⊗ gτ−1(j1) ⊗ · · · ⊗ gτ−1(jq) ) = 1 p!q! sgn τ ∑ σ∈Pp+q sgn σΦi1···ip Ψ j1···jq Iσ(gj1 ⊗ · · · ⊗ gjq ⊗ gi1 ⊗ · · · ⊗ gip ) = sgn τ 1 p!q! ∑ σ∈Pp+q sgn σIσ(Ψ ⊗ Φ) = sgn τΨ ∧ Φ. 4
张量代数一反称化算子及反对称张量 谢锡麟 以下考虑sgnτ,依次将i,…,i移动到j,…,j之前,总共需要γ次操作,因此 综上,有 更∧业=(-1)P∧ 13反对称张量的表示 反对称张量也常称为外形式,r阶反对称张量则称为τ-形式.显然R上全体r形式组成的 空间是r阶张量空间(Rm)的一个子空间,称为Rm上的r-形式空间,记作A(Rm) 定义1.5(简单r-形式).设u1,…,ur∈Rm,则a1A…Aar∈Ar(Rm)称为简单r-形式 根据外积运算的基本性质(1),有 au18…⑧ur)=r!af(u1⑧…⑧ur)∈A(Rm) 即简单r-形式是r阶反对称张量 定理1.4.设u1,……,u∈Rm,U1,…,r∈Rm,则有 (u1, u1)Rm u1A…∧ar(U1, (ur,℃1)Rm 证明根据外积的定义可有 u1∧…∧ur(U1, r)=r!(1②…⑧ur)( sunol 8ur)(v1,……,Ur) ∈Pr sgna(u18…8ur)(v(),…,vn()(置换算子的定义) ∑gn(u1,n()lxm…(u-,n()m(简单张量的定义) (u1,v1)R (行列式的定义 (ur,1) (ur,℃)R 推论1.41.对Va∈P,有 In(gn∧…^g1)=g(x)A…∧gn(a)=gn-1(1)A…∧ = shogi1∧…∧9;1
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 以下考虑 sgn τ , 依次将 i1, · · · , ip 移动到 j1, · · · , jq 之前, 总共需要 pq 次操作, 因此 sgn τ = (−1)pq . 综上, 有 Φ ∧ Ψ = (−1)pqΨ ∧ Φ. 1.3 反对称张量的表示 反对称张量也常称为外形式, r 阶反对称张量则称为 r-形式. 显然 R m 上全体 r-形式组成的 空间是 r 阶张量空间 T r (R m) 的一个子空间, 称为 R m 上的 r-形式空间, 记作 Λ r (R m). 定义 1.5 (简单 r-形式). 设 u1, · · · ,ur ∈ R m, 则 u1 ∧ · · · ∧ ur ∈ Λ r (R m) 称为简单 r-形式. 根据外积运算的基本性质 (1), 有 u1 ∧ · · · ∧ ur = r! 1! · · · 1!A (u1 ⊗ · · · ⊗ ur) = r!A (u1 ⊗ · · · ⊗ ur) ∈ Λ r (R m). 即简单 r-形式是 r 阶反对称张量. 定理 1.4. 设 u1, · · · ,ur ∈ R m, v1, · · · , vr ∈ R m, 则有 u1 ∧ · · · ∧ ur(v1, · · · , vr) = (u1, v1)Rm · · · (u1, vr)Rm . . . . . . (ur, v1)Rm · · · (ur, vr)Rm . 证明 根据外积的定义可有 u1 ∧ · · · ∧ ur(v1, · · · , vr) = r!A (u1 ⊗ · · · ⊗ ur)(v1, · · · , vr) = ∑ σ∈Pr sgn σIσ(u1 ⊗ · · · ⊗ ur)(v1, · · · , vr) = ∑ σ∈Pr sgn σ(u1 ⊗ · · · ⊗ ur)(vσ(1), · · · , vσ(r) ) (置换算子的定义) = ∑ σ∈Pr sgn σ(u1, vσ(1))Rm · · ·(ur, vσ(r) )Rm (简单张量的定义) = (u1, v1)Rm · · · (u1, vr)Rm . . . . . . (ur, v1)Rm · · · (ur, vr)Rm (行列式的定义). 推论 1.4.1. 对 ∀ σ ∈ Pr, 有 Iσ(gi1 ∧ · · · ∧ gir ) = gσ(i1) ∧ · · · ∧ gσ(ir) = gσ−1(i1) ∧ · · · ∧ gσ−1(ir) = sgn σgi1 ∧ · · · ∧ gir . 5