张量代数一反称化算子及反对称张量 谢锡麟 证明根据置换算子的定义,有 n(g1A…∧91)(u1,,r)=g1A…^g;1(u(1),…,w() (g1,u()m…(g1,t(n)m h,1) Ur rm gog i1A…∧91,( ur) 同样有 n(gn1A…∧g1)(u1,…,ur) (91 (g1,1)m( (g1,1)e Lr (9(x),1 )(;…,ar), I(92 (g1,()m (gi, uo(r))Rmo-1(1), u1)Rm 1(i1),r)Rm 综上,有 n(g1A…∧91)= snog1A…∧g1=9(x)A…^9(-) 引理1.5.如果反对称张量的分量有两个指标相同,则该分量必为零 证明设更∈A(Rm),则其分量满足 va∈P 设该分量的第i个和第j个指标是相同的,即k=k,令 则有sgna=-1.所以有 0(k=k) 此引理表明,如果某外形式空间r>m,则必然有A(Rm)={0},即仅含有r阶零张量 根据引理1.5(第6页),可以得出如下的反对称张量表示定理
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 证明 根据置换算子的定义, 有 Iσ(gi1 ∧ · · · ∧ gir )(u1, · · · ,ur) = gi1 ∧ · · · ∧ gir (uσ(1), · · · ,uσ(r) ) = (gi1 ,uσ(1))Rm · · · (gi1 ,uσ(r) )Rm . . . . . . (gir ,uσ(1))Rm · · · (gir ,uσ(r) )Rm = sgn σ (gi1 ,u1)Rm · · · (gi1 ,ur)Rm . . . . . . (gir ,u1)Rm · · · (gir ,ur)Rm = sgn σgi1 ∧ · · · ∧ gir (u1, · · · ,ur). 同样有 Iσ(gi1 ∧ · · · ∧ gir )(u1, · · · ,ur) = sgn σ (gi1 ,u1)Rm · · · (gi1 ,ur)Rm . . . . . . (gir ,u1)Rm · · · (gir ,ur)Rm = (gσ(i1) ,u1)Rm · · · (gσ(i1) ,ur)Rm . . . . . . (gσ(ir) ,u1)Rm · · · (gσ(ir) ,ur)Rm = gσ(i1) ∧ · · · ∧ gσ(ir) (u1, · · · ,ur), Iσ(gi1 ∧ · · · ∧ gir )(u1, · · · ,ur) = (gi1 ,uσ(1))Rm · · · (gi1 ,uσ(r) )Rm . . . . . . (gir ,uσ(1))Rm · · · (gir ,uσ(r) )Rm = (gσ−1(i1) ,u1)Rm · · · (gσ−1(i1) ,ur)Rm . . . . . . (gσ−1(ir) ,u1)Rm · · · (gσ−1(ir) ,ur)Rm = gσ−1(i1) ∧ · · · ∧ gσ−1(ir) (u1, · · · ,ur). 综上, 有 Iσ(gi1 ∧ · · · ∧ gir ) = sgn σgi1 ∧ · · · ∧ gir = gσ(i1) ∧ · · · ∧ gσ(ir) . 引理 1.5. 如果反对称张量的分量有两个指标相同, 则该分量必为零. 证明 设 Φ ∈ Λ r (R m), 则其分量满足 Φ σ(k1)···σ(kr) = sgn σΦk1···kr , ∀ σ ∈ Pr. 设该分量的第 i 个和第 j 个指标是相同的, 即 ki = kj . 令 σ = [ 1 · · · i · · · j · · · r 1 · · · j · · · i · · · r ] , 则有 sgn σ = −1. 所以有 Φ k1···ki···kj ···kr = −Φ k1···kj ···ki···kr = −Φ k1···ki···kj ···kr , 即 Φ k1···ki···kj ···kr = 0 (ki = kj ). 此引理表明, 如果某外形式空间 r > m, 则必然有 Λ r (R m) = {0}, 即仅含有 r 阶零张量. 根据引理1.5(第6页)), 可以得出如下的反对称张量表示定理. 6
张量代数一反称化算子及反对称张量 谢锡麟 定理1.6(反对称张量表示定理).设φ∈A(Rm),则反对称张量φ可以表示为 1 ∧9;r 91∧……∧g 1≤i1<…<ir≤m 证明根据引理1.5(第6页),除去φ更中必为零的分量(即有相同指标的分量,即有 8…②9 9a(i1)⑧ 1≤i1<…<ir≤mo∈P l-1(g;⑧…⑧91) ∑[r!a/(g18…89,(反称化算子的定义) ≤i1<…<ir≤m 9 9 r 定理的第一个式子得证.以下证明定理的第二种表示,有 1≤i1<…<i≤m ∑ senado(1).a(in) sonora--(91A…^9n),vo∈P 1≤i1<…<ir≤ ∑((mgn(a)A…^9n(),V∈P 1≤i1<…<ir≤m ∑∑ 中(i)o(x)gn(in) ∧9 1≤i1<…<ir≤m∈Pr ∑ ∧……∧9ir=r! 9 定理1.6(第7页)表明,{g1A…∧9h≤i1<…<≤m为r-形式空间A(Rm)的基,其维数为 m(m-1)…(m-(r-1)= 设有反对称张量更∈A(Rm),业∈A°(Rm),其表示为 则更和v的外积更∧亚的表示为 更∧亚 91∧…∧9;)∧ ∧·…∧ rsy92A…^9nA91A…A9n∈A+(Rm 此结论基于外积运算基本性质1.3(第3页)的(1)和(2)
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—反称化算子及反对称张量 谢锡麟 定理 1.6 (反对称张量表示定理). 设 Φ ∈ Λ r (R m), 则反对称张量 Φ 可以表示为 Φ = Φ i1···ir gi1 ⊗ · · · ⊗ gir = ∑ 16i1<···<ir6m Φ i1···ir gi1 ∧ · · · ∧ gir = 1 r! Φ i1···ir gi1 ∧ · · · ∧ gir . 证明 根据引理1.5(第6页), 除去 Φ 中必为零的分量 (即有相同指标的分量), 即有 Φ = ∑ 16i1<···<ir6m ∑ σ∈Pr Φ σ(i1)···σ(ir) gσ(i1) ⊗ · · · ⊗ gσ(ir) = ∑ 16i1<···<ir6m ∑ σ∈Pr sgn σΦi1···ir gσ(i1) ⊗ · · · ⊗ gσ(ir) = ∑ 16i1<···<ir6m Φ i1···ir ∑ σ∈Pr sgn σIσ−1 (gi1 ⊗ · · · ⊗ gir ) = ∑ 16i1<···<ir6m Φ i1···ir [ r!A (gi1 ⊗ · · · ⊗ gir ) ] (反称化算子的定义) = ∑ 16i1<···<ir6m Φ i1···ir gi1 ∧ · · · ∧ gir . 定理的第一个式子得证. 以下证明定理的第二种表示, 有 Φ = ∑ 16i1<···<ir6m Φ i1···ir gi1 ∧ · · · ∧ gir = ∑ 16i1<···<ir6m sgn σΦσ(i1)···σ(ir) sgn σIσ−1 (gi1 ∧ · · · ∧ gir ), ∀ σ ∈ Pr = ∑ 16i1<···<ir6m Φ σ(i1)···σ(ir) gσ(i1) ∧ · · · ∧ gσ(ir) , ∀ σ ∈ Pr = ∑ 16i1<···<ir6m ∑ σ∈Pr 1 r! Φ σ(i1)···σ(ir) gσ(i1) ∧ · · · ∧ gσ(ir) = 1 r! ∑ i1,··· ,ir Φ i1···ir gi1 ∧ · · · ∧ gir = 1 r! Φ i1···ir gi1 ∧ · · · ∧ gir . 定理1.6(第7页) 表明, {gi1 ∧ · · · ∧ gir }16i1<···<ir6m 为 r-形式空间 Λ r (R m) 的基, 其维数为 ( r m ) = m(m − 1)· · ·(m − (r − 1)) = m! (m − r)!. 设有反对称张量 Φ ∈ Λ r (R m), Ψ ∈ Λ s (R m), 其表示为 Φ = 1 r! Φ i1···ir gi1 ∧ · · · ∧ gir , Ψ = 1 s! Ψ j1···js gj1 ∧ · · · ∧ gjs , 则 Φ 和 Ψ 的外积 Φ ∧ Ψ 的表示为 Φ ∧ Ψ = ( 1 r! Φ i1···ir gi1 ∧ · · · ∧ gir ) ∧ ( 1 s! Ψ j1···js gj1 ∧ · · · ∧ gjs ) = 1 r!s! Φ i1···irΨ j1···js gi1 ∧ · · · ∧ gir ∧ gj1 ∧ · · · ∧ gjs ∈ Λ r+s (R m). 此结论基于外积运算基本性质1.3(第3页) 的 (1) 和 (2). 7