曲线坐标系 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 1知识要素 11曲线坐标系 一般有限维 Euclid空间之间的映照可以表示为 f(e) f(a):RP) Dr33 f(a) f(a) 其在xo∈Dx的可微性定义如下 定义1.1(向量值映照可微性).存在线性变换Df(xo)∈x(R°,Rq),满足 f(ao +h)-f(ao)= Df(ao)(h)+o(IhJRp)ERS 则称函数f(x)在点x处是可微的 f(a+h)-f()=Df(a)h f(e) f(x+h)-∫(x)=Df(c)h Figure1:向量值映照可微性示意 向量值映照的可微性,指自变量变化所引起的因变量的变化可以由自变量空间至因变量空 间之间的线性映照近似,误差为一阶无穷小量,如图1所示 ①Dx表示Dx的内点集,指v∈Dx,彐B6(x)CDx
张量分析讲稿谢锡麟 曲线坐标系 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 1.1 曲线坐标系 一般有限维 Euclid 空间之间的映照可以表示为 f(x) : R p ⊃ Dx ∋ x = x 1 . . . x p 7→ f(x) = f 1 (x) . . . f q (x) ∈ R q , 其在 x0 ∈ ◦ Dx 的可微性定义如下➀. 定义 1.1 (向量值映照可微性). 存在线性变换 Df(x0) ∈ L (R p , R q ), 满足 f(x0 + h) − f(x0) = Df(x0)(h) + o(|h|Rp ) ∈ R q , 则称函数 f(x) 在点 x 处是可微的. x 1 x i x p O hˆ h˜ x x + hˆ x + h˜ Dx y 1 y α y q O f(x) f(x + hˆ) f(x + h˜) f(x + hˆ) − f(x) .= Df(x)hˆ f(x + h˜) − f(x) .= Df(x)h˜ f Figure 1: 向量值映照可微性示意 向量值映照的可微性，指自变量变化所引起的因变量的变化可以由自变量空间至因变量空 间之间的线性映照近似，误差为一阶无穷小量，如图1所示. ➀ ◦ Dx 表示 Dx 的内点集, 指 ∀ x ∈ ◦ Dx, ∃ Bδ(x) ⊂ Dx. 1
曲线坐标系 谢锡麟 分析线性映照Df(xo)的表达式,有 Df(xo)(h)=Df(x0h2i1+…+h"i)=hlDf(xo)(i1)+…+hPDf(axo)(in) f(ao(in f(ao(ip) Df(co)h∈R?, 式中Df(x0)∈RxP称为 Jacobi矩阵 考虑特殊的自变量增量h=λi,则有 ∫(co+λi)-∫(xo)=Df(x0)·(λi)+o()=ADf(c0)i1+o(A)∈Rq 即有 彐lim f(x0+λi)-f(c0) =Df(c0)i1∈R 再按向量值映照总体极限存在性对应其各分量极限的存在性,有 f(mo+λi)-f(mo)_.f (x0)=(Df(xo)aa∈R, 式中(D∫(x0)aa代表 Jacobi矩阵Df(xo)的第a行第i列 在有限维 Euclid空间上微分学中引入和P微分同胚的概念 定义1.2(卻P微分同胚).对映照 X(x):R"D3x→X(x)∈R", 满足: 1.定义域Dx和值域Dx:=X(D-)均为开集; 2.X(a)实现D2和Dx之间的双射; 3.X(a)及其逆映照c(X)均为映照, 则称映照X(ax)实现集合D与Dx之间的微分同胚,记作X(a)∈(Dx;Dx) 本书称Dx为物理区域,亦即物理事件实际发生的区域,如连续介质实际所在的区域;称D2 为参数区域.由于存在m∈Dx同X∈Dx之间的一一对应关系,故物理区域中的位置刻画可 等价地对应至参数区域中的位置刻画,籍此也称X(x)∈P(Dx,Dx)为曲线坐标系 另一方面,由于 axl axl 0x1 DX() aXm g1…gn)(x)∈Rmxm
张量分析讲稿谢锡麟 曲线坐标系 谢锡麟 分析线性映照 Df(x0) 的表达式, 有 Df(x0)(h) = Df(x0)(h 1 i1 + · · · + h p ip) = h 1Df(x0)(i1) + · · · + h pDf(x0)(ip) = ( Df(x0)(i1) · · · Df(x0)(ip) ) h 1 . . . h p =: Df(x0)h ∈ R q , 式中 Df(x0) ∈ R q×p 称为 Jacobi 矩阵. 考虑特殊的自变量增量 h = λii , 则有 f(x0 + λii) − f(x0) = Df(x0) · (λii) + o(λ) = λDf(x0)ii + o(λ) ∈ R q , 即有 ∃ lim λ→0 f(x0 + λii) − f(x0) λ = Df(x0)ii ∈ R q . 再按向量值映照总体极限存在性对应其各分量极限的存在性, 有 ∃ lim λ→0 f α(x0 + λii) − f α(x0) λ =: ∂fα ∂xi (x0) = (Df(x0))α,i ∈ R, 式中 (Df(x0))α,i 代表 Jacobi 矩阵 Df(x0) 的第 α 行第 i 列. 在有限维 Euclid 空间上微分学中引入 C p 微分同胚的概念. 定义 1.2 (C p 微分同胚). 对映照 X(x) : R m ⊃ Dx ∋ x 7→ X(x) ∈ R m, 满足: 1. 定义域 Dx 和值域 DX := X(Dx) 均为开集; 2. X(x) 实现 Dx 和 DX 之间的双射; 3. X(x) 及其逆映照 x(X) 均为 C p 映照, 则称映照 X(x) 实现集合 Dx 与 DX 之间的微分同胚, 记作 X(x) ∈ C p (Dx; DX). 本书称 DX 为物理区域, 亦即物理事件实际发生的区域, 如连续介质实际所在的区域; 称 Dx 为参数区域. 由于存在 x ∈ Dx 同 X ∈ DX 之间的一一对应关系, 故物理区域中的位置刻画可 等价地对应至参数区域中的位置刻画, 籍此也称 X(x) ∈ C p (Dx, DX) 为曲线坐标系. 另一方面, 由于 DX(x) = ∂X1 ∂x1 · · · ∂X1 ∂xi · · · ∂X1 ∂xm . . . . . . . . . ∂Xm ∂x1 · · · ∂Xm ∂xi · · · ∂Xm ∂xm (x) =: ( g1 · · · gi · · · gm ) (x) ∈ R m×m, 2
曲线坐标系 谢锡麟 式中 9(x)1mx+x)-x(a∈Rm, 其几何意义为物理空间中x2曲线在X(x)点的切向量.由于DX(a)非奇异,因此{g1(x)}m1 为线性无关向量组,亦即成为Rm中的一个基,且这种基随空间位置变化,称为曲线坐标系的局 部协变基局部协变基的对偶基记为{9(c)}1,称为曲线坐标系的局部逆变基.按对偶关系以 及微分同胚,有 arl aX aXm a rm 月1 OXi aX g")(x)∈R 式中 9'(r)4/azi arm/(r)=Ozi Ora(X)ia= grad z(X). 其几何意义为物理空间中x(X)在点X的梯度或者曲面x(X)=常数的法向量方向 基于曲线坐标系的局部协变基及逆变基,可引入 9(x)=(91(x),93(x)gm,y(x)=(9(x)y1(x)gm 可称为 Riemann度量 三维 Euclid空间中曲线坐标系如图2所示,高维情况类似 局部协变基 曲线坐标系 x(x)∈CP(D;Dx) 193(Ea) (a Figure2:三维 Euclid空间中曲线坐标系示意 引入曲线坐标系(微分同胚)有两方面意义: 将几何形态不规则的物理区域变换为几何形态规则的参数区域; 2.可利用曲线坐标系自身诱导的局部基(协变基及逆变基)展开张量方程,以获得相对局部基 的分量方程
张量分析讲稿谢锡麟 曲线坐标系 谢锡麟 式中 gi (x) , lim λ→0 X(x + λii) − X(x) λ ∈ R m, 其几何意义为物理空间中 x i 曲线在 X(x) 点的切向量. 由于 DX(x) 非奇异, 因此 {gi (x)} m i=1 为线性无关向量组, 亦即成为 R m 中的一个基, 且这种基随空间位置变化, 称为曲线坐标系的局 部协变基. 局部协变基的对偶基记为 {g i (x)} m i=1, 称为曲线坐标系的局部逆变基. 按对偶关系以 及微分同胚, 有 Dx(X) = ∂x1 ∂X1 · · · ∂x1 ∂Xi · · · ∂x1 ∂Xm . . . . . . . . . ∂xm ∂X1 · · · ∂xm ∂Xi · · · ∂xm ∂Xm =: ( g 1 · · · g i · · · g m )T (X) ∈ R m×m, 式中 g i (X) , ( ∂xi ∂X1 · · · ∂xi ∂Xm )T (X) = ∂xi ∂Xα (X)iα , grad x i (X), 其几何意义为物理空间中 x i (X) 在点 X 的梯度或者曲面 x i (X) = 常数 的法向量方向. 基于曲线坐标系的局部协变基及逆变基, 可引入 gij (x) = ( gi (x), gj (x) ) Rm , gij (x) = ( g i (x), g j (x) ) Rm , 可称为 Riemann 度量. 三维 Euclid 空间中曲线坐标系如图2所示, 高维情况类似. x 1 x 2 x 3 a b c d e f g h 齒楫緋辿ª X(x) ∈ C p (Dx; DX) x 1 x 2 x 3 x 1 x 3 a b c d e f g h g1 (xa) g2 (xa) g3 (xa) g1 (xd) g2 (xd) g3 (xd) 帋䜘助紳娩 DX(x) = g1 g2 g3 (x) O X1 X2 X3 Figure 2: 三维 Euclid 空间中曲线坐标系示意 引入曲线坐标系 (微分同胚) 有两方面意义： 1. 将几何形态不规则的物理区域变换为几何形态规则的参数区域; 2. 可利用曲线坐标系自身诱导的局部基 (协变基及逆变基) 展开张量方程, 以获得相对局部基 的分量方程. 3
曲线坐标系 谢锡麟 1.2标架运动方程 研究曲线坐标系中基向量g1(x)沿坐标线的变化率,即 ∈R 按曲线坐标系的局部协变基及逆变基的对偶关系,有 ar (x),94(x)g′(x), Ox(az),9" (a)9(a) 就此,引入曲线坐标系的 Christoffel待号的概念 定义1.3(曲线坐标系的 Christoffel符号).曲线坐标系的 Christoffel符号分为二类: 1.第一类 Christoffel符号 △ 2.第二类 Christoffel符号 由于 (x),g( 故两类 Christoffel符号之间具有与张量分量类似的指标升降关系.再考虑到 a-X 可见, Christoffel符号具有关于i和j的对称性,即Ik=k,以及= 以下研究 Christoffel符号的基本性质 性质1.1(曲线坐标系 Christoffel符号的基本性质).曲线坐标系的 Christoffel符号具有如 下基本性质 1.第一类 Christoffel符号与度量协变分量之间的关系 物+器)a 2.第二类 Christoffel符号同体积单元之间的关系 1a、 证明可通过直接计算,证明曲线坐标系 Christoffel符号的基本性质
张量分析讲稿谢锡麟 曲线坐标系 谢锡麟 1.2 标架运动方程 研究曲线坐标系中基向量 gi (x) 沿坐标线的变化率, 即 ∂gi ∂xj (x) , lim λ→0 gi (x + λij ) − gi (x) λ ∈ R m. 按曲线坐标系的局部协变基及逆变基的对偶关系, 有 ∂gi ∂xj (x) = ( ∂gi ∂xj (x), gk (x) ) Rm g k (x), ( ∂gi ∂xj (x), g k (x) ) Rm gk (x). 就此, 引入曲线坐标系的 Christoffel 符号的概念. 定义 1.3 (曲线坐标系的 Christoffel 符号). 曲线坐标系的 Christoffel 符号分为二类: 1. 第一类 Christoffel 符号 Γij,k(x) , ( ∂gj ∂xi (x), gk (x) ) Rm ; 2. 第二类 Christoffel 符号 Γ k ij (x) , ( ∂gj ∂xi (x), g k (x) ) Rm . 由于 Γ k ij (x) = ( ∂gj ∂xi (x), g k (x) ) Rm = ( ∂gj ∂xi (x), gksgs (x) ) Rm = g ksΓij,s, 故两类 Christoffel 符号之间具有与张量分量类似的指标升降关系. 再考虑到 ∂gj ∂xi (x) = ∂ 2X ∂xi∂xj (x) = ∂gi ∂xj (x), 可见, Christoffel 符号具有关于 i 和 j 的对称性, 即 Γij,k = Γji,k, 以及 Γ k ij = Γ k ji. 以下研究 Christoffel 符号的基本性质. 性质 1.1 (曲线坐标系 Christoffel 符号的基本性质). 曲线坐标系的 Christoffel 符号具有如 下基本性质: 1. 第一类 Christoffel 符号与度量协变分量之间的关系 Γij,k(x) = 1 2 ( ∂gjk ∂xi + ∂gik ∂xj − ∂gij ∂xk ) (x); 2. 第二类 Christoffel 符号同体积单元之间的关系 Γ s sj (x) = 1 √g ∂ √g ∂xj (x). 证明 可通过直接计算, 证明曲线坐标系 Christoffel 符号的基本性质. 4
曲线坐标系 谢锡麟 1.首先有 bn()=(2,92)2=(x(a).9(a)+(9(a)a(a) =Tki,j(a)+Tkj,i(a) 同理可得 x)=1;k()+Iik(x) 9 )=(x)+元k() 现在令后两式相加减去第一式并利用 Christoffel符号的对称性,得到 (2)+a(2)-k(x)=2示k 即有 1/agik ajk a Tii.k()= axj axi axk 2.以下证明中指标i,m不为哑标 0、 9;∵9m gn)+…+det(g …+det(g1 ag det +…+det Timg (马h++…=)d(…9 1 9 口 现可有局部协变基向量的运动方程,亦即局部基向量沿坐标线的变化率 gk 类似地,可研究局部逆变基向量沿坐标线的变化率的运动方程 ()<e 9(e),9k (9'(a), 02(2))9*(az). 可得局部逆变基向量的运动方程 Tih9 (), rk91()
张量分析讲稿谢锡麟 曲线坐标系 谢锡麟 1. 首先有 ∂gij ∂xk (x) = ∂ ∂xk ( gi (x), gj (x) ) Rm = ( ∂gi ∂xk (x), gj (x) ) Rm + ( gi (x), ∂gj ∂xk (x) ) Rm = Γki,j (x) + Γkj,i(x). 同理可得 ∂gjk ∂xi (x) = Γij,k(x) + Γik,j (x); ∂gik ∂xj (x) = Γjk,i(x) + Γji,k(x). 现在令后两式相加减去第一式并利用 Christoffel 符号的对称性, 得到 ∂gik ∂xj (x) + ∂gjk ∂xi (x) − ∂gij ∂xk (x) = 2Γij,k, 即有 Γij,k(x) = 1 2 ( ∂gik ∂xj + ∂gjk ∂xi − ∂gij ∂xk ) (x). 2. 以下证明中指标 i, m 不为哑标. ∂ √g ∂xj (x) = ∂ ∂xj det ( g1 · · · gi · · · gm ) = det ( ∂g1 ∂xj (x) · · · gi · · · gm ) + · · · + det ( g1 · · · ∂gi ∂xj (x) · · · gm ) + · · · + det ( g1 · · · gi · · · ∂gm ∂xj (x) ) = det ( Γ s j1gs · · · gi · · · gm ) + · · · + det ( g1 · · · Γ s jigi · · · gm ) + · · · + det ( g1 · · · gi · · · Γ s jmgs ) = (Γ 1 j1 + · · · Γ i ji + · · · Γ m jm) det ( g1 · · · gi · · · gm ) = Γ s js det ( g1 · · · gi · · · gm ) = Γ s js√ g. 现可有局部协变基向量的运动方程, 亦即局部基向量沿坐标线的变化率 ∂gi ∂xj (x) = Γji,kg k (x), Γ k jigk (x). 类似地, 可研究局部逆变基向量沿坐标线的变化率的运动方程 ∂g i ∂xj (x) = ( ∂g i ∂xj (x), gk (x) ) Rm g k (x) = − ( g i (x), ∂gk ∂xj (x) ) Rm g k (x), 可得局部逆变基向量的运动方程 ∂g i ∂xj (x) = −Γ i jkg k (x), −g klΓ i jkgl (x). 5