张量代数一仿射量特征问题 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月3日 1知识要素 1.1仿射量的行列式 二阶张量又可以称为仿射量,以Rm为底的仿射量线性空间可以简单地记作xin(Rm) 定义11(仿射量行列式的外积定义).任意φ∈xin(Rm)的行列式det更≡|型可通过下 式定义 更·u1A…∧更:um=(det更)u1∧…∧um 此处,{u}m1CRm为任意一组基 性质11(仿射量行列式的性质).设更∈in(Rm),满足 =298g=的89=0968g0=g0890, ui}1和{v}a1为Rm的任意两组基,则仿射量的行列式detφ满足如下的性质 2.det更 det(Φ 3.de=dt(0,)=dt(4)=dt(90)=dt(a0) 式中 det( 3: =det 更m 更 性质(3)表明,dt更为坐标变换的不变量 证明可直接通过计算,证明相关关系式
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—仿射量特征问题 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 3 日 1 知识要素 1.1 仿射量的行列式 二阶张量又可以称为仿射量, 以 R m 为底的仿射量线性空间可以简单地记作 L in(R m). 定义 1.1 (仿射量行列式的外积定义). 任意 Φ ∈ L in(R m) 的行列式 det Φ ≡ |Φ| 可通过下 式定义 Φ · u1 ∧ · · · ∧ Φ · um = (det Φ)u1 ∧ · · · ∧ um. 此处, {ui} m i=1 ⊂ R m 为任意一组基. 性质 1.1 (仿射量行列式的性质). 设 Φ ∈ L in(R m), 满足 Φ = Φ i ·jgi ⊗ g j = Φ · i j g i ⊗ gj = Φ (i) · (j)g(i) ⊗ g (j) = Φ · (i) (j) g (i) ⊗ g(j) , {ui} m i=1 和 {vi} m i=1 为 R m 的任意两组基, 则仿射量的行列式 det Φ 满足如下的性质: 1. det Φ = Φ · u1 ∧ · · · ∧ Φ · um(v1, · · · , vm) u1 ∧ · · · ∧ um(v1, · · · , vm) = det ( Φ i ·j ) ; 2. det Φ = u1 · Φ ∧ · · · ∧ um · Φ(v1, · · · , vm) u1 ∧ · · · ∧ um(v1, · · · , vm) = det ( Φ · i j ) ; 3. det Φ = det ( Φ i ·j ) = det ( Φ · i j ) = det ( Φ (i) · (j) ) = det ( Φ · (i) (j) ) . 式中 det ( Φ i ·j ) := det Φ 1 · 1 · · · Φ 1 · m . . . . . . Φ m · 1 · · · Φ m · m , det ( Φ · i j ) := det Φ · 1 1 · · · Φ · 1 m . . . . . . Φ · m 1 · · · Φ · m m . 性质 (3) 表明, det Φ 为坐标变换的不变量. 证明 可直接通过计算, 证明相关关系式. 1
张量代数一仿射量特征问题 谢锡麟 1.因为{u}m1和{u}m1是Rm的两组基,所以 det ≠0,de ≠0 由此可得 1∧∴∧um(1 (um,U1)m…(um,Um)Rm ≠0, 以及 1n)(1,k (的1n…mm)1…m)(1.…tmkm)91A…A9n(941,…,9m) (g1,91) =(型n1…mJm)(41…um)(1.k1…tm,km (gim, 9)Re )(41…m)( 上式最后的行列式中,i1,…,im或k1,…,km中有两指标相同,行列式必有两行或两列完 全相同使得其值为零.由此,可以令i,……,im和k1,…,km分别是1,…,m的置换,此 时有 B(1) (1) a(1) d(1) )(n1…wm)(.,()…tm,(m) a∈PmB∈P a(m) glm ∑no(?n…!m01m)(…)gnB(1B()…tmm)
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—仿射量特征问题 谢锡麟 1. 因为 {ui} m i=1 和 {vi} m i=1 是 R m 的两组基, 所以 det u T 1 . . . u T m ̸= 0, det ( v1 · · · vm ) ̸= 0. 由此可得 u1 ∧ · · · ∧ um(v1, · · · , vm) = (u1, v1)Rm · · · (u1, vm)Rm . . . . . . (um, v1)Rm · · · (um, vm)Rm = u T 1 . . . u T m ( v1 · · · vm ) = det u T 1 . . . u T m det ( v1 · · · vm ) ̸= 0, 以及 Φ · u1 ∧ · · · ∧ Φ · um(v1, · · · , vm) = (Φ i1 · j1 u j1 1 gi1 ) ∧ · · · ∧ (Φ im · jmu jm m gim )(v1,k1 g k1 , · · · , vm,kmg km) = (Φ i1 · j1 · · · Φ im · jm)(u j1 1 · · · u jm m )(v1,k1 · · · vm,km)gi1 ∧ · · · ∧ gim (g k1 , · · · , g km) = (Φ i1 · j1 · · · Φ im · jm)(u j1 1 · · · u jm m )(v1,k1 · · · vm,km) (gi1 , g k1 )Rm · · · (gi1 , g km)Rm . . . . . . (gim , g k1 )Rm · · · (gim , g km)Rm = (Φ i1 · j1 · · · Φ im · jm)(u j1 1 · · · u jm m )(v1,k1 · · · vm,km) δ k1 i1 · · · δ km i1 . . . . . . δ k1 im · · · δ km im . 上式最后的行列式中, i1, · · · , im 或 k1, · · · , km 中有两指标相同, 行列式必有两行或两列完 全相同使得其值为零. 由此, 可以令 i1, · · · , im 和 k1, · · · , km 分别是 1, · · · , m 的置换, 此 时有 Φ · u1 ∧ · · · ∧ Φ · um(v1, · · · , vm) = ∑ σ∈Pm ∑ β∈Pm (Φ σ(1) · j1 · · · Φ σ(m) · jm)(u j1 1 · · · u jm m )(v1,β(1) · · · vm,β(m) ) δ β(1) σ(1) · · · δ β(m) σ(1) . . . . . . δ β(1) σ(m) · · · δ β(m) σ(m) = ∑ σ∈Pm ∑ β∈Pm sgn σ(Φ σ(1) · j1 · · · Φ σ(m) · jm)(u j1 1 · · · u jm m )sgn β(v1,β(1) · · · vm,β(m) ) = Φ 1 · j1 · · · Φ 1 · jm . . . . . . Φ m · j1 · · · Φ m · jm (u j1 1 · · · u jm m ) v1,1 · · · v1,m . . . . . . vm,1 · · · vm,m . 2
张量代数一仿射量特征问题 谢锡麟 同样地,对于上式第一个行列式来说,只要j,…,jm中有两指标相同,则第一个行列式的 值即为零.所以可以令j,…,加m为1,…,m的置换,即 lm(01 (1) (m) 71, (1) ∈Pr ∮1 (1) 更 u01,1 Um.1 Um,m m(u1,1) gomm l(um, v1R (ulm, vm)Rm 所以有 !1 det更= ∧…∧更·m( u1∧…∧um(U1,…,Um) 2.可按(1)中的方法证明 3.设新旧两组基之间的转换关系为 9(p)=((p)9,9 即有砂=9C2C9,由此可得 ()=(C)(9(9)(9) 由于基转换系数满足C=9,所以有(C)(c)=Lm即 所以 dc(c)de(e)adt(499)d(c)=dat(9() 同理可得其他同类型的关系式
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—仿射量特征问题 谢锡麟 同样地, 对于上式第一个行列式来说, 只要 j1, · · · , jm 中有两指标相同, 则第一个行列式的 值即为零. 所以可以令 j1, · · · , jm 为 1, · · · , m 的置换, 即 Φ · u1∧ · · · ∧ Φ · um(v1, · · · , vm) = ∑ γ∈Pr Φ 1 · γ(1) · · · Φ 1 · γ(m) . . . . . . Φ m · γ(1) · · · Φ m · γ(m) (u γ(1) 1 · · · u γ(m) m ) v1,1 · · · v1,m . . . . . . vm,1 · · · vm,m = ∑ γ∈Pr sgn γ Φ 1 · 1 · · · Φ 1 · m . . . . . . Φ m · 1 · · · Φ m · m (u γ(1) 1 · · · u γ(m) m ) v1,1 · · · v1,m . . . . . . vm,1 · · · vm,m = Φ 1 · 1 · · · Φ 1 · m . . . . . . Φ m · 1 · · · Φ m · m u 1 1 · · · u m 1 . . . . . . u 1 m · · · u m m v1,1 · · · v1,m . . . . . . vm,1 · · · vm,m = Φ 1 · 1 · · · Φ 1 · m . . . . . . Φ m · 1 · · · Φ m · m (u1, v1)Rm · · · (u1, vm)Rm . . . . . . (um, v1)Rm · · · (um, vm)Rm . 所以有 det Φ = Φ · u1 ∧ · · · ∧ Φ · um(v1, · · · , vm) u1 ∧ · · · ∧ um(v1, · · · , vm) = Φ 1 · 1 · · · Φ 1 · m . . . . . . Φ m · 1 · · · Φ m · m = det ( Φ i j ) . 2. 可按 (1) 中的方法证明. 3. 设新旧两组基之间的转换关系为 g(p) = C i (p) gi , g (q) = C (q) j g j , 即有 Φ i ·j = Φ (p) · (q)C i (p)C (q) j , 由此可得 ( Φ i ·j ) = ( C i (p) ) (Φ (p) · (q) ) (C (q) j ) . 由于基转换系数满足 C i (p)C (p) j = δ i j , 所以有 ( C i (p) ) (C (q) j ) = Im, 即 det ( C i (p) ) det ( C (q) j ) = 1. 所以 det ( Φ i ·j ) = det ( C i (p) ) det ( Φ (p) · (q) ) det ( C (q) j ) = det ( Φ (p) · (q) ) . 同理可得其他同类型的关系式. 3
张量代数一仿射量特征问题 谢锡麟 1.2仿射量的特征问题与主不变量 已澄清度量张量即为单位仿射量,记作Ⅰ或者G, 9192g=991②9;=091891=9g 满足Ⅴ更∈≌in(囻m),更·Ⅰ=Ⅰ·φ=更.基于仿射量行列式的外积定义,可定义仿射量的特征 多项式 f(A)=det(-MD)=(-))m+1(-)m-1+…+l(-)m-r+…+Lm-1(-)+Lm 其中量{}1称为主不变量.方程∫(λ)=det{φ-A)=0称为特征方程.特征方程的解 1,…,λm称为仿射量更的特征值.主不变量的一般表达式可以表述为如下定理 定理1.2(主不变量的表达式).仿射量更∈in(Rm)的主不变量{}m1可以表示为 11≤ss2a1∧…∧匝重t1)A…A(重tn)A…^um(v1, 6J1 1≤i1<…<ir≤m ∑uA…∧(cn1:更)∧…∧(u…更)A…^um(v 1≤i1<…<ir≤ ∧…∧unm(U1 y 1≤i1<…<ir≤m 更 式中-为广义 Kronecker符号 64 证明根据仿射量行列式的外积定义,det(更-MD满足 匝重-AD·1A……∧(φ-AD·umn(U1,…,vm)=det(重-ADu1A……∧umn(U1,…,Um 上式左端=(重·1-a1)∧…∧更·um-um)(v1,…,m),根据外积的线性性全部展开将 有2m项,按照其中(-入)的次数合并同类项将得到 左端=(-)ma1A…Am(,;…,n)+(-)m∑mA…A更,“1)A 1≤i1≤m m)+…+(-)m-∑ ∧(重:u1n)A……Aum(v1,…,Um)+…+更·1∧…∧φ·um(1,……,vm)
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—仿射量特征问题 谢锡麟 1.2 仿射量的特征问题与主不变量 已澄清度量张量即为单位仿射量, 记作 I 或者 G, I = gijg i ⊗ g j = g ijgi ⊗ gj = δ i jgi ⊗ g j = δ i jg j ⊗ gi , 满足 ∀ Φ ∈ L in(R m), Φ · I = I · Φ = Φ. 基于仿射量行列式的外积定义, 可定义仿射量的特征 多项式 f(λ) = det(Φ − λI) = (−λ) m + I1(−λ) m−1 + · · · + Ir(−λ) m−r + · · · + Im−1(−λ) + Im, 其中量 {Ir} m r=1 称为主不变量. 方程 f(λ) = det(Φ − λI) = 0 称为特征方程. 特征方程的解 λ1, · · · , λm 称为仿射量 Φ 的特征值. 主不变量的一般表达式可以表述为如下定理. 定理 1.2 (主不变量的表达式). 仿射量 Φ ∈ L in(R m) 的主不变量 {Ir} m r=1 可以表示为 Ir = [ ∑ 16i1<···<ir6m u1 ∧ · · · ∧ (Φ · ui1 ) ∧ · · · ∧ (Φ · uir ) ∧ · · · ∧ um ] (v1, · · · , vm) u1 ∧ · · · ∧ um(v1, · · · , vm) = ∑ 16i1<···<ir6m Φ i1 · i1 · · · Φ i1 · ir . . . . . . Φ ir · i1 · · · Φ ir · ir = 1 r! δ i1···ir j1···jr Φ j1 · i1 · · · Φ jr · ir , 或 Ir = [ ∑ 16i1<···<ir6m u1 ∧ · · · ∧ (ui1 · Φ) ∧ · · · ∧ (uir · Φ) ∧ · · · ∧ um ] (v1, · · · , vm) u1 ∧ · · · ∧ um(v1, · · · , vm) = ∑ 16i1<···<ir6m Φ · i1 i1 · · · Φ · i1 ir . . . . . . Φ · ir i1 · · · Φ · ir ir = 1 r! δ i1···jr j1···jr Φ · i1 j1 · · · Φ · ir jr , 式中 δ i1···jr j1···jr 为广义 Kronecker 符号 δ i1···jr j1···jr = δ i1 j1 · · · δ i1 jr . . . . . . δ ir j1 · · · δ ir jr . 证明 根据仿射量行列式的外积定义, det(Φ − λI) 满足 (Φ − λI) · u1 ∧ · · · ∧ (Φ − λI) · um(v1, · · · , vm) = det(Φ − λI)u1 ∧ · · · ∧ um(v1, · · · , vm). 上式 左端 = (Φ · u1 − λu1) ∧ · · · ∧ (Φ · um − λum)(v1, · · · , vm), 根据外积的线性性全部展开将 有 2 m 项, 按照其中 (−λ) 的次数合并同类项将得到 左端 = (−λ) mu1 ∧ · · · ∧ um(v1, · · · , vm) + (−λ) m−1 ∑ 16i16m u1 ∧ · · · ∧ (Φ · ui1 ) ∧ · · · ∧ um(v1, · · · , vm) + · · · + (−λ) m−r ∑ 16i1<···<ir6m u1 ∧ · · · ∧ (Φ · ui1 ) ∧ · · · ∧ (Φ · uir ) ∧ · · · ∧ um(v1, · · · , vm) + · · · + Φ · u1 ∧ · · · ∧ Φ · um(v1, · · · , vm). 4
张量代数一仿射量特征问题 谢锡麟 所以第r个主不变量为 ∑1A…∧绠·t1)A…∧(重4n)A…An(v1 1≤i1<…<r≤ 91A…∧④·91)A…∧(更·91n)A…^9m(92,…,9") 1≤i1<…,<ir≤m 0 上式中的行列式通过特取{2=9}=1及{=9}=1得到其中,除了第i1,…,行的元素 不为零之外,其他行(如第j行)只有第j个元素为1,其余元素皆为零.由此可以交替交换行列 式的行与列,使得除第i,…,i行之外的元素1都转移到行列式的左上角.而根据行列式的性 质可知,此行列式在经过偶数次行列交换之后不变号,即有 0 0 1-≤ma n1≤1<-<5m 1 a(i1) Va∈P 1≤i<…<i;s≤mxo(i1) (i1) a(i1) 更r 1 r ∑ ∈P1si1<…<ir≤mlo(i1) a(ir) sgn og(ir) senado (i … 至此,就证明了主不变量Ir的第一种表示 第二种表示可以用完全类似的方法证明,不再赘述
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—仿射量特征问题 谢锡麟 所以第 r 个主不变量为 Ir = [ ∑ 16i1<···<ir6m u1 ∧ · · · ∧ (Φ · ui1 ) ∧ · · · ∧ (Φ · uir ) ∧ · · · ∧ um ] (v1, · · · , vm) u1 ∧ · · · ∧ um(v1, · · · , vm) = ∑ 16i1<···<ir6m g1 ∧ · · · ∧ (Φ · gi1 ) ∧ · · · ∧ (Φ · gir ) ∧ · · · ∧ gm(g 1 , · · · , g m) = ∑ 16i1<···<ir6m 1 · · · 0 · · · 0 · · · 0 . . . . . . . . . . . . Φ 1 · i1 · · · Φ i1 · i1 · · · Φ ir · i1 · · · Φ m · i1 . . . . . . . . . . . . Φ 1 · ir · · · Φ i1 · ir · · · Φ ir · ir · · · Φ m · ir . . . . . . . . . . . . 0 · · · 0 · · · 0 · · · 1 . 上式中的行列式通过特取 {ui = gi} m i=1 及 {vj = g j} m j=1 得到. 其中, 除了第 i1, · · · , ir 行的元素 不为零之外, 其他行 (如第 j 行) 只有第 j 个元素为 1, 其余元素皆为零. 由此可以交替交换行列 式的行与列, 使得除第 i1, · · · , ir 行之外的元素 1 都转移到行列式的左上角. 而根据行列式的性 质可知, 此行列式在经过偶数次行列交换之后不变号, 即有 Ir = ∑ 16i1<···<ir6m 1 · · · 0 0 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 · · · 1 0 · · · 0 Φ 1 · i1 · · · Φ m · i1 Φ i1 · i1 · · · Φ ir · i1 . . . . . . . . . . . . Φ 1 · ir · · · Φ m · ir Φ i1 · ir · · · Φ ir · ir = ∑ 16i1<···<ir6m Φ i1 · i1 · · · Φ ir · i1 . . . . . . Φ i1 · ir · · · Φ ir · ir = ∑ 16i1<···<ir6m Φ σ(i1) · σ(i1) · · · Φ σ(ir) · σ(i1) . . . . . . Φ σ(i1) · σ(ir) · · · Φ σ(ir) · σ(ir) , ∀ σ ∈ Pr = 1 r! ∑ σ∈Pr ∑ 16i1<···<ir6m Φ σ(i1) · σ(i1) · · · Φ σ(ir) · σ(i1) . . . . . . Φ σ(i1) · σ(ir) · · · Φ σ(ir) · σ(ir) = 1 r! ∑ i1,··· ,ir Φ i1 · i1 · · · Φ ir · i1 . . . . . . Φ i1 · ir · · · Φ ir · ir = 1 r! ∑ σ∈Pr sgn σΦσ(i1) · i1 · · · Φ σ(ir) · ir = 1 r! ∑ σ∈Pr sgn σδσ(i1) j1 · · · δ σ(ir) jr Φ j1 · i1 · · · Φ jr · ir = 1 r! δ i1 j1 · · · δ i1 jr . . . . . . δ ir j1 · · · δ ir jr Φ j1 · i1 · · · Φ jr · ir = 1 r! δ i1···ir j1···jr Φ j1 · i1 · · · Φ jr · ir . 至此, 就证明了主不变量 Ir 的第一种表示. 第二种表示可以用完全类似的方法证明, 不再赘述. 5