场论恒等式 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 知识要素 推导体积上张量场场论恒等式,主要基于以下结论 1.Rici定理,亦即任意度量张量及 Eddington张量的分量的协变导数都为零 2. eddington张量与度量张量之间的关系,主要形式为 66;-992 3.张量分量协变导数的作用次序可以交换顺序,如 VpVk=VVp重k 需指岀,上述第一、二条结论对一般 Riemann流形都成立,而第三条结论仅对 Euclid流形 成立 以下,证明第三条结论 定理11(体积上协变导数作用可以交换次序).以三阶张量分量为例,有 VV中k=V9Vpk 证明以三阶张量更=亚918938g为例,计算 m()1(m)()(,9890) =Vp(V94k)+IV4k)918938g. 同理,有 doRp(a)=a (x)=q(Vp重k)+FV,重k)9:918 按一般赋范线性空间上微分学,当张量场具有足够正则性/光滑性,成立 nry(a)西 2更 故有 VpVqo:jk=Vq jk
张量分析讲稿谢锡麟 场论恒等式 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 推导体积上张量场场论恒等式, 主要基于以下结论 1. Ricci 定理, 亦即任意度量张量及 Eddington 张量的分量的协变导数都为零. 2. Eddington 张量与度量张量之间的关系, 主要形式为 ε i ·jtε ·st r = δ i r δ s j − gjrg is . 3. 张量分量协变导数的作用次序可以交换顺序, 如 ∇p∇qΦ i ·jk = ∇q∇pΦ i ·jk. 需指出, 上述第一、二条结论对一般 Riemann 流形都成立, 而第三条结论仅对 Euclid 流形 成立. 以下, 证明第三条结论 定理 1.1 (体积上协变导数作用可以交换次序). 以三阶张量分量为例, 有 ∇p∇qΦ i ·jk = ∇q∇pΦ i ·jk. 证明 以三阶张量 Φ = Φi ·jkgi ⊗ g j ⊗ g k 为例, 计算 ∂ 2Φ ∂xp∂xq (x) ≡ ∂ ∂xp ( ∂Φ ∂xq ) (x) = ∂ ∂xp ( ∇qΦ i ·jkgi ⊗ g j ⊗ g k ) (x) = [∇p(∇qΦ i ·jk) + Γ s pq∇sΦ i ·jk)]gi ⊗ g j ⊗ g k . 同理, 有 ∂ 2Φ ∂xq∂xp (x) ≡ ∂ ∂xq ( ∂Φ ∂xp ) (x) = [∇q(∇pΦ i ·jk) + Γ s qp∇sΦ i ·jk)]gi ⊗ g j ⊗ g k . 按一般赋范线性空间上微分学, 当张量场具有足够正则性/光滑性, 成立 ∂ 2Φ ∂xp∂xq (x) = ∂ 2Φ ∂xq∂xp (x), 故有 ∇p∇qΦ i ·jk = ∇q∇pΦ i ·jk. 1
场论恒等式 谢锡麟 应用事例 2.1基本关系式 众所周知,任意标量场的梯度场是无旋场;任意向量场的旋度场为无散场.进一步,可有如下 的关于任意张量场的关系式 定理2.1(基本关系式) (V⑧更)=0,V更∈习P(R3); V·(V×更)=0,更∈P(3) 证明直接计算 ⅴ×(V8更)=V×(Vk989189)=(VVp)(g×g)89:89 =c(VV)g89189; x4=,m8以小=,x)8 VAVIsil9, 9, 9'R39=ESVKVdsig' 由于cks关于指标lk反对称,VVk=VkV1,故有 V·(V×更=0 定理22(若干基本场论恒等式),对v∈R,a,b∈R3,成立以下恒等式 (a)=(V·a)+(Vφ) V×(oa)=o(V×a)+(V)×a; (a×b)=b·(V×a)-a(V×b) V×(a×b)=b·(V⑧a)-a·∞b)+a(V·b-b(V·a); V(a·b)=b·(Va)+a·(V⑧b)+b×(V×a)+a×(V×b) 证明可基于直接计算,证明相关恒等式 证明第1式: (oa2)=o(Va2)+a2(V)=o(v·a)+(V)·a 2.证明第2式: )=g×V(oa1)g2 VI(a:)9,=de i(v1aig, +eli(vio)a =o(V×a)+V
张量分析讲稿谢锡麟 场论恒等式 谢锡麟 2 应用事例 2.1 基本关系式 众所周知, 任意标量场的梯度场是无旋场; 任意向量场的旋度场为无散场. 进一步, 可有如下 的关于任意张量场的关系式. 定理 2.1 (基本关系式). ∇ × (∇ ⊗ Φ) = 0, ∀ Φ ∈ T p (R 3 ); ∇ · (∇ × Φ) = 0, ∀ Φ ∈ T p (R 3 ). 证明 直接计算 ∇ × (∇ ⊗ Φ) = ∇ × (∇kΦ ijg k ⊗ gi ⊗ gj ) = (∇l∇kΦ ij )(g l × g k ) ⊗ gi ⊗ gj = ε lks(∇l∇kΦ ij )gs ⊗ gi ⊗ gj ; ∇ · (∇ × Φ) = ∇ · [ g l × ∂ ∂xl (Φsjg s ⊗ g j ) ] = ∇ · [ ∇lΦsj (g l × g s ) ⊗ g j ] = ∇k∇lΦsj [g k , g l , g s ]R3 g j = ε kls∇k∇lΦsjg j . 由于 ε lks 关于指标 lk 反对称, ∇l∇k = ∇k∇l , 故有 ∇ × (∇ ⊗ Φ) = 0; ∇ · (∇ × Φ) = 0. 定理 2.2 (若干基本场论恒等式). 对 ∀ ϕ ∈ R, ∀ a, b ∈ R 3 , 成立以下恒等式: ∇ · (ϕa) = ϕ(∇ · a) + (∇ϕ) · a; ∇ × (ϕa) = ϕ(∇ × a) + (∇ϕ) × a; ∇ · (a × b) = b · (∇ × a) − a · (∇ × b); ∇ × (a × b) = b · (∇ ⊗ a) − a · (∇ ⊗ b) + a(∇ · b) − b (∇ · a); ∇(a · b) = b · (∇ ⊗ a) + a · (∇ ⊗ b) + b × (∇ × a) + a × (∇ × b). 证明 可基于直接计算, 证明相关恒等式. 1. 证明第 1 式: ∇ · (ϕa) = g l · ∂ ∂xl ( ϕai gi ) = g l · ∇l(ϕai )gi = ∇i(ϕai ) = ϕ(∇ia i ) + a i (∇iϕ) = ϕ(∇ · a) + (∇ϕ) · a. 2. 证明第 2 式: ∇ × (ϕa) = g l × ∂ ∂xl (ϕaig i ) = g l × ∇l(ϕai)g i = ε lij∇l(ϕai)gj = ϕεlij (∇lai)gj + ε lij (∇lϕ)aigj = ϕ(∇ × a) + ∇ϕ × a. 2
场论恒等式 谢锡麟 3.证明第3式: V·(a×b) (ekaib; 9k)=e9. VI(aibi)gi (aibi)=E(kai)b, V×b) 4.证明第4式 (aibje gk) V(ab)g=(62-853)V Vi(ab)gi-Vi(ab)g,=(Via)bgi+(Vgb)agi (Via)09,-a(Vib)9, (Va)+(V.b)a-(Va)b-a·V∞b) 5.证明第5式 V(ab)=V(abi)=VIa'bilg=(Va)big+a V1bi9' (V∞a)·b+(Vb 计算 (Vxa)=bx(eVa(9k)=(b°9)×(eVj9k) (Via)g (6263-2103)b°(Va)9=b(Va)yg2-b(Va)g (Va)·b-b·(V∞a), 置换可有 (V×b)=(Vb (V∞b) 故有 (V×a)+a×(V×b)=(ⅴ⑧a)·b+(v∞b)·a]-·(V⑧a)+a·(Vb) (a·b)-bVa)+a·(V⑧b) 22 Helmholtz- Stokes分解 定理23(向量场和张量场的双旋度关系式).对任意的向量场V∈R3和张量场更 (R3),有 (v×V)=V(v·V)-△v; (V×重)=V∞( 此处向量场V的 Laplace算子定义为△v全v·(VV),一般张量场的 Laplace算子定义为 (V⑧重
张量分析讲稿谢锡麟 场论恒等式 谢锡麟 3. 证明第 3 式: ∇ · (a × b) = g l · ∂ ∂xl (ε ijkaibjgk ) = ε ijkg l · ∇l(aibj )gk = ε ijk∇k(aibj ) = ε kij (∇kai)bj − aiε kji(∇kbj ) = b · (∇ × a) − a · (∇ × b). 4. 证明第 4 式: ∇ × (a × b) = ∇ × (aibjε ijkgk ) = g l × ∂ ∂xl (aibjε ijkgk ) = g l × [∇l(a i b j εijk)g k ] = ε lksεijk∇l(a i b j )gs = ε kslεkij∇l(a i b j )gs = (δ s i δ l j − δ l i δ s j )∇l(a i b j )gs = ∇j (a i b j )gi − ∇i(a i b j )gj = (∇ja i )b j gi + (∇j b j )a i gi − (∇ia i )b j gj − a i (∇ib j )gj = b · (∇ ⊗ a) + (∇ · b)a − (∇ · a)b − a · (∇ ⊗ b). 5. 证明第 5 式: ∇(a · b) = ∇(a i bi) = ∇l(a i bi)g l = (∇la i )big l + a i∇lbig l = (∇ ⊗ a) · b + (∇ ⊗ b) · a, 计算 b × (∇ × a) = b × (ε ijk∇iajgk ) = (b s gs ) × (ε ijk∇iajgk ) = ε ijkεtskb s (∇iaj )g t = ε ijkεktsb s (∇iaj )g t = (δ i t δ j s − δ j t δ i s )b s (∇iaj )g t = b j (∇iaj )g i − b i (∇iaj )g j = (∇ ⊗ a) · b − b · (∇ ⊗ a), 置换可有 a × (∇ × b) = (∇ ⊗ b) · a − a · (∇ ⊗ b), 故有 b × (∇ × a) + a × (∇ × b) = [(∇ ⊗ a) · b + (∇ ⊗ b) · a] − [b · (∇ ⊗ a) + a · (∇ ⊗ b)] = ∇(a · b) − [b · (∇ ⊗ a) + a · (∇ ⊗ b)]. 2.2 Helmholtz-Stokes 分解 定理 2.3 (向量场和张量场的双旋度关系式). 对任意的向量场 V ∈ R 3 和张量场 Φ ∈ T p (R 3 ), 有 ∇ × (∇ × V ) = ∇(∇ · V ) − ∆V ; ∇ × (∇ × Φ) = ∇ ⊗ (∇ · Φ) − ∆Φ. 此处向量场 V 的 Laplace 算子定义为 ∆V , ∇ ·(∇ ⊗ V ), 一般张量场的 Laplace 算子定义为 ∆Φ , ∇ · (∇ ⊗ Φ). 3
场论恒等式 谢锡麟 证明直接按定义计算,有 V 9 X V(e ViVi)gk=EIkse(V Vivi)g 7 Vivi)gs (63-763)VV Vivig-v'viv vVv)g-vvvg=v(v·V)-△V; (19289)=×(Vp;epgk③9) =9×n(Yn=9k89)=(vv,2)eg89 (VVp;)9893=(62-6)Vvn;9893 =VVsp;g3g3-VPVp西92⑧g3 vV重;9⑧g3-△更=V⑧(V·更)-△更 基于定理22和23,易得向量场和张量场的 Helmholtz- Stokes分解,如下所示 定理2.4(向量场 Helmholtz- Stokes分解).对v(x)∈R3,存在标量函数(x)∈R和向 量函数A(a)∈R3,使得 V=vφ+V×A 此处 △A+V(V·A)=V×V 式中o(x)∈R和A(x)∈R3分别称为向量场v(x)的标量势和向量势 定理2.5(张量场 Helmholtz- Stokes分解).对更(x)∈P(R3),存在张量场e(m) p-1(R3)和业(x)∈P(R3),使得 中=V⑧白+V×亚, 处 △白=V·更; △φ+V⑧(V·更=Vx重, 式中O(x)∈p-1(R3)和业(x)∈P(3)可分别称为张量场更(a)的梯度势和旋度势. 2。3向量场旋度(涡量)相关恒等式 就任意向量场可以定义其旋度(或者称为此向量场的涡量)并且具有如下关系式: 定理2.6(向量场旋度对偶关系式).设ⅥV(x)∈R3,令ω:=V×V,则有 v4-V=6kku=V×v
张量分析讲稿谢锡麟 场论恒等式 谢锡麟 证明 直接按定义计算, 有 ∇ × (∇ × V ) = ∇ × (ε ijk∇iVjgk ) = g l × ∂ ∂xl (ε ijk∇iVjgk ) = gl × ∇l (ε ijk∇iVj )gk = εlksε ijk(∇l∇iVj )g s = εslkε ijk(∇l∇iVj )g s = (δ i s δ j l − δ i l δ j s )∇l∇iVjg s = ∇j∇iVjg i − ∇i∇iVjg j = ∇i(∇jVj )g i − ∇i∇iVjg j = ∇(∇ · V ) − ∆V ; ∇ × (∇ × Φ) = ∇ × [ g p × ∂ ∂xp (Φijg i ⊗ g j ) ] = ∇ × (∇pΦijε pikgk ⊗ g j ) = g q × ∂ ∂xq (∇pΦijε pikgk ⊗ g j ) = (∇q∇pΦij )ε pikεqksg s ⊗ g j = ε pikεsqk(∇q∇pΦij )g s ⊗ g j = (δ p s δ i q − δ i s δ p q )∇q∇pΦijg s ⊗ g j = ∇i∇sΦijg s ⊗ g j − ∇p∇pΦijg i ⊗ g j = ∇s∇iΦijg s ⊗ g j − ∆Φ = ∇ ⊗ (∇ · Φ) − ∆Φ. 基于定理2.2和2.3, 易得向量场和张量场的 Helmholtz-Stokes 分解, 如下所示. 定理 2.4 (向量场 Helmholtz-Stokes 分解). 对 ∀V (x) ∈ R 3 , 存在标量函数 ϕ(x) ∈ R 和向 量函数 A(x) ∈ R 3 , 使得 V = ∇ϕ + ∇ × A, 此处 ∆ϕ = ∇ · V ; −∆A + ∇(∇ · A) = ∇ × V . 式中 ϕ(x) ∈ R 和 A(x) ∈ R 3 分别称为向量场 V (x) 的标量势和向量势. 定理 2.5 (张量场 Helmholtz-Stokes 分解). 对 ∀ Φ(x) ∈ T p (R 3 ), 存在张量场 Θ(x) ∈ T p−1 (R 3 ) 和 Ψ(x) ∈ T p (R 3 ), 使得: Φ = ∇ ⊗ Θ + ∇ × Ψ, 此处 ∆Θ = ∇ · Φ; −∆Φ + ∇ ⊗ (∇ · Φ) = ∇ × Φ, 式中 Θ(x) ∈ T p−1 (R 3 ) 和 Ψ(x) ∈ T p (R 3 ) 可分别称为张量场 Φ(x) 的梯度势和旋度势. 2.3 向量场旋度 (涡量) 相关恒等式 就任意向量场可以定义其旋度 (或者称为此向量场的涡量) 并且具有如下关系式: 定理 2.6 (向量场旋度对偶关系式). 设 ∀V (x) ∈ R 3 , 令 ω := ∇ × V , 则有 ∇iVj − ∇jVi = εijkω k ⇔ ω = ∇ × V . 4
场论恒等式 谢锡麟 证明如果有 所以 (ViVi-ViVi 根据 Eddington张量的反对称性,有 =(66-5%) 即有 定理27(对流项的 Kronecker形式).对v∈R3,有 证明直接计算 v·(v⑧V)=VV;vg=V(Vv-Vv)g2+vvv9 VEjikw'9+o(VIv,+VIv)g2 EkjiwV'g+Vi(vvi)g 24仿射量相关恒等式 本节相关仿射量恒等式引自王敏中,王炜,武际可编著《弹性力学教程(修订版)》,北京大 学出版社,2002.我们基于一般曲线坐标系下张量场场论证明相关恒等式 定理2.8(仿射量基本恒等式).对仿射量成立有如下的恒等式 对vE∈R3,有 (V8)×V=Vx(E8V)×V=0∈2(R3); 2.对重∈2(R3),有 V·(V××V)=0∈R3; 对V∈2(R3),有 (Ix更×V=V⑧(V)+(V·更)⑧V-V·(V·更)r 4.对∈少2(R3),有 Ix(V×更×V)=V⑧更·V)+(V·更)8V-VV(r更)一△重*
张量分析讲稿谢锡麟 场论恒等式 谢锡麟 证明 如果有 ∇iVj − ∇jVi = εijkω k , 所以 ε ijs(∇iVj − ∇jVi) = ε ijsεijkω k . 根据 Eddington 张量的反对称性, 有 2ε ijs∇iVj = (δ j j δ s k − δ s j δ j k )ω k = 2δ s kω k = 2ω s , 即有 ω s = ε sij∇iVj . 定理 2.7 (对流项的 Kronecker 形式). 对 ∀V ∈ R 3 , 有 V · (∇ ⊗ V ) = ∇ ( |V | 2 2 ) + ω × V , ω := ∇ × V . 证明 直接计算 V · (∇ ⊗ V ) = V j∇jVig i = V j (∇jVi − ∇iVj )g i + V j∇iVjg i = V j εjikω k g i + 1 2 (V j∇iVj + Vj∇iV j )g i = εkjiω kV j g i + 1 2 ∇i(V jVj )g i = ω × V + ∇ ( |V | 2 R3 2 ) . 2.4 仿射量相关恒等式 本节相关仿射量恒等式引自王敏中, 王炜, 武际可编著《弹性力学教程 (修订版)》, 北京大 学出版社, 2002. 我们基于一般曲线坐标系下张量场场论证明相关恒等式. 定理 2.8 (仿射量基本恒等式). 对仿射量成立有如下的恒等式. 1. 对 ∀ ξ ∈ R 3 , 有 ∇ × (∇ ⊗ ξ) × ∇ = ∇ × (ξ ⊗ ∇) × ∇ = 0 ∈ T 2 (R 3 ); 2. 对 ∀ Φ ∈ T 2 (R 3 ), 有 ∇ · (∇ × Φ × ∇) = 0 ∈ R 3 ; 3. 对 ∀ Φ ∈ T 2 (R 3 ), 有 ∇ × (I × × Φ) × ∇ = ∇ ⊗ (Φ · ∇) + (∇ · Φ) ⊗ ∇ − ∇ · (∇ · Φ)I − ∆Φ ∗ ; 4. 对 ∀ Φ ∈ T 2 (R 3 ), 有 I × × (∇ × Φ × ∇) = ∇ ⊗ (Φ · ∇) + (∇ · Φ) ⊗ ∇ − ∇ ⊗ ∇(trΦ) − ∆Φ ∗ ; 5