复旦大学课程教学大纲 课程代码MECH130093 编写时间2013年12月(更新) 课程名称 张量分析与微分几何基础 英文名称 Fundamentals of Tensor Analysis and Differential Geometry 学分数2 周学时 2-3 任课教师 课程负责人谢锡麟 开课院系力学与工程科学系 预修课程 微积分、线性代数 课程性质: 请根据教学培养方案上的课程性质在以下4个栏目中选择 综合教育课程 文理基础课程口 专业必修课程 专业选修课程 教学目标 机械与运载工具运动、结构与材料宏观行为、大气与河流运动、鱼儿游动与鸟儿飞行、生命体中器官与 组织运动等等,这些事务的一个共同特点为:所研究的对象(亦即介质)在空间中呈连续分布形态,称为连 续介质;并且可以变形。连续介质力学,以统一的思想和方法研究连续介质(包括水、气体、软物质等) 般运动学和动力学等一般理论,故相关知识体系在力学、物理学、航空宇航、材料科学、计算机科学等学科 具有广泛应用背景。 随着现代科学技术的发展,人们已越发关注纳米膜、细胞膜等连续介质,其法向特征尺度远远小于展向 特征尺度;又如,考虑星体表面的大气运动,海面上油污扩散以及洪水蔓延过平原、洼地以及山丘,皂膜流 动等,其法向尺度(流层厚度)远远小于流动的展现(流向)尺度。由此,我们将此类介质视作“几何形态 为曲面的连续介质”。数学上而言, Euclid空间中的曲面(对应 Riemann流形)同体积(对应Euid流形 在场论上具有本质不同。故我们提出,按连续介质的几何形态区分“体积形态连续介质”以及“曲面形态连 续介质”。就二类几何形态各异的连续介质,我们近期已提出“当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有 限变形理论”以及“几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论”。 张量分析为研究连续介质的运动学(包括几何学)以及动力学提供了基本的数学思想及方法;且张量分 析为研究现代几何学(包括流形上徽积分)的必要数学基础。 经多年学习、研究与教学的积累,现已完成著述《现代张量分析及其在连续介质力学中的应用》(谢锡麟
1 / 7 复旦大学课程教学大纲 课程代码 MECH130093 编写时间 2013 年 12 月（更新） 课程名称 张量分析与微分几何基础 英文名称 Fundamentals of Tensor Analysis and Differential Geometry 学分数 2 周学时 2-3 *任课教师 /课程负责人 谢锡麟 开课院系 力学与工程科学系 **预修课程 微积分、线性代数 课程性质： 请根据教学培养方案上的课程性质在以下 4 个栏目中选择。 综合教育课程 □ 文理基础课程 □ 专业必修课程 □ 专业选修课程 □ 教学目标： 机械与运载工具运动、结构与材料宏观行为、大气与河流运动、鱼儿游动与鸟儿飞行、生命体中器官与 组织运动等等，这些事务的一个共同特点为：所研究的对象（亦即介质）在空间中呈连续分布形态，称为连 续介质；并且可以变形。连续介质力学，以统一的思想和方法研究连续介质（包括水、气体、软物质等）一 般运动学和动力学等一般理论，故相关知识体系在力学、物理学、航空宇航、材料科学、计算机科学等学科 具有广泛应用背景。 随着现代科学技术的发展，人们已越发关注纳米膜、细胞膜等连续介质，其法向特征尺度远远小于展向 特征尺度；又如，考虑星体表面的大气运动，海面上油污扩散以及洪水蔓延过平原、洼地以及山丘，皂膜流 动等，其法向尺度（流层厚度）远远小于流动的展现（流向）尺度。由此，我们将此类介质视作“几何形态 为曲面的连续介质”。数学上而言，Euclid 空间中的曲面（对应 Riemann 流形）同体积（对应 Euclid 流形） 在场论上具有本质不同。故我们提出，按连续介质的几何形态区分“体积形态连续介质”以及“曲面形态连 续介质”。就二类几何形态各异的连续介质，我们近期已提出“当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有 限变形理论”以及“几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论”。 张量分析为研究连续介质的运动学（包括几何学）以及动力学提供了基本的数学思想及方法；且张量分 析为研究现代几何学（包括流形上微积分）的必要数学基础。 经多年学习、研究与教学的积累，现已完成著述《现代张量分析及其在连续介质力学中的应用》（谢锡麟
著2014年正式出版,复旦大学出版社),主要内容分成六部分:(一)张量定义及其代数性质。主要按张量 的多重线性函数定义获得张量的表示形式及基本代数运算,基于置换运算研究外积运算并基于外积运算研究 仿射量基本代数性质。(二)有限维 Euclid空间中体积上张量场场论。主要叙述一般曲线坐标系下张量场 场论及其应用,涉及湍流时均方程,旋转参照系下流体控制方程等。(三)有限维 Euclid空间中曲面上张 量场场论。分别按有限维 Euclid空间上微分学以及微分流形的观点叙述有限维 Euclid中曲面的基本几何 性质以及曲面上张量场场论。(四)体积形态连续介质力学。叙述当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间 的有限变形理论(一般现有理论当前物理构型对应之曲线坐标系不显含时间),涉及可变形边界上涡量运动 学及动力学,有限变形弹性体 Euler及 Lagrange型控制方程等。(五)曲面形态连续介质力学(独立提出) 主要叙述几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论,涉及固定曲面上二维流动涡量动力学,固体膜有限变 形及海面油污扩散的控制方程等。(六)张量映照微分学。主要概述一般赋范线性空间上微分学以及张量映 照微分学的相关内容 课程《张量分析与微分几何基础》主要讲述第一二三六部分的基本内容,为研究体积以及曲面形 态的连续介质铺垫基础。课程《连续介质力学基础》,主要讲述第四、五部分的内容,将系统提供体积以及曲 面形态的连续介质的有限变形理论及其应用 基于本课程所提供的张量分析以及微分几何的有关知识体系(亦考虑到体系的现代化)可以很轻松地研 习:二般连续介质力学理论,如郭仲衡著《非线性弹性理论》,主要讲述有限变形理论及其应用以及变分原理 谢多夫著《连续介质力学》(俄罗斯数学教材选译之一)。我们将上述知识体系作为课程《连续介质力学基础 主要内容。另一方面,可研习现代微分几何,如:杜布洛文、诺维可夫、福明柯著《现代几何学:方法与 应用》(俄罗斯数学教材选译); VI.Arnold著《经典力学中的数学方法》(俄罗斯数学教材选译)等专著 教材和教学参考资料(不少于5种 作者 教材或参考资料名称 出版社 出版年月 谢锡麟 现代张量分析及其在连续介质力学中的应用 复旦大学 2014年 郭仲衡 张量(理论和应用) 科学出版社 1988年 杜布洛文,诺维可夫 几何学:方法与应用(第一卷:几何曲面、变换 高等教育出版社 2006年 福明柯 群与场)俄罗斯数学教材选译 黄克智,薛明德 陆明万 张量分析 清华大学出版社200年 数学分析(上、下)(第4版) VA.卓里奇俄 高等教育出版社 2006年 俄罗斯数学教材选译 谢多夫(俄) 连续介质力学 高等教育出版社 2007年 俄罗斯数学教材选择之
2 / 7 著 2014 年正式出版，复旦大学出版社），主要内容分成六部分：（一）张量定义及其代数性质。主要按张量 的多重线性函数定义获得张量的表示形式及基本代数运算，基于置换运算研究外积运算并基于外积运算研究 仿射量基本代数性质。（二）有限维 Euclid 空间中体积上张量场场论。主要叙述一般曲线坐标系下张量场 场论及其应用，涉及湍流时均方程，旋转参照系下流体控制方程等。（三）有限维 Euclid 空间中曲面上张 量场场论。分别按有限维 Euclid 空间上微分学以及微分流形的观点叙述有限维 Euclid 中曲面的基本几何 性质以及曲面上张量场场论。（四）体积形态连续介质力学。叙述当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间 的有限变形理论（一般现有理论当前物理构型对应之曲线坐标系不显含时间），涉及可变形边界上涡量运动 学及动力学，有限变形弹性体 Euler 及 Lagrange 型控制方程等。（五）曲面形态连续介质力学（独立提出）。 主要叙述几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论，涉及固定曲面上二维流动涡量动力学，固体膜有限变 形及海面油污扩散的控制方程等。（六）张量映照微分学。主要概述一般赋范线性空间上微分学以及张量映 照微分学的相关内容。 课程《张量分析与微分几何基础》，主要讲述第一、二、三、六部分的基本内容，为研究体积以及曲面形 态的连续介质铺垫基础。课程《连续介质力学基础》，主要讲述第四、五部分的内容，将系统提供体积以及曲 面形态的连续介质的有限变形理论及其应用。 基于本课程所提供的张量分析以及微分几何的有关知识体系（亦考虑到体系的现代化）可以很轻松地研 习：一般连续介质力学理论，如郭仲衡著《非线性弹性理论》，主要讲述有限变形理论及其应用以及变分原理； 谢多夫著《连续介质力学》（俄罗斯数学教材选译之一）。我们将上述知识体系作为课程《连续介质力学基础》 的主要内容。另一方面，可研习现代微分几何，如：杜布洛文、诺维可夫、福明柯著《现代几何学：方法与 应用》（俄罗斯数学教材选译）； V.I.Arnold 著《经典力学中的数学方法》（俄罗斯数学教材选译）等专著。 教材和教学参考资料（不少于 5 种） 作者 教材或参考资料名称 出版社 出版年月 谢锡麟 现代张量分析及其在连续介质力学中的应用 复旦大学 2014 年 郭仲衡 张量（理论和应用） 科学出版社 1988 年 杜布洛文, 诺维可夫 福明柯 现代几何学：方法与应用（第一卷：几何曲面、变换 群与场）俄罗斯数学教材选译 高等教育出版社 2006 年 黄克智, 薛明德 陆明万 张量分析 清华大学出版社 2003 年 V.A.卓里奇(俄) 数学分析（上、下）（第 4 版） 俄罗斯数学教材选译 高等教育出版社 2006 年 谢多夫（俄） 连续介质力学 俄罗斯数学教材选择之一 高等教育出版社 2007 年
教学进度安排 《张量分析及微分几何基础》(每周3学时,共54学时) 我们将张量分析与微分几何的“知识体系”(基本部分)分成若干个“知识点”,而每个知识点由若干 “知识要素”组成。以下按知识体系的发展安排教学进度。可能会由于假期或者教与学的实际情况对进度稍 作调整。 第一部分张量及其代数运算I 张量的定义①基于多重线性映照;如未作特别说明,本课程中的底线性空间为有限维 Euclid空间 简单张量的定义。③有限维Euid空间中的任意一个基,存在且唯一存在其对偶基(基于矩阵的分块运 算及线性代数有关结论)。④张量空间上的线性结构,由此引入张量线性空间。⑤张量线性空间之间的张 量积运算 2.张量的表示①基于简单张量获得张量的表示;涉及张量的协变、逆变以及混合型分量。②张量基,张量 基之间的转化关系;③张量分量,张量分量之间的转化关系。 第01周 第二部分有限维Eucd空间中体积上张量场场论(微分学及积分学) 1.曲线坐标系①基于有限维 Euclid空间中微分同胚以及向量值映照澄清一般曲线坐标系的基本概念,包 括局部基(协变基、逆变基), Christoffel符号。②应用事例:获得一般速度、加速度在一般曲线坐标 系下的表示。 第02周 2.体积上张量场微分学I①张量场梯度。引入张量空间的范数,以此获得张量场的可微性定义,张量场的 导数可表现张量场的梯度(左梯度、右梯度)。②张量场的协变导数。张量场梯度的分量即为协变导数; 逆变导数则基于指标升降化至协变导数。③张量场(整体形式)的偏导数。在张量赋范线性空间的范畴 下可按极限进行定义;基于张量场的可微性定义,易于获得具体计算式(基于协变导数)。进一步,可按 上述途径定义张量场的方向导数及其计算式。④张量场的各种场论微分运算。基于张量场的偏导数,按 形式定义的思想,可以定义张量场的各种场论微分运算,包括: Euclid空间中张量场的左、右梯度、散 度以及旋转,星算子等。⑤应用事例:连续介质力学中的应力张量,介质中某点某方向(对应以其为法 向量的平面上)的受力,由应力张量(二阶张量,以曲线坐标为自变量)点乘法向量确定;应力张量的 引出及相关结论基于四面体微元的受力分析 3.体积上张量场的微分学Ⅱ① Eddington张量。②度量张量。③协变导数的基本性质。主要结论有:(a) 有限维 Euclid空间中 Eddington张量、度量张量的偏导数都为零,对应 Eddington张量及度量张量 的所有分量其所有的协变导数均为零;相关结论又称为Rici引理。(b) Euclid空间中协变导数可以交 3/7
3 / 7 教学进度安排： 《张量分析及微分几何基础》（每周 3 学时，共 54 学时） 我们将张量分析与微分几何的“知识体系”（基本部分）分成若干个“知识点”，而每个知识点由若干 “知识要素”组成。以下按知识体系的发展安排教学进度。可能会由于假期或者教与学的实际情况对进度稍 作调整。 第一部分 张量及其代数运算Ⅰ 1. 张量的定义 ①基于多重线性映照；如未作特别说明，本课程中的底线性空间为有限维 Euclid 空间。② 简单张量的定义。③有限维 Euclid 空间中的任意一个基，存在且唯一存在其对偶基（基于矩阵的分块运 算及线性代数有关结论）。④张量空间上的线性结构，由此引入张量线性空间。⑤张量线性空间之间的张 量积运算。 2. 张量的表示 ①基于简单张量获得张量的表示；涉及张量的协变、逆变以及混合型分量。②张量基，张量 基之间的转化关系；③张量分量，张量分量之间的转化关系。 ——第 01 周 第二部分 有限维 Euclid 空间中体积上张量场场论（微分学及积分学） 1. 曲线坐标系 ①基于有限维 Euclid 空间中微分同胚以及向量值映照澄清一般曲线坐标系的基本概念，包 括局部基（协变基、逆变基），Christoffel 符号。②应用事例：获得一般速度、加速度在一般曲线坐标 系下的表示。 ——第 02 周 2. 体积上张量场微分学Ⅰ ①张量场梯度。引入张量空间的范数，以此获得张量场的可微性定义，张量场的 导数可表现张量场的梯度（左梯度、右梯度）。②张量场的协变导数。张量场梯度的分量即为协变导数； 逆变导数则基于指标升降化至协变导数。③张量场（整体形式）的偏导数。在张量赋范线性空间的范畴 下可按极限进行定义；基于张量场的可微性定义，易于获得具体计算式（基于协变导数）。进一步，可按 上述途径定义张量场的方向导数及其计算式。④张量场的各种场论微分运算。基于张量场的偏导数，按 形式定义的思想，可以定义张量场的各种场论微分运算，包括：Euclid 空间中张量场的左、右梯度、散 度以及旋转，星算子等。⑤应用事例：连续介质力学中的应力张量，介质中某点某方向（对应以其为法 向量的平面上）的受力，由应力张量（二阶张量，以曲线坐标为自变量）点乘法向量确定；应力张量的 引出及相关结论基于四面体微元的受力分析。 ——第 03 周 3. 体积上张量场的微分学Ⅱ ①Eddington 张量。②度量张量。③协变导数的基本性质。主要结论有：（a） 有限维 Euclid 空间中 Eddington 张量、度量张量的偏导数都为零，对应 Eddington 张量及度量张量 的所有分量其所有的协变导数均为零；相关结论又称为 Ricci 引理。（b）Euclid 空间中协变导数可以交
换次序;涉及 Riemann- Christoffel i张量。④张量场的各种场论恒等式。此处,我们直接在一般曲线 坐标系下获得或者证明各种场论恒等式,此知识点在连续介质力学等理论体系中起着极其重要的作用, 其知识要素包括:(a) Eddington符号同 Kronecker符号之间的关系;(b)Rici引理。注:此知识点 所含知识要素很简要,但仅以这些知识要素就能推导或证明极其丰富的张量场场论恒等式,对理论及应 用研究都具有极其重要的作用。⑤应用事例:弹性力学、流体力学理论中起重要作用的张量场恒等式的 推演或证明。 第04周、第05周 4.非完整基(般文献常称为非完整系)理论①非完整基定义。②非完整基下张量场梯度的表达形式。 然此处的张量场梯度是在完整基(完整系)下定义的;现在要在非完整基下获得张量场梯度(新的张量 的表达式,自然需基于不同基下张量分量之间的转发关系。非完整基理论,实际提供了一种“形式运算”, 以最终获得非完整基下张量场梯度的表达式,其主要步骤,包括:(a)相对于非完整坐标的形式偏导数 b)非完整基下的形式第二类 Christoffel符号,形式第一类符号基于指标升降由形式第一类符号确定 (c)非完整基下的形式协变导数,基于非完整基下的形式偏导数以及第二类 Christoffel符号。③完整 基为正交基,非完整基为单位正交基的非完整基理论与实践。此种情形下,获得非完整基下张量场梯度 分量的形式运算变得十分简便。由此,为我们获得力学、物理上的各种张量场在单位正交基(源于正交 完整基的单位正交非完整基)下的分量表示提供了切实的方法。④应用事例:张量场方程中典型项在常 用单位正交基下的分量表示。典型项,如散度项、对流导数项、源项( Laplace算子项)等;单位正交 基,如柱坐标基、球坐标基、抛物双曲基等,都为非完整基。 第06周 基于曲线上标架的张量场场论① Frenet标架及其运动方程。基于有限维 Euclid空间之间向量值映照的 微分学以及相关张量恒等式,获得曲线上 Frenet标架及其运动方程;空间曲线曲率及挠率的定义及其几 何意义;空间曲线的局部近似。②对连续介质某时刻所占的空间位置(当前构型)中某曲线之 Frenet 标架展开张量场梯度。此情形,完整基自然可为定义张量场梯度的基,而Femt标架为非完整基,由此 可按不同基之间张量分量的转换关系确定张量场梯度相对于 Frenet标架的分量形式。③对某空间曲线上 有定义的张量场(可以曲线参数为自变量),可计算其对应曲线参数的导数(可认识为沿曲线的变化率) 此情形,需利用 Frenet标架及其标架运动方程 6.张量场的积分学内蕴形式广义Gau- Ostrograd公式基于微积分中Gaus- Ostrogradski公 式的指标形式,获得一般张量场面积分一体积分间恒等式的推演方法。 第07、08周 第三部分有限维Buid空间中曲面上张最场场论(微分学及积分学) 1.曲面基本几何性质①曲面的几何性质刻画。(a)曲面上的第一、第二类张量。(b) Gauss曲率及平均
4 / 7 换次序；涉及 Riemann－Christoffel 张量。④张量场的各种场论恒等式。此处，我们直接在一般曲线 坐标系下获得或者证明各种场论恒等式，此知识点在连续介质力学等理论体系中起着极其重要的作用， 其知识要素包括：（a）Eddington 符号同 Kronecker 符号之间的关系；（b）Ricci 引理。注：此知识点 所含知识要素很简要，但仅以这些知识要素就能推导或证明极其丰富的张量场场论恒等式，对理论及应 用研究都具有极其重要的作用。⑤应用事例：弹性力学、流体力学理论中起重要作用的张量场恒等式的 推演或证明。 ——第 04 周、第 05 周 4. 非完整基（一般文献常称为非完整系）理论 ①非完整基定义。②非完整基下张量场梯度的表达形式。当 然此处的张量场梯度是在完整基（完整系）下定义的；现在要在非完整基下获得张量场梯度（新的张量） 的表达式，自然需基于不同基下张量分量之间的转发关系。非完整基理论，实际提供了一种“形式运算”， 以最终获得非完整基下张量场梯度的表达式，其主要步骤，包括：（a）相对于非完整坐标的形式偏导数； （b）非完整基下的形式第二类 Christoffel 符号，形式第一类符号基于指标升降由形式第一类符号确定； （c）非完整基下的形式协变导数，基于非完整基下的形式偏导数以及第二类 Christoffel 符号。③完整 基为正交基，非完整基为单位正交基的非完整基理论与实践。此种情形下，获得非完整基下张量场梯度 分量的形式运算变得十分简便。由此，为我们获得力学、物理上的各种张量场在单位正交基（源于正交 完整基的单位正交非完整基）下的分量表示提供了切实的方法。④应用事例：张量场方程中典型项在常 用单位正交基下的分量表示。典型项，如散度项、对流导数项、源项（Laplace 算子项）等；单位正交 基，如柱坐标基、球坐标基、抛物双曲基等，都为非完整基。 ——第 06 周 5. 基于曲线上标架的张量场场论 ①Frenet 标架及其运动方程。基于有限维 Euclid 空间之间向量值映照的 微分学以及相关张量恒等式，获得曲线上 Frenet 标架及其运动方程；空间曲线曲率及挠率的定义及其几 何意义；空间曲线的局部近似。②对连续介质某时刻所占的空间位置（当前构型）中某曲线之 Frenet 标架展开张量场梯度。此情形，完整基自然可为定义张量场梯度的基，而 Frenet 标架为非完整基，由此 可按不同基之间张量分量的转换关系确定张量场梯度相对于 Frenet 标架的分量形式。③对某空间曲线上 有定义的张量场（可以曲线参数为自变量），可计算其对应曲线参数的导数（可认识为沿曲线的变化率）。 此情形，需利用 Frenet 标架及其标架运动方程。 6. 张量场的积分学 内蕴形式广义 Gauss－Ostrogradskii 公式 基于微积分中 Gauss－Ostrogradskii 公 式的指标形式，获得一般张量场面积分－体积分间恒等式的推演方法。 ——第 07、08 周 第三部分 有限维 Euclid 空间中曲面上张量场场论（微分学及积分学） 1. 曲面基本几何性质 ①曲面的几何性质刻画。（a）曲面上的第一、第二类张量。（b）Gauss 曲率及平均
曲率。基于线性代数中一个正定对称阵和对称阵可同时对角化的结论。(c)曲面之斜截线及其曲率。(d 曲面之法截线、主法截线及其曲率。(e)曲面局部表示。②曲面上标架及其运动方程。基于有限维 Euclid 空间之间向量值映照的微分学,类比于一般曲线坐标系的概念建立,获得曲面上 Frenet标架及其运动方 程。③曲面的半正交基。m维 Euclid空间中某m-1维曲面的切空间可唯一确定与切空间正交的法向 量(基于线性代数中齐次线性方程组理论);籍此可定义基于曲面的半正交基,隶属完整基。上述基于曲 面的半正交基的建立需要曲面是非褪化的,且半正交基可能仅在包含曲面的某一较薄的开集中存在。 第09、10周 2.曲面上张量场微分学(基于映照观点)①基于曲面上张量场可微性定义,引入曲面上协变导数。②定义 于曲面上的张量场其整体形式相对于某曲面坐标的偏导数。③按定义于曲面上的张量场其对曲面坐标的 混合偏导数可以交换次序的结论,引入 Riemann-Christoffel张量, Ricci s等式( Gauss方程)以及 Codazzi方程。 第11、12周 3.曲面上张量场微分学(基于流形/算子观点)①以有限维 Euclid空间中光滑曲面( Riemann流形)作 为对象,按微分同胚以及列满秩映照叙述坐标卡以及地图册(概念及作用)。②流形上 Riemann度量、 Levi- Civita联络、协变微分的坐标定义, Euclid空间中曲面对相关概念的具体实现。③曲面切空间 及余切空间;曲面上张量场。④同态映照及推前与拉回运算,基于参数构型中的微分同胚。⑤曲面上张 量场的Lie导数与物质导数,Hodεe星算子,里积运算,外微分运算,流形上主要微分运算之间的关系 ⑥力学、物理等方面的几何化相关内容 第13周。本部分有关内容在课程上仅做概述,学生可进一步研习 曲面上张量场积分学内蕴形式广义 Stokes公式基于微积分中 Stokes公式的指标形式,获得一般张 量场线积分一面积分间恒等式的推演方法。 第14周 第四部分外积运算及二阶张量(仿射量)的代数性质 外积运算①对称及反对称张量的定义。②置换算子。基于置换算子可给予方阵行列式的解析表达式,为 进一步推导行列式相关的结论提出了基础。③反对称化算子。④外积算子。外积算子的基本性质源于反 对称化算子的性质。⑤反对称张量的表示形式。 第15周 2.仿射量的特征问题①仿射量特征问题的提法。包括:特征值,左、右特征向量,特征多项式。②仿射量 的行列式。基于外积定义。③仿射量特征多项式的展开形式。涉及主不变量的外积表示。④ Hamilton caye定理。基于外积运算获得。⑤矩。r-阶主不变量可由1阶直至r阶矩表示。⑥矩以及主不变量关 于仿射量的导数。可先获得矩关于仿射量的导数;再由主不变量同矩之间的关系,获得主不变量关于仿 5/7
5 / 7 曲率。基于线性代数中一个正定对称阵和对称阵可同时对角化的结论。（c）曲面之斜截线及其曲率。（d） 曲面之法截线、主法截线及其曲率。（e）曲面局部表示。②曲面上标架及其运动方程。基于有限维 Euclid 空间之间向量值映照的微分学，类比于一般曲线坐标系的概念建立，获得曲面上 Frenet 标架及其运动方 程。③曲面的半正交基。m 维 Euclid 空间中某 m－1 维曲面的切空间可唯一确定与切空间正交的法向 量（基于线性代数中齐次线性方程组理论）；籍此可定义基于曲面的半正交基，隶属完整基。上述基于曲 面的半正交基的建立需要曲面是非褪化的，且半正交基可能仅在包含曲面的某一较薄的开集中存在。 ——第 09、10 周 2. 曲面上张量场微分学（基于映照观点） ①基于曲面上张量场可微性定义，引入曲面上协变导数。②定义 于曲面上的张量场其整体形式相对于某曲面坐标的偏导数。③按定义于曲面上的张量场其对曲面坐标的 混合偏导数可以交换次序的结论，引入 Riemann-Christoffel 张量，Ricci 等式（Gauss 方程）以及 Codazzi 方程。 ——第 11、12 周 3. 曲面上张量场微分学（基于流形/算子观点）①以有限维 Euclid 空间中光滑曲面（Riemann 流形）作 为对象，按微分同胚以及列满秩映照叙述坐标卡以及地图册（概念及作用）。②流形上 Riemann 度量、 Levi －Civita 联络、协变微分的坐标定义，Euclid 空间中曲面对相关概念的具体实现。③曲面切空间 及余切空间；曲面上张量场。④同态映照及推前与拉回运算，基于参数构型中的微分同胚。⑤曲面上张 量场的 Lie 导数与物质导数，Hodge 星算子，里积运算，外微分运算，流形上主要微分运算之间的关系。 ⑥力学、物理等方面的几何化相关内容。 ——第 13 周。本部分有关内容在课程上仅做概述，学生可进一步研习。 4. 曲面上张量场积分学 内蕴形式广义 Stokes 公式 基于微积分中 Stokes 公式的指标形式，获得一般张 量场线积分－面积分间恒等式的推演方法。 ——第 14 周 第四部分 外积运算及二阶张量（仿射量）的代数性质 1. 外积运算 ①对称及反对称张量的定义。②置换算子。基于置换算子可给予方阵行列式的解析表达式，为 进一步推导行列式相关的结论提出了基础。③反对称化算子。④外积算子。外积算子的基本性质源于反 对称化算子的性质。⑤反对称张量的表示形式。 ——第 15 周 2. 仿射量的特征问题 ①仿射量特征问题的提法。包括：特征值，左、右特征向量，特征多项式。②仿射量 的行列式。基于外积定义。③仿射量特征多项式的展开形式。涉及主不变量的外积表示。④Hamilton－ Cayle 定理。基于外积运算获得。⑤矩。r-阶主不变量可由 1 阶直至 r 阶矩表示。⑥矩以及主不变量关 于仿射量的导数。可先获得矩关于仿射量的导数；再由主不变量同矩之间的关系，获得主不变量关于仿