张量代数一置换运算及其应用 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月3日 1知识要素 11置换运算的定义 定义1.1(置换).置换可定义为一种改变有序元素组排列顺序的映照,可有两种记法: P30:= 其中{i1,…,i}为有序元素组的初始排列,{1,…,r}为每一元素对应的初始序号 a:{1,,r}→{(1),…,(r)} a:{i,…,ir}+{o(i1),…,σ(ir)} {o(i1),…,a(ir)}表示排序后的有序元素组,{o(1),…,o(r)}表示排序后的原有序元素组的序 号;前者可称为置换的元素定义,后者称为置换的序号定义.σ称为r阶置换,记作σ∈P.此 外,定义sgnσ称为置换σ的符号如下 m7全+1,将(,…,()恢复原本顺序需偶数次操作 1,将σ(1),…,σ(r)恢复原本顺序需奇数次操作 此处,每次交换两个数字称为一次“操作 以下以7阶置换为例,给出 3582694 234567 P 30 8429536 3746215 8429536 1234567 song 8429536 1234567 P3T 5174326 5869243 234567 1 9536 2654173 P 3Tσ sgn7。a=+1 5869243(235647 ①用方括号表示置换的序号定义,用圆括号表示置换的元素定义
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—置换运算及其应用 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 3 日 1 知识要素 1.1 置换运算的定义 定义 1.1 (置换). 置换可定义为一种改变有序元素组排列顺序的映照, 可有两种记法: Pr ∋ σ := [ 1 2 · · · r σ(1) σ(2) · · · σ(r) ] = ( i1 i2 · · · ir σ(i1) σ(i2) · · · σ(ir) ) , 其中 {i1, · · · , ir} 为有序元素组的初始排列, {1, · · · , r} 为每一元素对应的初始序号. σ : {1, · · · , r} 7→ {σ(1), · · · , σ(r)}, σ : {i1, · · · , ir} 7→ {σ(i1), · · · , σ(ir)} {σ(i1), · · · , σ(ir)} 表示排序后的有序元素组, {σ(1), · · · , σ(r)} 表示排序后的原有序元素组的序 号; 前者可称为置换的元素定义, 后者称为置换的序号定义. σ 称为r 阶置换➀, 记作 σ ∈ Pr. 此 外, 定义 sgn σ 称为置换 σ 的符号如下: sgn σ , +1, 将σ(1), · · · , σ(r)恢复原本顺序需偶数次操作; −1, 将σ(1), · · · , σ(r)恢复原本顺序需奇数次操作. 此处, 每次交换两个数字称为一次 “操作”. 以下以 7 阶置换为例, 给出 P7 ∋ σ = [ 3 5 8 2 6 9 4 8 4 2 9 5 3 6] = ( 1 2 3 4 5 6 7 3 7 4 6 2 1 5) , sgn σ = −1; P7 ∋ σ −1 = [ 8 4 2 9 5 3 6 3 5 8 2 6 9 4] = ( 1 2 3 4 5 6 7 6 5 1 3 7 4 2) , sgn σ −1 = −1; P7 ∋ τ = [ 8 4 2 9 5 3 6 5 8 6 9 2 4 3] = ( 1 2 3 4 5 6 7 5 1 7 4 3 2 6) , sgn τ = −1; P7 ∋ τ −1 = [ 5 8 6 9 2 4 3 8 4 2 9 5 3 6] = ( 1 2 3 4 5 6 7 2 6 5 4 1 7 3) , sgn τ −1 = −1; P7 ∋ τ ◦ σ= [ 3 5 8 2 6 9 4 5 8 6 9 2 4 3] = ( 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 6 4 7 1) , sgn τ ◦ σ = +1. ➀ 用方括号表示置换的序号定义, 用圆括号表示置换的元素定义. 1
张量代数一置换运算及其应用 谢锡麟 12置换运算的基本性质 性质1.1(置换运算的基本性质①).置换运算的基本性质可归纳如下: Anik1…A;jk=Aa(a)(n)(k1)…A(x)()(k) 2.对vr∈P,有 {(o(i1),…,o()No∈P}={(o-(i1),…,o-1(ir)a∈P} {(or(1), (ir))∈P} {(roo(i1),……,7oa(ir)|a∈P}; 3.对Va∈P,有 {(i1,……,ir)|i1,…,ir=1,…,m}={(σ(i),…,o(ir)|1,…,r=1,……,m} 1 证明按证明集合相等的方法,易于证明置换的基本性质 1.实际考虑 3746215 ki kg k3 k4 ks k6 k7 3374362135 那么就有 (a1)o(n)(k)…A(a)(y)()=AakA177k7Ak4Ai6k6A12)k241小h1A5方k 实际上此性质即为改变相乘的次序 2.考虑到a-1∈P,故有 {(a-1(i1),…,a-1(x)Na∈P}c{(o(i1),…,o(i)Na∈P} 另考虑到对vσ∈P,有 ),…,a(i)=(-2)-(i1)…,(o-2)-2(i) ∈{(-1(1) (x)Na∈P} ⑩相关结果发表于:谢锡麟.基于郭仲衡先生现代张量分析及有限变形理论知识体系的相关研究.力学季刊,2013, 34(2):337-351
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—置换运算及其应用 谢锡麟 1.2 置换运算的基本性质 性质 1.1 (置换运算的基本性质➀). 置换运算的基本性质可归纳如下: 1. 对 ∀ σ ∈ Pr, 有 Ai1j1k1 · · · Airjrkr = Aσ(i1)σ(j1)σ(k1) · · · Aσ(ir)σ(jr)σ(kr) ; 2. 对 ∀ τ ∈ Pr, 有 {(σ(i1), · · · , σ(ir))|∀ σ ∈ Pr} = {(σ −1 (i1), · · · , σ−1 (ir) ) |∀ σ ∈ Pr } = {(σ ◦ τ (i1), · · · , σ ◦ τ (ir))|∀ σ ∈ Pr} = {(τ ◦ σ(i1), · · · , τ ◦ σ(ir))|∀ σ ∈ Pr} ; 3. 对 ∀ σ ∈ Pr, 有 {(i1, · · · , ir)|i1, · · · , ir = 1, · · · , m} = {(σ(i1), · · · , σ(ir))|i1, · · · , ir = 1, · · · , m} = {(σ −1 (i1), · · · , σ−1 (ir) ) |i1, · · · , ir = 1, · · · , m} . 证明 按证明集合相等的方法, 易于证明置换的基本性质. 1. 实际考虑 σ = [ 1 2 3 4 5 6 7 3 7 4 6 2 1 5] ∼ ( i1 i2 i3 i4 i5 i6 i7 i3 i7 i4 i6 i2 i1 i5 ) ∼ ( j1 j2 j3 j4 j5 j6 j7 j3 j7 j4 j6 j2 j1 j5 ) ∼ ( k1 k2 k3 k4 k5 k6 k7 k3 k7 k4 k6 k2 k1 k5 ) , 那么就有 Aσ(i1)σ(j1)σ(k1) · · · Aσ(ir)σ(jr)σ(kr) = Ai3j3k3Ai7j7k7Ai4j4k4Ai6j6k6Ai2j2k2Ai1j1k1Ai5j5k5 . 实际上此性质即为改变相乘的次序. 2. 考虑到 σ −1 ∈ Pr, 故有 {(σ −1 (i1), · · · , σ−1 (ir) ) |∀ σ ∈ Pr } ⊂ {(σ(i1), · · · , σ(ir))|∀ σ ∈ Pr} . 另考虑到对 ∀ σ ∈ Pr, 有 (σ(i1), · · · , σ(ir)) = ( (σ −1 ) −1 (i1), · · · ,(σ −1 ) −1 (ir) ) ∈ {(σ −1 (i1), · · · , σ−1 (ir) ) |∀ σ ∈ Pr } , ➀ 相关结果发表于：谢锡麟. 基于郭仲衡先生现代张量分析及有限变形理论知识体系的相关研究. 力学季刊, 2013, 34(2):337-351. 2
张量代数一置换运算及其应用 谢锡麟 所以 (o(i1),…,a(i)No∈P}c{(-1(i1),…,ao-1(i)Na∈P}, 即有 {(o(i1),…,o(ir)Na∈P}={(a-(1),…,a-(x)Na∈P} 考虑到σoT∈P,故 {(or(i),…,0or(in)|a∈f}c{(o(i1),…,a(ir)Na∈P} 另考虑到对r∈Pr,有 ((i1),…,o()=(or-1or(i1),…,or-1or(ir), {(o(i1),……,o(ir)Na∈P}c{(aor(i1),……,oor(ir)Na∈P}, {((i),…,0()|∈P}={orn),…、0(i)No∈P 考虑到roa∈P,于是 {(roa(i1),…,ro0(ir)Na∈P}c{(o(i1),…,o(ir))|a∈P} 另考虑到对Va∈Pr,有 ((i1),…,O()=(ror-1oo(i1),…,7or-1oa(), {(or(i1),…,o(r)|Na∈P}c{(roa(i1),…,T。(ir)Na∈P} {(o(i1),…,σ(ir))|a∈P}={(roa(i1),……,7oo(ir))|a∈P} 3.显然有,对a∈P,满足 (o( (ir))∈{( {(a(i1),…,σ(r)|i1,…,i=1,…,m}<{(i1,…,)|1,…,i=1, 另考虑到对i1 有 )=(aoa-(i1),…,ooa-1(ir) 由此即有 {(i,…,ir)li1,……,ir=1,……,m}c{(σ(i1),……,o(ir)|i,…,ir=1,…,m}
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—置换运算及其应用 谢锡麟 所以 {(σ(i1), · · · , σ(ir))|∀ σ ∈ Pr} ⊂ {(σ −1 (i1), · · · , σ−1 (ir) ) |∀ σ ∈ Pr } , 即有 {(σ(i1), · · · , σ(ir))|∀ σ ∈ Pr} = {(σ −1 (i1), · · · , σ−1 (ir) ) |∀ σ ∈ Pr } . 考虑到 σ ◦ τ ∈ Pr, 故 {(σ ◦ τ (i1), · · · , σ ◦ τ (ir))|∀ σ ∈ Pr} ⊂ {(σ(i1), · · · , σ(ir))|∀ σ ∈ Pr} . 另考虑到对 ∀ τ ∈ Pr, 有 (σ(i1), · · · , σ(ir)) = ( σ ◦ τ −1 ◦ τ (i1), · · · , σ ◦ τ −1 ◦ τ (ir) ) , 可有 {(σ(i1), · · · , σ(ir))|∀ σ ∈ Pr} ⊂ {(σ ◦ τ (i1), · · · , σ ◦ τ (ir))|∀ σ ∈ Pr} , 故 {(σ(i1), · · · , σ(ir))|∀ σ ∈ Pr} = {(σ ◦ τ (i1), · · · , σ ◦ τ (ir))|∀ σ ∈ Pr} . 考虑到 τ ◦ σ ∈ Pr, 于是 {(τ ◦ σ(i1), · · · , τ ◦ σ(ir))|∀ σ ∈ Pr} ⊂ {(σ(i1), · · · , σ(ir))|∀ σ ∈ Pr} . 另考虑到对 ∀ σ ∈ Pr, 有 (σ(i1), · · · , σ(ir)) = ( τ ◦ τ −1 ◦ σ(i1), · · · , τ ◦ τ −1 ◦ σ(ir) ) , 则 {(σ(i1), · · · , σ(ir))|∀ σ ∈ Pr} ⊂ {(τ ◦ σ(i1), · · · , τ ◦ σ(ir))|∀ σ ∈ Pr} , 故 {(σ(i1), · · · , σ(ir))|∀ σ ∈ Pr} = {(τ ◦ σ(i1), · · · , τ ◦ σ(ir))|∀ σ ∈ Pr} . 3. 显然有, 对 ∀ σ ∈ Pr, 满足 (σ(i1), · · · , σ(ir)) ∈ {(i1, · · · , ir)|i1, · · · , ir = 1, · · · , m} , 即 {(σ(i1), · · · , σ(ir))|i1, · · · , ir = 1, · · · , m} ⊂ {(i1, · · · , ir)|i1, · · · , ir = 1, · · · , m} . 另考虑到对 i1, · · · , ir = 1, · · · , m, 有 (i1, · · · , ir) = ( σ ◦ σ −1 (i1), · · · , σ ◦ σ −1 (ir) ) , 由此即有 {(i1, · · · , ir)|i1, · · · , ir = 1, · · · , m} ⊂ {(σ(i1), · · · , σ(ir))|i1, · · · , ir = 1, · · · , m} , 3
张量代数一置换运算及其应用 谢锡麟 m}={((i1),…,o()|1,…,i 同理可得 1,…,m}c{(a-(i),…,a-l(ir)|i 1,…,m} 值得指岀,实际分析/计算中涉及置换运算的操作不外乎上述基本性质. 2应用事例 定义2.1(矩阵).下面的结构被称为矩阵 A A ∈武 其中i1,…,im∈N,j,……,in∈Ⅳ.矩阵A的行数和列数分别为m和n,相应的矩阵可以表示 为A∈Rmxn 定义2.2(矩阵的行列式①).对于任意方阵A∈Rmxm, A i A ∈R Ai 它的行列式记作 detA=Al A 可有以下3种等价性定义 (m),(行置换 dA=1∑mAm…4(m)m:(列置换) (sgna·sgnr)Arin)r(1)…A(m)r(m)(行列置换) ①矩阵的行列式即隐含了此矩阵是方阵的含义,即该矩阵的行数和列数是相等的
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—置换运算及其应用 谢锡麟 故 {(i1, · · · , ir)|i1, · · · , ir = 1, · · · , m} = {(σ(i1), · · · , σ(ir))|i1, · · · , ir = 1, · · · , m} . 同理可得 {(i1, · · · , ir)|i1, · · · , ir = 1, · · · , m} ⊂ {(σ −1 (i1), · · · , σ−1 (ir) ) |i1, · · · , ir = 1, · · · , m} . 值得指出, 实际分析/计算中涉及置换运算的操作不外乎上述基本性质. 2 应用事例 定义 2.1 (矩阵). 下面的结构被称为矩阵 A := Ai1j1 Ai1j2 · · · Ai1jn Ai2j1 Ai2j2 · · · Ai2jn . . . . . . . . . Aimj1 Aimj2 · · · Aimjn ∈ R m×n , 其中 i1, · · · , im ∈ N, j1, · · · , jn ∈ N. 矩阵 A 的行数和列数分别为 m 和 n, 相应的矩阵可以表示 为 A ∈ R m×n . 定义 2.2 (矩阵的行列式➀ ). 对于任意方阵 A ∈ R m×m, A := Ai1j1 · · · Ai1jm . . . . . . Aimj1 · · · Aimjm ∈ R m×m, 它的行列式记作 det A = |A| = Ai1i1 · · · Ai1im . . . . . . Aimi1 · · · Aimim . 可有以下 3 种等价性定义 det A = ∑ σ∈Pm sgn σAi1σ(j1) · · · Aimσ(jm) , (行置换) ∑ σ∈Pm sgn σAσ(i1)j1 · · · Aσ(im)jm, (列置换) 1 m! ∑ σ,τ∈Pm (sgn σ · sgn τ )Aσ(i1)τ(j1) · · · Aσ(im)τ(jm) . (行列置换) ➀ 矩阵的行列式即隐含了此矩阵是方阵的含义, 即该矩阵的行数和列数是相等的. 4
张量代数一置换运算及其应用 谢锡麟 如考虑detA∑ sgnoA1i)…An(m,可有 detA∑ sgn o Aing(n)…Am(m)=∑ sanaA,-1(1)n…A ∑sgna-14-1(n…A-1(m)m=∑snAa)n1…Aa(am)m 进一步,可有 detA=∑ snoaD()n…A(m)ym sgn a Aroo(i1)(1)"""Aroa(im)rUm),VTEP ∈Pm ∑sgmr(sgmr·sgn)Ao(a)ri)…Axo(m)r(m),v ∑ senT sgn o A(a)rin)…A(amr(om),wr∈Pn a∈Pm ∑(sgnσ·sgnr)A(a)-(n)…A4(m)(m) a∈PmT∈Pm 根据行列式的置换运算定义,可方便地得到如下行列式的基本性质 性质21.交换方阵的行(或列)奇数次,其行列式变号;交换方阵的行(或列)偶数次,其行 列式不变号.即 (1)1 m|4r(1) A m)m
张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—置换运算及其应用 谢锡麟 如考虑 det A , ∑ σ∈Pm sgn σAi1σ(j1) · · · Aimσ(jm) , 可有 det A , ∑ σ∈Pm sgn σAi1σ(j1) · · · Aimσ(jm) = ∑ σ∈Pm sgn σAσ−1(i1)j1 · · · Aσ−1(im)jm = ∑ σ∈Pm sgn σ −1Aσ−1(i1)j1 · · · Aσ−1(im)jm = ∑ σ∈Pm sgn σAσ(i1)j1 · · · Aσ(im)jm. 进一步, 可有 det A = ∑ σ∈Pm sgn σAσ(i1)j1 · · · Aσ(im)jm = ∑ σ∈Pm sgn σAτ◦σ(i1)τ(j1) · · · Aτ◦σ(im)τ(jm) , ∀ τ ∈ Pm = ∑ σ∈Pm sgn τ (sgn τ · sgn σ)Aτ◦σ(i1)τ(j1) · · · Aτ◦σ(im)τ(jm) , ∀ τ ∈ Pm = ∑ σ∈Pm sgn τ · sgn σAσ(i1)τ(j1) · · · Aσ(im)τ(jm) , ∀ τ ∈ Pm = 1 m! ∑ σ∈Pm ∑ τ∈Pm (sgn σ · sgn τ )Aσ(i1)τ(j1) · · · Aσ(im)τ(jm) . 根据行列式的置换运算定义, 可方便地得到如下行列式的基本性质. 性质 2.1. 交换方阵的行 (或列) 奇数次, 其行列式变号；交换方阵的行 (或列) 偶数次, 其行 列式不变号. 即 Aτ(1)1 · · · Aτ(1)m . . . . . . Aτ(m)1 · · · Aτ(m)m = A1τ(1) · · · A1τ(m) . . . . . . Amτ(1) · · · Amτ(m) = sgn τ A11 · · · A1m . . . . . . Am1 · · · Amm . 5