《第十一届全国水动力学学术会议文集》：现代张量分析在连续介质力学中的若干应用（复旦大学：谢锡麟）

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰110周年纪念大会文集 现代张量分析在连续介质力学中的若干应用 谢锡麟 (复旦大学力学与工程科学系,上海,200433,Email:xiexilin@fudan.edu.cn 摘要:本文籽叙述Eucd空间上张量场分析、二维曲面( Riemann流形)上的张量场分 析的相关知识体系要点,以及作为应用的可变形边界局部动力学有关研究的理论基础等。张 量分析是我国著名力学家周培源先生常用的数学及力学分析方法,亦谨以本位表示为前辈诚 挚的仰慕之情。 关键词:连续介质力学; Euclid空间上张量场分析;二维曲面上张量场分析;涡量与涡动 力学 1引言 一般连续介质力学的理论体系,引入初始物理构形以及当前物理构形,对二者可再分别 引入初始参数构形以及当前参数构形,物理构形与参数构形之间的关系即为一般曲线坐标系 数学上对应为有限维 Euclid空间之间二个开集之间的微分同胚[1-2]。 本研究受国家自然科学基金面上项目(1112069),上海市教委2011年上海高校本科重点教学改革项目的资

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 1 - 现代张量分析在连续介质力学中的若干应用* 谢锡麟 (复旦大学 力学与工程科学系，上海，200433, Email: xiexilin@fudan.edu.cn) 摘要：本文将叙述 Euclid 空间上张量场分析、二维曲面（Riemann 流形）上的张量场分 析的相关知识体系要点，以及作为应用的可变形边界局部动力学有关研究的理论基础等。张 量分析是我国著名力学家周培源先生常用的数学及力学分析方法，亦谨以本位表示为前辈诚 挚的仰慕之情。 关键词：连续介质力学；Euclid 空间上张量场分析；二维曲面上张量场分析；涡量与涡动 力学 1 引言 一般连续介质力学的理论体系，引入初始物理构形以及当前物理构形，对二者可再分别 引入初始参数构形以及当前参数构形，物理构形与参数构形之间的关系即为一般曲线坐标系， 数学上对应为有限维 Euclid 空间之间二个开集之间的微分同胚[1-2]。 * 本研究受国家自然科学基金面上项目（11172069），上海市教委 2011 年上海高校本科重点教学改革项目的资 助

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰110周年纪念大会文集 内射流边界 外射流边界 n, I 外射流边界 D 内射流边界 5.R(n,s, 1)cosn X(x)Dm×R”3(x1={0→(x(x)+2=x2(x0)5.R(n)smn 图1边界可作有限变形运动的射流其当前物理构形所对应曲线坐标系的选取 为研究边界的有限变形运动对介质运动的影响,我们对于当前物理构形引入显含时间的 曲线坐标系,表现为时空空间中的微分同胚。通过构造适当的曲线坐标系可将物理空间中几 何形态不规则且随时间变化的运动区域微分同胚至参数空间中的几何形态规则且不随时间变 化的参数区域。如图1所示,对于研究出口边界可作有限变形运动的射流场,其当前物理构 形显得极其复杂,但我们可以考虑如图所示的对应于当前物理构形的显含时间的曲线坐标系 使得当前参数构形不仅几何形态规则而且不随时间变化[3]。进一步将连续介质运动的控制方 程按曲线坐标系的局部基展开就可获得定义于参数区域上的控制方程。特别地,可基于非完 整系理论系统获得控制方程在一般单位正交系(非完整系)下的分量方程,也适用于按时均 分解的湍流控制方程。我们亦可将把相关方法推广至张量梯度的多点表示形式 以上所述,一定程度上归纳了现代张量分析在现代连续介质力学中有关应用的基本思想 及方法。本文将叙述巸 uclid空间上张量场分析、二维曲面( Riemann流形)上的张量场分析 的相关知识体系要点,以及作为应用的可变形边界局部动力学有关研究的理论基础 2 Euclid空间上的张量场分析 ◆曲线坐标系

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 2 - 1 X o  DPar   1 2 H o 2 X 3 X DPhy 外射流边界 内射流边界 R t   , r t   , 外射流边界 内射流边界              1 + 2 3 , , cos X , : , , X , , , , , , sin , r r X Rt x t D xt t xt t X xt t R t t X                                                                        图 1 边界可作有限变形运动的射流其当前物理构形所对应曲线坐标系的选取 为研究边界的有限变形运动对介质运动的影响，我们对于当前物理构形引入显含时间的 曲线坐标系，表现为时空空间中的微分同胚。通过构造适当的曲线坐标系可将物理空间中几 何形态不规则且随时间变化的运动区域微分同胚至参数空间中的几何形态规则且不随时间变 化的参数区域。如图 1 所示，对于研究出口边界可作有限变形运动的射流场，其当前物理构 形显得极其复杂，但我们可以考虑如图所示的对应于当前物理构形的显含时间的曲线坐标系， 使得当前参数构形不仅几何形态规则而且不随时间变化[3]。进一步将连续介质运动的控制方 程按曲线坐标系的局部基展开就可获得定义于参数区域上的控制方程。特别地，可基于非完 整系理论系统获得控制方程在一般单位正交系（非完整系）下的分量方程，也适用于按时均 分解的湍流控制方程。我们亦可将把相关方法推广至张量梯度的多点表示形式。 以上所述，一定程度上归纳了现代张量分析在现代连续介质力学中有关应用的基本思想 及方法。本文将叙述 Euclid 空间上张量场分析、二维曲面（Riemann 流形）上的张量场分析 的相关知识体系要点，以及作为应用的可变形边界局部动力学有关研究的理论基础。 2 Euclid 空间上的张量场分析  曲线坐标系

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰110周年纪念大会文集 g3(x) Curvilinear-coordiante g3xa X(x)∈C"(D2D,) 81(xa g <Ilocal Co variant-Basis DX(x)=[8,g2](x) 图2三维 Euclid空间中一般曲线坐标系示意图 可基于有限维 Euclid空间中微分同胚的映照理解曲线坐标系X(x)∈C(D,D,)如图 2所示,曲线坐标系的 Jacobian矩阵的每列直接定义的局部协变基向量。按线性代数,即得 对任一局部协变基{g},存在唯一的局部逆变基{g),满足(g,g)2=。以此,按有限 维Ecid空间中的微分学,即可引入m1se1符号的定义:R3()=g 张量函数空间的范数 张量场一般定义如下所述: d(x):R923x中(x)会:(x),8g88(x)∈T(R") 此处,不失一般性以三阶张量为例。我们可以考虑建立张量赋范线性空间,亦即引入张量范 数 ") Φ∈T 对于简单张量,则有:1n⑧5g)=xm-1。籍此,可基于一般赋范线性空间 上的微分学研究张量场以及一般张量映照的相关性质。 张量场可微性 按微分学,可估计因位置发生微小变化,而引起的张量的变化 (x+1)=(x)+:(x)gg8g:(x)+0(1-)er(R") ag k 此处口中(x)=(x)+I中;-中∷+,即为一般定义的张量分量的协变

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 3 - 1 x 2 x 3 x X1 X3 X2 b c a f g e h d a b c d e f g h 1   a g x 2   a g x 3   a g x 1 x 2 x 3 x o     ; p x y Curvilinear coordiante Xx C DD       123   var : ,, local Co iant Basis DX x g g g x   1 x 3 x 1   d g x 3   d g x 2   d g x 3 x 1 x 图 2 三维 Euclid 空间中一般曲线坐标系示意图 可基于有限维 Euclid 空间中微分同胚的映照理解曲线坐标系     , p X x y x C DD  。如图 2 所示，曲线坐标系的 Jacobian 矩阵的每列直接定义的局部协变基向量。按线性代数， 即得 对任一局部协变基gi ，存在唯一的局部逆变基  j g ，满足  3 , j j i i g g    。以此，按有限 维 Euclid 空间中的微分学，即可引入 Christoffel 符号的定义：   3 , : i s i js j s ji s g g x x g         。  张量函数空间的范数 张量场一般定义如下所述：           3 : m ik j m ji k        x x x xg g g x T      此处，不失一般性以三阶张量为例。我们可以考虑建立张量赋范线性空间，亦即引入张量范 数：   1 1 p p m p i i      T i i      ，   p m T  对于简单张量，则有：   3 m m mm T            。籍此，可基于一般赋范线性空间 上的微分学研究张量场以及一般张量映照的相关性质。  张量场可微性 按微分学，可估计因位置发生微小变化，而引起的张量的变化：           3 m ik j l m lj i k           x h x xg g g x h oh T      此处     i k ik i sk s ik k is j l j ls j lj s ls j l x x x                   ，即为一般定义的张量分量的协变

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰110周年纪念大会文集 导数。进一步,可有: dgp (x)(b)=[a0;(x)g,⑧g88g(x)][hg(x)]=(8a)(x)H =[hg(x)][ac:(x)g8g;.g8]=H()x) 由此,张量场梯度可以认为是张量场导数的内蕴表达形式。 ◆张量场方向导数 基于张量场可微性,可以定义张量场方向导数: lim (x+2)-中(x) =口Φ;(x)g⑧g⑧8(4):0t a￥(x)∈T(R 由此,可基于形式运算,定义任意张量场的任意场论运算 ◇场论恒等式推导基本要素 一般 Euclid空间中,场论恒等式的推导,可基于以下三方面要素 ①置换符号同 Kroneck符号之间的关系 8k-6 此处e以及6分别代表置换符号以及 Kronecker符号;∈为 Eddington张量的逆变分量。 ) Ricci引理 (E(x)8, 8g, @g(x)=V,e(x)8, @g, @ g(x) a(x)=0(8()8g(x)=Vs()gg(x)=0 亦即, Eddington张量场e(x)g8g,8g4(x)以及度量张量场gn(x)g'g(x)对所有 的方向导数均为零。 ③张量场分量之协变导数作用可以交换次序 V=V 本性质直接反映了 Euclid空间或 Euclid流形的基本几何特性。 ◇非完整系理论基本要素 ①完整系中定义的张量场梯度及其整体表示的不变性 v8中(x)=Vp;(x)ggg8g(x)=Votm(x)g08g8g880(x)

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 4 - 导数。进一步，可有：                    : : ik j l q lj i k q q ik l j q lj i k d x h x g g g g x hg x x H dx hg x x g g g g H x                                        由此，张量场梯度可以认为是张量场导数的内蕴表达形式。  张量场方向导数 基于张量场可微性，可以定义张量场方向导数：           3 0 lim : l ik j m lj i k l xi x xg g g x x T  x                    由此，可基于形式运算，定义任意张量场的任意场论运算：   l l l l g gx x x                     场论恒等式推导基本要素 一般 Euclid 空间中，场论恒等式的推导，可基于以下三方面要素： ① 置换符号同 Kroneck 符号之间的关系 ijk j k k j ijk ipq p q p q ipq         e e 此处 ijk e 以及 k q  分别代表置换符号以及 Kronecker 符号； ijk  为 Eddington 张量的逆变分量。 ② Ricci 引理                 0 0 ijk ijk l l i jk l i jk ij ij l l ij l ij x xg g g x xg g g x x x G x g xg g x g xg g x x x                         亦即，Eddington 张量场     ijk i jk   x g g gx 以及度量张量场    i j ij g xg g x  对所有 的方向导数均为零。 ③ 张量场分量之协变导数作用可以交换次序 pq qp    本性质直接反映了 Euclid 空间或 Euclid 流形的基本几何特性。  非完整系理论基本要素 ① 完整系中定义的张量场梯度及其整体表示的不变性                         : :   ik l j lj i k x xg g g g x xg g g g x                     

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰110周年纪念大会文集 此处V0(x)= Ceci Cibc(x)vm:(x)表示张量场梯度vaΦ(x)相对于 非完整基 的张量分量。 非完整基中的相关运算定义 形式偏导数:=Cp 形式 Christoffel符号 r(ae(x)=ccia cie(x) r*(x)-Cia cie,(x). a(x) 形式协变导数(亦即张量场梯度相对于非完整基的分量 )(x)+r(a)db()(r) a)(y) -r(ole, 7+r(ele alalie 实际理论分析或数值分析中,完整基为正交基,而非完整基为其单位正交基化。由此 可得在非完整的单位正交基中,形式偏导数、形式 Christoffel符号以及形式协变导数为 Lake,(x)=raye=r(aBr), ti: r(aBa)=-r(aaB) 1 aIn V(0)(ay)(x)=ob(aBy)(x)+r(a)d(mp)+r(p)(y)+r(y)(anB) 湍流研究中,经常需要对相关物理量进行时均分解,并且根据实际问题往往需要对非 Cartesian坐标系中的 Navier- Stokes方程等分量方程进行时间分解,以获得平均量方程以及 脉动量方程等[4]。对此,可以先明确: 平。-(8小)=(平+)-(8(④+)=平。-(8面)+v-(8) 此处,H=平+,Φ=Φ+表示二个任意张量场的时均分解,平和Φ为时间平均量,v 和为瞬时量。以上结论获得,基于o-(8①)=。-(8①)=0。按以上结论,结合非 完整系理论,易于获得一般非完整的单位正交系下的分量方程 ◇张量的二点形式表示及其基本微分学运算

第十一届全国水动力学学术会议暨第二十四届全国水动力学研讨会 并周培源教授诞辰 110 周年纪念大会文集 - 5 - 此处                       l j ik i k lj x CC CC x x                表示张量场梯度  x 相对于 非完整基g    的张量分量。 ② 非完整基中的相关运算定义 形式偏导数：   : l   C l   形式 Christoffel 符号：                    :   ij k ij j k ij i C x CCC x x CC x x x                形式协变导数（亦即张量场梯度相对于非完整基的分量）：                                                      x x :                                       实际理论分析或数值分析中，完整基为正交基，而非完整基为其单位正交基化。由此， 可得在非完整的单位正交基中，形式偏导数、形式 Christoffel 符号以及形式协变导数为：     1 : l C l g                     x :          ， ，有： 1 ln g g x                 x x :                       湍流研究中，经常需要对相关物理量进行时均分解，并且根据实际问题往往需要对非 Cartesian 坐标系中的 Navier-Stokes 方程等分量方程进行时间分解，以获得平均量方程以及 脉动量方程等[4]。对此，可以先明确：                                    此处， ，  表示二个任意张量场的时均分解， 和 为时间平均量， 和 为瞬时量。以上结论获得，基于             0 。按以上结论，结合非 完整系理论，易于获得一般非完整的单位正交系下的分量方程。  张量的二点形式表示及其基本微分学运算