曲线上标架 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 1知识要素 11曲线与曲线的弧长 单参数向量值映照即可称为曲线,如果在物理区域引入曲线坐标系,则一般先定义参数区域 上的曲线,即 Cx:R3la,月3t→x(t) ∈Rm 再定义物理区域中的曲线 (c(t) Cx: RD[O, BetH X(t)=X(a(t)) ∈R Xm(a(t)) 坐标对参数的变化率为 dXa i X(t+At)-X()dx(ai(t) 物理域中,曲线的弧长可以表示为 (t)dt 在一般曲线坐标系下将有()L=(x()9(),2()g((t)m=9()()(t)所 以在一般曲线坐标系下,弧长公式可以表示为 V9(x()(i( 此处9(x)=(91(x),9g(x)m为度量张量的协变分量 12以弧长为参数的 Frenet标架及其运动方程 引理1.1.如果向量A(t)的模保持不变,则有A(t)⊥A(t)
张量分析讲稿谢锡麟 曲线上标架 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 1.1 曲线与曲线的弧长 单参数向量值映照即可称为曲线, 如果在物理区域引入曲线坐标系, 则一般先定义参数区域 上的曲线, 即 Cx : R ⊃ [α, β] ∋ t 7→ x(t) = x 1 (t) . . . x m(t) ∈ R m. 再定义物理区域中的曲线 CX : R ⊃ [α, β] ∋ t 7→ X(t) = X(x(t)) = X1 (x(t)) . . . Xm(x(t)) ∈ R m. 坐标对参数的变化率为 dX dt (x) , lim ∆t→0 X(t + ∆t) − X(t) ∆t = DX(x)x˙(t) 物理域中, 曲线的弧长可以表示为 S = ∫ β α dX dt (t) Rm dt. 在一般曲线坐标系下, 将有 dX dt (t) 2 Rm = ( x˙ i (t)gi (x(t)), x˙ j (t)gj (x(t))) Rm = gij (x) ˙x i (t) ˙x j (t). 所 以在一般曲线坐标系下, 弧长公式可以表示为 S = ∫ β α √ gij (x(t)) ˙x i(t) ˙x j (t)dt, 此处 gij (x) = ( gi (x), gj (x) ) Rm 为度量张量的协变分量. 1.2 以弧长为参数的 Frenet 标架及其运动方程 引理 1.1. 如果向量 A(t) 的模保持不变, 则有 A˙ (t)⊥A(t). 1
曲线上标架 谢锡麟 证明向量A(t)的模保持不变,即有 d A(t 0,所以有 d da d A(tIR (t),A(t) 所以(A(0,A(O)m=0,即A()⊥A(O Frenet标架是定义在R3空间中的曲线上的标架,此时将曲线上点的坐标记作r以示区分 在定义了曲线的弧长之后,曲线上的每一点都对应一个特定的弧长值,即 d 在本章中,若无特殊说明,使用表示立,而使用r′表示.首先,有 dt (s)=r(s) drdt_f().所以|r()lRs=1 称为切向量.它满足r(s)=a(s)=atas(t)a 根据引理1.1,可得r(s)r(s).于是令"(OR3 n(s T'(sIR3 r(s)lr3 称为主法向量.显然|n(s)l3=1 b(s)=T(s)×n(s) 称为副法向量.显然有|b(s)3=1,而且b(s)⊥r(s),b(s)⊥n(s 综上,曲线每一点上的切向量、法向量以及副法向量可以构成曲线在该点的一个局部标架 (local frame) 切向量:r(s)=r(s) 2.主法向量:m(s) 3副法向量:b6=2(( 、显然, Frenet标架(见图1)是一个正交规范标架.藉此,在曲线上运动的质点,当其运动到某 时,定义在其上的向量(如速度、加速度等)都可以基于当地的 Frenet标架展开,亦即将某向 量表示成切向量、法向量以及副法向量的线性组合.以此,可作为进一步的解析基础. 由于 Frenet标架是局部的,一般沿着曲线而变化,因此需要研究局部标架随曲线弧长的变 化率.为此,先引入以下的定理
张量分析讲稿谢锡麟 曲线上标架 谢锡麟 证明 向量 A(t) 的模保持不变, 即有 d|A(t)| 2 Rm dt = 0, 所以有 d dt |A(t)| 2 Rm = 2 ( dA dt (t), A(t) ) Rm = 0, 所以 ( A˙ (t), A(t) ) Rm = 0, 即 A˙ (t) ⊥ A(t). Frenet 标架是定义在 R 3 空间中的曲线上的标架, 此时将曲线上点的坐标记作 r 以示区分. 在定义了曲线的弧长之后, 曲线上的每一点都对应一个特定的弧长值, 即 s(t) = ∫ t α dr dξ (ξ) R3 dξ. 在本章中, 若无特殊说明, 使用 r˙ 表示 dr dt , 而使用 r ′ 表示 dr ds . 首先, 有 ds dt (t) = dr dt (t) R3 = |r˙(t)|R3 , 令 τ (s) = r ′ (s), 称为切向量. 它满足 τ (s) = dr ds (s) = dr dt dt ds = r˙(t) |r˙(t)|R3 , 所以 |τ (s)|R3 = 1. 根据引理1.1, 可得 τ ′ (s)⊥τ (s). 于是令 n(s) = τ ′ (s) |τ ′(s)|R3 = r ′′(s) |r ′′(s)|R3 , 称为主法向量. 显然 |n(s)|R3 = 1. 令 b(s) = τ (s) × n(s) = r ′ (s) × r ′′(s) |r ′′(s)|R3 , 称为副法向量. 显然有 |b(s)|R3 = 1, 而且 b(s)⊥τ (s), b(s)⊥n(s). 综上, 曲线每一点上的切向量、法向量以及副法向量可以构成曲线在该点的一个局部标架 (local frame)： 1. 切向量：τ (s) = r ′ (s); 2. 主法向量：n(s) = r ′′(s) |r ′′(s)|R3 ; 3. 副法向量：b(s) = r ′ (s) × r ′′(s) |r ′′(s)|R3 . 显然, Frenet 标架 (见图1) 是一个正交规范标架. 藉此, 在曲线上运动的质点, 当其运动到某 点时, 定义在其上的向量 (如速度、加速度等) 都可以基于当地的 Frenet 标架展开, 亦即将某向 量表示成切向量、法向量以及副法向量的线性组合. 以此, 可作为进一步的解析基础. 由于 Frenet 标架是局部的, 一般沿着曲线而变化, 因此需要研究局部标架随曲线弧长的变 化率. 为此, 先引入以下的定理. 2
曲线上标架 谢锡麟 副法线 法平面 从 面 主法线 密切面 切线 Figure1: Frenet标架示意 定理12(标架运动方程),正交规范标架{1(t),ω2(t),ω3(t)}随变量t而变化,其变化率 可以通过系数矩阵(23)来表示: (a(00)=(c00422 上述方程称为标架运动方程(")是反对称矩阵,亦即==1y 证明由于 心i=9ma d(ui·w) di.u;+’dt ∑nn+∑!nl 2x+g2 基于上述定理, Frenet标架的标架运动方程可以表示为 T'(s)n(s)b(s))=T(s)n(s)b(s))212 0 13 02
张量分析讲稿谢锡麟 曲线上标架 谢锡麟 最楫 挨/楫 姿/楫 τ n b 閲 最 䶒 /樅䶒 嫻最䶒 Figure 1: Frenet 标架示意 定理 1.2 (标架运动方程). 正交规范标架 {ω1(t), ω2(t), ω3(t)} 随变量 t 而变化, 其变化率 可以通过系数矩阵 ( Ωij) 来表示： ( ω˙ 1(t) ω˙ 2(t) ω˙ 3(t) ) = ( ω1(t) ω2(t) ω3(t) ) Ω11 Ω12 Ω13 Ω21 Ω22 Ω23 Ω31 Ω32 Ω33 . 上述方程称为标架运动方程, ( Ωij) 是反对称矩阵, 亦即 Ωij = −Ωji. 证明 由于 ω˙ i = ∑ 3 p=1 Ωpiωp , ω˙ j = ∑ 3 q=1 Ωqjωq, 则 d(ωi · ωj ) dt = dωi dt · ωj + ωi · dωj dt = ∑ 3 p=1 Ωpiωp · ωj + ∑ 3 q=1 Ωqjωq · ωi = ∑ 3 p=1 Ωpiδpj + ∑ 3 q=1 Ωqjδqi = Ωji + Ωij = 0. 基于上述定理, Frenet 标架的标架运动方程可以表示为 ( τ ′ (s) n ′ (s) b ′ (s) ) = ( τ (s) n(s) b(s) ) 0 −Ω12 −Ω13 Ω12 0 −Ω23 Ω13 Ω23 0 . 3
曲线上标架 谢锡麟 因为r(s)=r"(s)=|r"(s)kn(s),所以有 212=|r"(s)k3,3=0. 令K(s)=|r"(s)3称为曲线该点处的曲率.再引入挠率满足 b(s)=-0(s)n(s) 因此有g23=0(s).挠率σ(s)可以表示为 (s)=-(b(s,n(s)g x rS ds r"(s)12 (r"(s)×r"( (r(s)×r"(s),r"(s) 1 d r"(s)3 ds Ir"(s)lR3(r'()xr(s),r"(s))r3 ()1 (r(s)×r"(s),r"(s) 综上,以弧长为参数的 Frenet标架的运动方程可以表示为 (()n()b()=(x)ms)b0)|0-0( 式中曲率(s)=|r"(s)k3,挠率a(s) (s),r"(s),r"(s)]3 13一般形式的 Frenet标架及其运动方程 设一般形式下的轨迹可以表示为r(t)=r(s(t),在不引起混淆的情况下,可以简单地将r(t) 记作r(t) 在这种情况下,切向量可以表示为 T(1)=r((t)=r(s() r(t) ds r(t)IR3 主法向量n≈、"(s)因此首先计算 r"(s(t)) (t)(s)=(ar(t) r(t) dP(t)g)(le=(),P)/3() 将式|(t)l2s=((t),(t)gs的两端求对t的导数得 d 21(t)lx|(1)a3=2((t),r(t)3
张量分析讲稿谢锡麟 曲线上标架 谢锡麟 因为 τ ′ (s) = r ′′(s) = |r ′′(s)|R3n(s), 所以有 Ω12 = |r ′′(s)|R3 , Ω13 = 0. 令 κ(s) = |r ′′(s)|R3 称为曲线该点处的曲率. 再引入挠率满足 b ′ (s) = −σ(s)n(s), 因此有 Ω23 = σ(s). 挠率 σ(s) 可以表示为 σ(s) = − ( b ′ (s), n(s) ) R3 = − ( d ds ( r ′ (s) × r ′′(s) |r ′′(s)|R3 ) , r ′′(s) |r ′′(s)|R3 ) R3 = − 1 |r ′′(s)| 2 R3 ( r ′′(s) × r ′′(s), r ′′(s) ) R3 − 1 |r ′′(s)| 2 R3 ( r ′ (s) × r ′′′(s), r ′′(s) ) R3 + 1 |r ′′(s)| 3 R3 d ds |r ′′(s)|R3 ( r ′ (s) × r ′′(s), r ′′(s) ) R3 = − 1 |r ′′(s)| 2 R3 ( r ′ (s) × r ′′′(s), r ′′(s) ) R3 = [r ′ (s), r ′′(s), r ′′′(s)]R3 |r ′′(s)| 2 R3 . 综上, 以弧长为参数的 Frenet 标架的运动方程可以表示为 ( τ ′ (s) n ′ (s) b ′ (s) ) = ( τ (s) n(s) b(s) ) 0 −κ(s) 0 κ(s) 0 −σ(s) 0 σ(s) 0 , 式中曲率 κ(s) = |r ′′(s)|R3 , 挠率 σ(s) = [r ′ (s), r ′′(s), r ′′′(s)]R3 |r ′′(s)| 2 R3 . 1.3 一般形式的 Frenet 标架及其运动方程 设一般形式下的轨迹可以表示为 rˆ(t) = r(s(t)), 在不引起混淆的情况下, 可以简单地将 rˆ(t) 记作 r(t). 在这种情况下, 切向量可以表示为 τ (t) = τ (s(t)) = r ′ (s(t)) = dr dt (t) dt ds (s) = r˙(t) |r˙(t)|R3 , 主法向量 n(s) = r ′′(s) |r ′′(s)|R3 , 因此首先计算 r ′′(s(t)) = dτ dt (t) dt ds (s) = ( d dt r˙(t) |r˙(t)|R3 ) 1 |r˙(t)|R3 = r¨(t) |r˙(t)| 2 R3 − r˙(t) |r˙(t)| 3 R3 d dt |r˙(t)|R3 . 将式 |r˙(t)| 2 R3 = (r˙(t), r˙(t))R3 的两端求对 t 的导数得 2|r˙(t)|R3 d dt |r˙(t)|R3 = 2 (r¨(t), r˙(t))R3 , 4
曲线上标架 谢锡麟 所以有 (F(t),r(t)g3, 此时 (s()=r(0)-(r(r()2;( Ir(t)23 r(t)I# P(g:()-(()/)2pro 根据内蕴正交分解,对于向量T,有 令T=(),e=m(可得 r"(s(t)) t) r(t) (t)×((t)×(t) (t)1s|(t)l8(|r()gs lr(t)I3 因此主法向量为 r(t)×(()×r(t) (t)ls|i(t)×(r(t)×(t)ls|(t)ls|(t)×(t)|R 此时曲率可以表示为 k(t)=r"s(t)kr(t)×(r(t)×r(t r(t)×r(t)lRs r(t)3 r(t)13 副法向量即为 b()=7(t)×n(t) r(t) r(tIR irOR/Fr(-( (t) (t)×(t) Ir(t)lR3/R3 r(t)IR r(t)1 挠率为 (t)= b(s(t),n(t) /db dt (t)x(s),n2(t) 1dr(t)×(t)(t)×(r(t)×(t) r(t)ldt|(t)×(t)3’|(t)lk(t)×(t)l3)g (t)×r(t) r(t)×(r(t)×F(t) r(t)lksl(t)×y(t)ls'|(t)ls|(t)×r(t) r(t)×(t), r(t) (t)(r(la-() T(t)×(t) r(t)×r(t)-r(1)+(F(t), (t) r(tIr3 (0)×F(1(()xr(,F0)=P()xO 式中倒数第二行使用了向量的内蕴正交分解 综上所述,一般形式的 Frenet标架可以表示为
张量分析讲稿谢锡麟 曲线上标架 谢锡麟 所以有 d dt |r˙(t)|R3 = 1 |r˙(t)|R3 (r¨(t), r˙(t))R3 , 此时 r ′′(s(t)) = r¨(t) |r˙(t)| 2 R3 − (r¨(t), r˙(t))R3 |r˙(t)| 4 R3 r˙(t) = 1 |r˙(t)| 2 R3 [ r¨(t) − ( r¨(t), r˙(t) |r˙(t)|R3 ) R3 r˙(t) |r˙(t)|R3 ] . 根据内蕴正交分解, 对于向量 T , 有 T = (T , e)R3 e − e × (e × T ). 令 T = r¨(t), e = r˙(t) |r˙(t)|R3 可得 r ′′(s(t)) = − 1 |r˙(t)| 2 R3 r˙(t) |r˙(t)|R3 × ( r˙(t) |r˙(t)|R3 × r¨(t) ) = − r˙(t) × (r˙(t) × r¨(t)) |r˙(t)| 4 R3 . 因此主法向量为 n(t) = r ′′(s(t)) |r ′′(s(t))|R3 = − r˙(t) × (r˙(t) × r¨(t)) |r˙(t) × (r˙(t) × r¨(t))|R3 = − r˙(t) × (r˙(t) × r¨(t)) |r˙(t)|R3 |r˙(t) × r¨(t)|R3 . 此时曲率可以表示为 κ(t) = |r ′′(s(t))|R3 = |r˙(t) × (r˙(t) × r¨(t))|R3 |r˙(t)| 4 R3 = |r˙(t) × r¨(t)|R3 |r˙(t)| 3 R3 . 副法向量即为 b(t) = τ (t) × n(t) = r˙(t) |r˙(t)|R3 × 1 |r˙(t)| 2 R3 [ r¨(t) − ( r¨(t), r˙(t) |r˙(t)|R3 ) R3 r˙(t) |r˙(t)|R3 ] = r˙(t) × r¨(t) |r˙(t)| 3 R3 . 挠率为 σ(t) = − ( d ds b(s(t)), n(t) ) R3 = − ( db dt (t) dt ds (s), n(t) ) R3 = − ( 1 |r˙(t)|R3 d dt r˙(t) × r¨(t) |r˙(t) × r¨(t)|R3 , − r˙(t) × (r˙(t) × r¨(t)) |r˙(t)|R3 |r˙(t) × r¨(t)|R3 ) R3 = ( r˙(t) × ... r (t) |r˙(t)|R3 |r˙(t) × r¨(t)|R3 , r˙(t) × (r˙(t) × r¨(t)) |r˙(t)|R3 |r˙(t) × r¨(t)|R3 ) R3 = 1 |r˙(t) × r¨(t)| 2 R3 ( r˙(t) × ... r (t), r˙(t) |r˙(t)|R3 × ( r˙(t) |r˙(t)|R3 × r¨(t) )) R3 = 1 |r˙(t) × r¨(t)| 2 R3 ( r˙(t) × ... r (t), −r¨(t) + ( r¨(t), r˙(t) |r˙(t)|R3 ) R3 r˙(t) |r˙(t)|R3 ) R3 = − 1 |r˙(t) × r¨(t)| 2 R3 (r˙(t) × ... r (t), r¨(t))R3 = [r˙(t), r¨(t), ... r (t)] |r˙(t) × r¨(t)| 2 R3 , 式中倒数第二行使用了向量的内蕴正交分解. 综上所述, 一般形式的 Frenet 标架可以表示为 5