高校力学课程教学系列报告会（2013）（原稿）：力学基础知识体系的现有学习、研究与教学体会（复旦大学力学系：谢锡麟）

力学基础知识体糸的现有学习、研究与教学 体会 谢锡麟 复旦大学力学与工程科学系上海200433) 摘要:本文将力学基础知识体系分为数学及力学二类,数学基础知识体系主要为微积分,力学基础知识 体系主要为张量分析及有限变形理论。首先,阐述了我们对数学的基本认识。其次,阐述了我们对张量分 析及有限变形理论的基本认识,包括映照观点,几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论。然后,叙述 了我们对张量分析及有限变形理论知识体系的基本构建,以及教学研究及实践上的一些体会 关键词:微积分;张量分析;有限变形理论 1对数学的认识 1.1数学的作用 性界 学&数学 关思想及方 续介 控制力学 相关思想及方 非自然世界 方法 微积分+线性代数 +泛函分析 次 图1力学与数学知识体系 数学的学科属性一直是讨论的议题。我国老一辈科学家谈镐生先生认为“按照近代观点, 物理、化学、天体物理、地球物理、生物物理可以全部归纳为物理科学。力学是物理科学的, 数学又是所有学科的共同工具,力学和数学原是科学发展史上的孪生子,因此,形象的可以 认为,物理科学是一根梁,力学和数学是它的两根支柱”。俄著名数理学家 V.ARnold认为 “数学是物理的一部分;物理是自然科学,且是实验科学;数学是物理中‘做实验’比较‘便 宜’的那部分”。 如图1所示,我们把世界分成客观世界(包括自然世界,非自然世界)以及理性世界二 大类;理性世界指我们对客观世界的认知,表现为我们所归纳的各种知识体系。按物理学和 本文相关研究受上海市教委2011年上海高校本科重点教学改革项目“‘现代连续介质力学理论及实践’课 程体系”:上海市教委2011年重点课程立项项目“《数学分析》(一年制,面对力学等技术科学专业)”:复 且大学2013年暑期集中性教学项目(FIST)《现代张量分析及其在连续介质中应用》:国家自然科学基金面 上项目(11172069)资助

力学基础知识体系的现有学习、研究与教学 体会* 谢锡麟 （复旦大学力学与工程科学系 上海 200433） 摘 要：本文将力学基础知识体系分为数学及力学二类，数学基础知识体系主要为微积分，力学基础知识 体系主要为张量分析及有限变形理论。首先，阐述了我们对数学的基本认识。其次，阐述了我们对张量分 析及有限变形理论的基本认识，包括映照观点，几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论。然后，叙述 了我们对张量分析及有限变形理论知识体系的基本构建，以及教学研究及实践上的一些体会。 关键词：微积分；张量分析；有限变形理论 1 对数学的认识 1.1 数学的作用 图 1 力学与数学知识体系 数学的学科属性一直是讨论的议题。我国老一辈科学家谈镐生先生认为“按照近代观点， 物理、化学、天体物理、地球物理、生物物理可以全部归纳为物理科学。力学是物理科学的， 数学又是所有学科的共同工具，力学和数学原是科学发展史上的孪生子，因此，形象的可以 认为，物理科学是一根梁，力学和数学是它的两根支柱”。俄著名数理学家 V.I.Arnold 认为 “数学是物理的一部分；物理是自然科学，且是实验科学；数学是物理中‘做实验’比较‘便 宜’的那部分”。 如图 1 所示，我们把世界分成客观世界（包括自然世界，非自然世界）以及理性世界二 大类；理性世界指我们对客观世界的认知，表现为我们所归纳的各种知识体系。按物理学和 *本文相关研究受上海市教委 2011 年上海高校本科重点教学改革项目“‘现代连续介质力学理论及实践’课 程体系”；上海市教委 2011 年重点课程立项项目“《数学分析》（一年制，面对力学等技术科学专业）”；复 旦大学 2013 年暑期集中性教学项目（FIST）《现代张量分析及其在连续介质中应用》；国家自然科学基金面 上项目（11172069）资助

第五届力学课程报告论坛论文—一力学基础知识体系的现有学习、研究与教学体会 力学专业的核心课程,可见我们主要基于力学和数学的思想及方法认知自然世界,以不断拓 展和深化我们的理性世界。我们把数学理解为“认识自然及非自然世界的系统的思想和方法 而非仅是数学逻辑”。此种观点,在俄罗斯数学教材选译等具有世界一流化水平的教程或专 著中有着深刻的表现进一步,我们提出这样的一种过程:认m自然现象=数学机制, 就此我们既认为数学机制应该是自然现象刻画的最佳形式,也认为对自然现象的刻画应该追 求对应的数学机制。另值得指出,不同的数学机制可能为不同自然现象的共同本质或刻画 我们称之为“数学通识”。法著名数学家 Poincare对数学的阐述为“对不同事物给予相同 刻画的技术”, V. ARnold也有类似的观点。数学通识既可引导我们按数学结构归纳某门知识 体系,也有益于建立不同知识体系之间的关系,为追求“(一门知识体系的)融会贯通与(多 门知识体系的)触类旁通”提供实质性的引导。 1.2数学实验 我们将实际的认识或者研究过程,归纳为三类实验:真实实验,数值实验以及数学实验。 从科硏硏究角度而言,真实实验及数值实验均无法单方面将其所得结论确定为真理,因为真 实实验不可能穷尽,真实实验及数值实验也不可避免地带有误差。数学实验(包括解析分析) 指对实际硏究对象首先建立模型,其次进行数学分析,然后将分析结果应用于实际对象。值 得指出,数学实验可能在某些情况可单方面就能确认其实验结果为“真理”;但在某些情况 也无法确认,此时相关结论必须经实践鉴别或者检验。以下列举二个数学实验事例。 ☆数学实验可确认实验结论为“真理”的事例:平面曲边扇形以及曲边梯形的面积计算 f(r) 图2平面曲边扇形以及曲边梯形示意图 面对平面曲边扇形的面积计算,我们开展数学实验,包括:数学建模→数学分析→指 导实践这三个基本过程 1.数学建模:按“分割→选取→求和→求极限”的过程,我们得到曲面扇形面积的一个计 算方案 R(O)dO=1mo|R2(),P,5|=1m∑R(5)△ PH04= 2 2.数学分析:致力于基于数学逻辑,研究上述面积计算方案的合理性。考虑到:对应分割P 每子块的真实面积S,具有如下估计:

第五届力学课程报告论坛论文——力学基础知识体系的现有学习、研究与教学体会 2 力学专业的核心课程，可见我们主要基于力学和数学的思想及方法认知自然世界，以不断拓 展和深化我们的理性世界。我们把数学理解为“认识自然及非自然世界的系统的思想和方法， 而非仅是数学逻辑”。此种观点，在俄罗斯数学教材选译等具有世界一流化水平的教程或专 著中有着深刻的表现。进一步，我们提出这样的一种过程： + lim = 认知  自然现象 数学机制， 就此我们既认为数学机制应该是自然现象刻画的最佳形式，也认为对自然现象的刻画应该追 求对应的数学机制。另值得指出，不同的数学机制可能为不同自然现象的共同本质或刻画， 我们称之为“数学通识”[1]。法著名数学家 Poincare 对数学的阐述为“对不同事物给予相同 刻画的技术”，V.I.Arnold 也有类似的观点。数学通识既可引导我们按数学结构归纳某门知识 体系，也有益于建立不同知识体系之间的关系，为追求“（一门知识体系的）融会贯通与（多 门知识体系的）触类旁通”提供实质性的引导。 1.2 数学实验 我们将实际的认识或者研究过程，归纳为三类实验：真实实验，数值实验以及数学实验。 从科研研究角度而言，真实实验及数值实验均无法单方面将其所得结论确定为真理，因为真 实实验不可能穷尽，真实实验及数值实验也不可避免地带有误差。数学实验（包括解析分析） 指对实际研究对象首先建立模型，其次进行数学分析，然后将分析结果应用于实际对象。值 得指出，数学实验可能在某些情况可单方面就能确认其实验结果为“真理”；但在某些情况 也无法确认，此时相关结论必须经实践鉴别或者检验。以下列举二个数学实验事例。 ☆ 数学实验可确认实验结论为“真理”的事例：平面曲边扇形以及曲边梯形的面积计算 o  a b x y o x y a b R  f x  图 2 平面曲边扇形以及曲边梯形示意图 面对平面曲边扇形的面积计算，我们开展数学实验，包括：数学建模→数学分析→指 导实践这三个基本过程。 1. 数学建模：按“分割→选取→求和→求极限”的过程，我们得到曲面扇形面积的一个计 算方案：       2 2 2 0 0 1 1 1 1 : lim , , lim 2 2 2 b a N i i P P i S R d R P R                            2. 数学分析：致力于基于数学逻辑，研究上述面积计算方案的合理性。考虑到：对应分割 P ， 每子块的真实面积 Sreal i, 具有如下估计：

力学基础知识体系的现有学习、研究与教学体会 infR2(O)·△a≤Sms|supR(O)|△a,Ⅵ≤isN 则有: 4(2())2Sm=Sm() 按 Riemann积分的相关理论,有:R(O)∈R2,]→R(0)∈R[2,],由此 2R(8414F(0)2F(0)=]F( 按夹逼性,则得平面曲边扇形面积计算的确定性结论: 当R(O)∈R,1,则有:S-子 2 R(Ode 同理,我们可以得平面曲边梯形面积计算的确定性结论: 当f(x)∈[ab,则有:S=∫f(x)ax 需指出,上述所谓的“确定性结论”的获得,实际基于共同的数学结构:真实值可由 Darboux小和和 Darboux大和控制。当 Riemann可积时, Darboux小和和大和具有相同的极 限值,即为 Riemann i积分值;故按夹逼性,真实值必为 Riemann积分值。 ☆数学实验未可确认实验结论为“真理”的事例:旋成体侧面积的计算 x-x)+(-x) b一→ y4=y()y=y() 图3由一般平面曲线形成旋成体示意图 如图3所示,将曲线绕x轴旋转一圈可形成旋成体,现需给出其侧面积计算方案。对此, 我们开展数学实验。针对旋成体局部侧面积的近似方法不同,我们可有如下两种方案。 方案1:“旋成体局部侧面积用圆台侧面积进行近似” 张筑生著《数学分析新讲》的第一册,对此有所叙述

力学基础知识体系的现有学习、研究与教学体会 3         1 1 2 2 , , , 1 1 inf sup , 1 2 2 i i i i R S R i N i real i i                                      则有：     2 2 , 1 1 1 , , 2 2 N real i real i L R P S S U R P                      按 Riemann 积分的相关理论，有：         1 2 , , 2 R R R R           a b a b ，由此：           2 2 2 2 0 0 1 1 1 1 , lim , lim , : 2 2 2 2 b a a b P P R R L R P U R P R d                                  按夹逼性，则得平面曲边扇形面积计算的确定性结论： 当 R R      a b ,  ，则有：   1 2 2 b a S R d real        。 同理，我们可以得平面曲边梯形面积计算的确定性结论： 当 f x R a b    ,  ，则有：   b real a S f x dx   。 需指出，上述所谓的“确定性结论”的获得，实际基于共同的数学结构：真实值可由 Darboux 小和和 Darboux 大和控制。当 Riemann 可积时，Darboux 小和和大和具有相同的极 限值，即为 Riemann 积分值；故按夹逼性，真实值必为 Riemann 积分值†。 ☆ 数学实验未可确认实验结论为“真理”的事例：旋成体侧面积的计算 x   i 1 t  i t o 0 t N t t y i 1 t t   i t t    1 1 : i i y y t    :   i i y y t      2 2 i i i i 1 1 x x y y      图 3 由一般平面曲线形成旋成体示意图 如图 3 所示，将曲线绕 x 轴旋转一圈可形成旋成体，现需给出其侧面积计算方案。对此， 我们开展数学实验。针对旋成体局部侧面积的近似方法不同，我们可有如下两种方案。 方案 1：“旋成体局部侧面积用圆台侧面积进行近似” † 张筑生著《数学分析新讲》的第一册，对此有所叙述

五届力学课程报告论坛论文—一力学基础知识体系的现有学习、研究与教学体会 =y() 图4旋成体侧面积局部:(a)平台侧面积近似,(b)圆柱侧面积近似示意图 局部圆台侧面积近似的几何关系如图4(a)所示,可得: R+r)(R-) 利用 Lagrange中值定理 S=2xy()2(5)+f()M+xy(a)√2(5)+f(m)M(21-) +x(月)√2(5)+y2(m)A(-5) 此处V∈(-,4) 籍此,我们易得估计: ES2x)()(6)+(万 Sr(x)F()+y()M(-5)+()√()+y(m)M(-=5 对于上述分析,我们要求:F()∈C[a,月],(t)∈R[a,月]。 进一步,考虑估计 √F2()+(n)M1-2xy()√F2(0)+y()h (5)、(4)+y(m)△-∑2xy()F()+() ()√F2(4)+y2()M1-J2xy()√()+y2( 对于R的第2项,由于丁2xy(0)()+(0)b∈R,则有估计 对E>0,彐δ>0,成立

第五届力学课程报告论坛论文——力学基础知识体系的现有学习、研究与教学体会 4 Ri     2 2 R r x x y y i i i i i i        1 1 1 2 2 i i   y or y  1 2 2 i i   y or y  ir i （a） x o y   1 1 : i i y y t    :   i i y y t  y i （b） 图 4 旋成体侧面积局部：（a）平台侧面积近似，（b）圆柱侧面积近似 示意图 局部圆台侧面积近似的几何关系如图 4（a）所示，可得：                   2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i S R r R r R r y y x x y y y y x x y y                                  利用 Lagrange 中值定理，                       2 2 2 2 1 2 2 2 i i i i i i i i i i i i i i i i i S y x y t y x y t t y x y t t                                   此处    i i i t t 1 , 。 籍此，我们易得估计：                                     2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 , , , 2 2 sup sup sup N N i i i i i i i N N i i i i i i i i i i i i i i S y x y t y x y t t y x y t t y t x t y t P                                                                 对于上述分析，我们要求： r t C r t R         , , ,      。 进一步，考虑估计：                                     2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 N i i i i i N N i i i i i i i i i i N i i i i i y x y t y t x t y t dt y x y t y x y t y x y t y t x t y t dt                                                            对于 RHS 的第 2 项，由于       2 2 2 y t x t y t dt          ，则有估计： 对    0 ， 0    ，成立

力学基础知识体系的现有学习、研究与教学体会 2xy()√2()+()M-2xy()√2()+0)d<EW 对于RHS的第1项,有 E2y5)F(3)+(-2x(),()+(~ spxy(5)N(4)+p(n)-√2()+y(5)M sS2xy()[(5)-x(5)+(n)y()△ 2r.suply((I-o((),p)+o((), P)I 综上,我们基于圆台侧面积近似的数学实验的结论为 当有F()∈C[a,],(t)∈R[a,月],则有: 彐im∑S△M=∫2zy()√x2()+y2()d∈R 方案2:“旋成体局部侧面积用圆柱侧面积进行近似” 基于局部圆柱侧面积近似,如图4(b)所示,有: S=2xy(4)Ax=2xy(4)x-x=2x,y()(n)△ 通过相关分析,基于圆柱侧面积近似的数学实验的结论为 当有F()∈C[a,,(t)∈R[a,月],则有 3∑S△M,=∫2xy()()a∈R 至此,我们关于旋成体侧面积的计算提供了两种方案 按圆台侧面积近似,有:∫2xy()yF(+y()d 按圆柱侧面积近似,有:j2xy(0)|() 从数学实验角度而言,上述二者方案的数学建模、数学分析过程均符合逻辑过程。然而,仅 需考虑圆锥侧面积就可鉴别按圆柱侧面积近似所得的数学结果与实际不符;而实践证明,圆 台侧面积近似所得的数学实验结论是正确的。 2力学之专业基础知识体系 我们将力学之数学及专业知识体系的核心基础归纳为“微积分一流化进程”以及“现代 连续介质力学理论及其实践”二条路径叫,现已分别建立了课程体系。数学基础路径为专 “微积分一流化进程”课程网站http://jpkc.fudanedu.cn/s354/:“现代连续介质力学理论及实践”课程网

力学基础知识体系的现有学习、研究与教学体会 5             2 2 2 2 1 2 2 , N i i i i i y x y t y t x t y t dt P                         对于 RHS 的第 1 项，有：                                             2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 , 2 2 2 2 2 sup , , N N i i i i i i i i i i N i i i i i i i N i i i i i i i y x y t y x y t y x y x y t y x x y y t y t x t P y t P                                                                     综上，我们基于圆台侧面积近似的数学实验的结论为： 当有 r t C r t R         , , ,      ，则有：       2 2 0 1 lim 2 N i i P i S t y t x t y t dt               方案 2：“旋成体局部侧面积用圆柱侧面积进行近似” 基于局部圆柱侧面积近似，如图 4（b）所示，有： S y x y x x y x t i i i i i i i i i             2 2 2            1     通过相关分析，基于圆柱侧面积近似的数学实验的结论为： 当有 r t C r t R         , , ,      ，则有：     0 1 lim 2 N i i P i S t y t x t dt              至此，我们关于旋成体侧面积的计算提供了两种方案： 1. 按圆台侧面积近似，有：       2 2 2 y t x t y t dt        2. 按圆柱侧面积近似，有： 2 y t x t dt           从数学实验角度而言，上述二者方案的数学建模、数学分析过程均符合逻辑过程。然而，仅 需考虑圆锥侧面积就可鉴别按圆柱侧面积近似所得的数学结果与实际不符；而实践证明，圆 台侧面积近似所得的数学实验结论是正确的。 2 力学之专业基础知识体系 我们将力学之数学及专业知识体系的核心基础归纳为“微积分一流化进程”以及“现代 连续介质力学理论及其实践”二条路径[1]，现已分别建立了课程体系‡。数学基础路径为专 ‡ “微积分一流化进程”课程网站 http://jpkc.fudan.edu.cn/s/354/；“现代连续介质力学理论及实践”课程网