复旦学报(自然科学版) VoL. 52 No 4 2013年8月 Journal of Fudan University(Natural Science) Aug.2013 文章编号:0427-7104(2013)04-0547-11 有限变形理论的若干进展及其在 流体力学中的相关应用 谢锡麟,陈瑜,史倩 (复旦大学力学与工程科学系,上海200433) 摘要:概要性地叙述了作者新近提出的“当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论”、“几何 形态为曲面的连续介质的有限变形理论”,前者针对介质几何形态为 Euclid流形(体积形态),后者针对 Riemann 流形(曲面形态).类比于一般有限变形理论,上述理论均包括物理及参数构型构造·变形梯度定义及其基本性 质,变形刻画,输运定理以及守恒律方程。基于上述理论提出对应曲线坐标系显含时间的流函数-涡量解法,固定 曲面上二维不可压缩流动的流函数-涡量解法以及海面油污扩散控制方程,并给出了相关数值研究结果 关键词:有限变形理论;流函数-涡量解法;曲线坐标系显含时间;固定曲面上二维流动;可变形边界钝体绕 流;海面油污扩散 中图分类号:O33;035 文献标志码:A 1当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论 1.1研究背景 众所周知,当代飞机最为基础的飞行原理是按动量定理通过发动机提供向前推力,从而按 Bernoulli 定理由机翼产生升力——利用了流体力学中最为基础的规律.然而,自然界中各种各样的鱼儿游动与鸟儿 飞翔却没有“自身携带的发动机”,它们的自由运动往往仅依赖于躯体的摆动或者翅膀的挥舞——利用边 界的有限变形运动同周围流场间的相互作用而获得所需的各种动力.然而,至今我们对此方面的机制仍知 之甚少,我们当前所发展的航空和航海器的效率也远未及鱼儿与鸟儿 随着现代航空航海业的深度发展,国内外流体力学界开始广泛关注边界的有限变形运动同周围流场 间的相互作用.WuCJ等(2009,2010)3,主要基于CFD( Computational Fluid Dynamics,计算流体动力 学)以及控制理论等硏究3D三维)仿生鱼及鱼群的游动规律,发现类金枪鱼躯体上的旋涡脱落可同尾鳍 摆动造成的同向旋涡发生归并从而提供鱼的推进力;基于其所发展的实时控制理论,通过数值研究发现经 实时优化的二维仿生鱼的形态可显著提高鱼的推进力,流场反映为反向 Karman涡街的增强. Dong g j 等(2007)[研究了并列二维仿生鱼做同相位及反相位流向行波型运动对推进力等水动力学行为的影响, 发现了涡对涡街、单涡街和同相位及反相位同步涡街等4种大尺度旋涡结构.类似结构也在经典并列双圆 柱绕流以及横向振动单圆柱绕流中发现[.DuG等(2008)-0三维研究发现昆虫翅膀的可变形拍动(弯 拱及扭转,真实情况如此)较之刚性翅膀拍动可显著提高各项气动性能.LuXY等(2005)研究了壁面 可作流向行波运动的二维槽道流动,以模拟鱼游动时背脊的波动,发现优化的行波运动可以有效抑制分 离、提高推进及减小输入.WuCJ等(2003)-1研究二维机翼上表面的流向行波运动对流动的影响,基于 旋涡的空间特征提出“流动滚柱轴承”( fluid roller bearing)的概念,发现适当的表面行波运动可有效抑制 分离,显著提高机翼的空气动力性能.WuCJ等(2007)1进一步研究了二维圆柱后半部表面引入行波运 收稿日期:2013-05-08 基金项目:国家自然科学基金面上项目(1112069)资助;上海市教委2011年上海高等本科重点教学改革项目“‘现代 连续介质力学理论及实践’课程体系” 作者简介:谢锡麟(1974-),男,副教授,博士,E-mail:xiexilin@fudan.edu.cn. C1994-2013ChinaAcademicJOurnalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net
文章编号：０４２７－７１０４（２０１３）０４－０５４７－１１ 收稿日期：２０１３－０５－０８ 基金项目：国家自然科学基金面上项目（１１１７２０６９）资助；上海市教委２０１１年上海高等本科重点教学改革项目“‘现代 连续介质力学理论及实践’课程体系” 作者简介：谢锡麟（１９７４—），男，副教授，博士，Ｅ－ｍａｉｌ：ｘｉｅｘｉｌｉｎ＠ｆｕｄａｎ．ｅｄｕ．ｃｎ． 有限变形理论的若干进展及其在 流体力学中的相关应用 谢锡麟，陈 瑜，史 倩 （复旦大学 力学与工程科学系，上海 ２００４３３） 摘 要：概要性地叙述了作者新近提出的“当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论”、“几 何 形态为曲面的连续介质的有限变形理论”，前者针对介质几何形态为 Ｅｕｃｌｉｄ流形（体积形态），后者针对 Ｒｉｅｍａｎｎ 流形（曲面形态）．类比于一般有限变形理论，上述理论均包括物理及参数构型构造，变形梯度定义及其基本性 质，变形刻画，输运定理以及守恒律方程．基于上述理论提出对应曲线坐标系显含时间的流函数 涡量解法，固定 曲面上二维不可压缩流动的流函数 涡量解法以及海面油污扩散控制方程，并给出了相关数值研究结果． 关键词：有限变形理论；流函数 涡量 解 法；曲线坐标系显含时间；固 定 曲 面 上 二 维 流 动；可变形边界钝体绕 流；海面油污扩散 中图分类号：Ｏ３３；Ｏ３５ 文献标志码：Ａ １ 当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论 １．１ 研究背景 众所周知，当代飞机最为基础的飞行原理是按动量定理通过发动机提供向前推力，从而按 Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ 定理由机翼产生升力———利用了流体力学中最为基础的规律．然而，自然界中各种各样的鱼儿游动与鸟儿 飞翔却没有“自身携带的发动机”，它们的自由运动往往仅依赖于躯体的摆动或者翅膀的挥舞———利用边 界的有限变形运动同周围流场间的相互作用而获得所需的各种动力．然而，至今我们对此方面的机制仍知 之甚少，我们当前所发展的航空和航海器的效率也远未及鱼儿与鸟儿［１－４］ ． 随着现代航空航海业的深度发展，国内外流体力学界开始广泛关注边界的有限变形运动同周围流场 间的相互作用．ＷｕＣＪ等（２００９，２０１０）［３，５，６］主要基于 ＣＦＤ（ＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＦｌｕｉｄＤｙｎａｍｉｃｓ，计算流体动力 学）以及控制理论等研究３Ｄ（三维）仿生鱼及鱼群的游动规律，发现类金枪鱼躯体上的旋涡脱落可同尾鳍 摆动造成的同向旋涡发生归并从而提供鱼的推进力；基于其所发展的实时控制理论，通过数值研究发现经 实时优化的二维仿生鱼的形态可显著提高鱼的推进力，流场反映为反向 Ｋａｒｍａｎ涡街的增强．ＤｏｎｇＧＪ 等（２００７）［７］研究了并列二维仿生鱼做同相位及反相位流向行波型运动对推进力等水动力学行为的影响， 发现了涡对涡街、单涡街和同相位及反相位同步涡街等４种大尺度旋涡结构．类似结构也在经典并列双圆 柱绕流［８］以及横向振动单圆柱绕流中发现［９］ ．ＤｕＧ 等（２００８）［１０］三维研究发现昆虫翅膀的可变形拍动（弯 拱及扭转，真实情况如此）较之刚性翅膀拍动可显著提高各项气动性能．ＬｕＸ Ｙ 等（２００５）［１１］研究了壁面 可作流向行波运动的二维槽道流动，以模拟鱼游动时背脊的波动，发现优化的行波运动可以有效抑制分 离、提高推进及减小输入．ＷｕＣＪ等（２００３）［１２］研究二维机翼上表面的流向行波运动对流动的影响，基于 旋涡的空间特征提出“流动滚柱轴承”（ｆｌｕｉｄｒｏｌｌｅｒｂｅａｒｉｎｇ）的概念，发现适当的表面行波运动可有效抑制 分离，显著提高机翼的空气动力性能．ＷｕＣＪ等（２００７）［１３］进一步研究了二维圆柱后半部表面引入行波运 第５２卷 第４期 ２０１３年８月 复 旦 学 报 （自然科学版） ＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｕｄａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ） Ｖｏｌ．５２Ｎｏ．４ Ａｕｇ．２０１３
548 复旦学报(自然科学版) 第52卷 动的作用,发现适当的壁面行波运动可抑制 Karman涡街的形成,大幅度降低阻力 综上所述,绕流体边界的形态及其有限变形运动能够显著地改变流场中的主导旋涡结构及其空间演化 特性,从而大幅度地改变绕流体的气动或水动性能,甚至边界变形运动同流场的相互作用可直接提供动力 等.对此方面机制的研究与掌握必然对现代航空航海业具有极其重要的意义,故引起业界的广泛关注 1.2映照及张量分析观点 如图1所示,当研究可变形机翼的绕流时,我们可引入以下显含时间的曲线坐标系: X=(r(y,t)+·(R(y5)-r(y3,1)·cosn, X=5. X=(r(y,1)+·(R(y3)-r(n,t))·sin 此处(n,5)为刻画机翼表面(曲面)的双参数;r(n,3,t)和R(y,5)分别刻画机翼表面以及流场外界面,二者 之间所围区域可定义为所需数值模拟的物理流场.利用上述曲线坐标系,物理流场所对应的参数区域为相 对于时间固定的方块 当前物理构型 当前参数构型 (边界可变形) (边界始终固定)\ rn. 5, n) 图1适用于表面可做有限变形运动机翼绕流的显含时间的曲线坐标系示意图 Fig 1 Sketch of curvilinear coordinates including time explicitly that is suitable to flows around an airfoil with deformable boundaries 进一步,基于一般曲线坐标系的张量场分析,可将任意张量场及其场论微分运算在曲线坐标所诱导的 局部基下展开,如图2所示.如对流项的展开: V. vOV=V V, g =V(.D).(ar+r; Ve )(a D8 (, D) V=V (x, Dg (r, D) 其中r(x,1)为 Christoffel符号.籍此,我们可以获得各种控制方程在参数域上的分量控制方程 =(xng⑧g⑧g(x =d(xn)g②gg(x20 参数区域 x-曲线8( g(xn) x-曲线 gi(r,) x-曲线 x-曲线 物理区域 x-曲线 曲线坐标X=x,D 图2一般曲线坐标系及其所诱导的局部基示意图 Fig 2 Sketch of general curvilinear coordinates with its local induced basis C1994-2013ChinaAcademicJOurnalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net
动的作用，发现适当的壁面行波运动可抑制 Ｋａｒｍａｎ涡街的形成，大幅度降低阻力． 综上所述，绕流体边界的形态及其有限变形运动能够显著地改变流场中的主导旋涡结构及其空间演化 特性，从而大幅度地改变绕流体的气动或水动性能，甚至边界变形运动同流场的相互作用可直接提供动力 等．对此方面机制的研究与掌握必然对现代航空航海业具有极其重要的意义，故引起业界的广泛关注． １．２ 映照及张量分析观点 如图１所示，当研究可变形机翼的绕流时，我们可引入以下显含时间的曲线坐标系： Ｘ１＝（ｒ（η，ζ，ｔ）＋ξ·（Ｒ（η，ζ）－ｒ（η，ζ，ｔ）））·ｃｏｓη， Ｘ２＝ζ， Ｘ３＝（ｒ（η，ζ，ｔ）＋ξ·（Ｒ（η，ζ）－ｒ（η，ζ，ｔ）））·ｓｉｎη 烅 烄 烆 ． 此处（η，ζ）为刻画机翼表面（曲面）的双参数；ｒ（η，ζ，ｔ）和Ｒ（η，ζ）分别刻画机翼表面以及流场外界面，二者 之间所围区域可定义为所需数值模拟的物理流场．利用上述曲线坐标系，物理流场所对应的参数区域为相 对于时间固定的方块． 图１ 适用于表面可做有限变形运动机翼绕流的显含时间的曲线坐标系示意图 Ｆｉｇ．１ Ｓｋｅｔｃｈｏｆｃｕｒｖｉｌｉｎｅａｒｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｉｎｃｌｕｄｉｎｇｔｉｍｅｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙｔｈａｔｉｓｓｕｉｔａｂｌｅｔｏ ｆｌｏｗｓａｒｏｕｎｄａｎａｉｒｆｏｉｌｗｉｔｈｄｅｆｏｒｍａｂｌｅｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ 进一步，基于一般曲线坐标系的张量场分析，可将任意张量场及其场论微分运算在曲线坐标所诱导的 局部基下展开，如图２所示．如对流项的展开： Ｖ珝· Δ Ｖ珝＝Ｖｊ Δ ｊＶｉ ｇ珝ｉ＝Ｖｊ（ｘ，ｔ）· Ｖｉ ｘｊ＋Γｉ （ ） ｊｋＶｋ （ｘ，ｔ）ｇ珝ｉ（ｘ，ｔ），Ｖ＝Ｖｉ（ｘ，ｔ）ｇ珝ｉ（ｘ，ｔ）， 其中Γｉ ｊｋ（ｘ，ｔ）为 Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌ符号．籍此，我们可以获得各种控制方程在参数域上的分量控制方程． 图２ 一般曲线坐标系及其所诱导的局部基示意图 Ｆｉｇ．２ Ｓｋｅｔｃｈｏｆｇｅｎｅｒａｌｃｕｒｖｉｌｉｎｅａｒｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｗｉｔｈｉｔｓｌｏｃａｌｉｎｄｕｃｅｄｂａｓｉｓ ８４５ 复 旦 学 报（自然科学版） 第５２卷
第4期 谢锡麟等:有限变形理论的若干进展及其在流体力学中的相关应用 549 按上述映照及张量分析观点,所得控制方程的分量形式有如下特点:①分量形式为建立在参数区域 上的偏微分方程( Partial Differential Equations,PDE),计算域形态随时间始终保持方体而边界条件可随 时间变化,由此大大简化了差分格式等构造上的复杂性;②现分量方程较之直角坐标系的分量方程,可能 引入混合偏导数项、度量张量分量、 Christoffel符号等而显得更为复杂,但并不引入更高阶导数项,需指出 方程中显含的度量张量分量、 Christoffel符号等直接由曲线坐标系确定,事先就可获得解析表达式或通过 数值方法确定;③在壁面上,物理量按相对于反映曲面几何性质的局部基展开,往往便于边界条件的 处理 国际上较早基于张量分析获得一般曲线坐标系下的流动控制方程(物理量基于局部基展开)并进 行数值研究的理论成果包括国际著名透平机械专家吴仲华先生首创的关于S1及S2流面的研究;李 开泰、黄艾香在张量分析及其应用方面的较为系统的研究[15,他们的研究主要应用于旋转机械叶片附 近的流动.这些研究一般仅涉及静止或刚性的曲面壁面而未涉及壁面的有限变形运动,而我们将当前 物理构型对应的曲线坐标系(微分同胚)推广到显含时间情形,籍此可获得既“规则”又“固定”的参数区 域并基于张量分析获得其上的控制方程.谢锡麟(2012)16叙述了现代张量分析在连续介质力学中的 若干应用 1.3有限变形理论 我们按照郭仲衡所述的有限变形理论[,平行发展了当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有 限变形理论[.有限变形理论的基本内容,可以依次归结为4部分:(1)物理构型及参数构型构造; (2)变形梯度及其基本性质;(3)变形刻画及输运定理(包括:①初始物理构型以及当前物理构型中有向 线元、面元以及体元之间的关系;②初始物理构型以及当前物理构型中有向线元、面元以及体元模之间的 关系;③当前物理构型中有向线元、面元以及体元的物质导数同其自身之间的关系;④当前物理构型中 有向线元、面元以及体元模的物质导数同其自身之间的关系),基于关系式③、④易于获得最一般的第二类 以及第一类线、面、体的输运定理;(4)守恒律控制方程 需指出,当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论同一般理论的主要差别在于速度 以及物质导数的表达式: △(,D)=X(x,)x X (,t)g:(x,t)+(x,t) a x (x,1)=9x 相对于一般情形,速度表达式出现增加项:a(x,D) ),(x,)=()(x,)(x,),完全 源于当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间.进一步,对任意张量场的物质导数,有 9()D(x,)+8(,)(,)=(x,)+·-(x,D)·V②虫 相对于一般形式,增加了项一(x,1)·8,8小=()②单会②(x,1代表相对于 Euclid坐 标的全梯度算子对于变形梯度FA∞x(,1)g,(x,n)⑧G(),其基本意义及基本性质保持不变,即有: 正=((x,D)·F=:1L·F,adtF=tF,此处 det F4vgdet(en),0:=.(x,).由 d 此,变形刻画所有关系式同一般理论;当保留物质导数的整体形式,输运定理所有关系式同一般理论.需指 出,现研究的连续介质的几何形态仍为 Euclid流形,故在张量场分析上并无差异 1.4应用事例 近期我们基于当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论发展了对应显含时间曲线坐 标系的流函数-涡量解法[81.对已有报道的通过在圆柱边界上引入行波可消除涡街的研究[1,我们利用 现有方法实现了相关结果,并将相关效果推广至椭圆柱绕流,如图3(见第550页)所示 C1994-2013ChinaAcademicJOurnalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net
按上述映照及张量分析观点，所得控制方程的分量形式有如下特点：① 分量形式为建立在参数区域 上的偏微分方程（ＰａｒｔｉａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ，ＰＤＥ），计算域形态随时间始终保持方体而边界条件可随 时间变化，由此大大简化了差分格式等构造上的复杂性；② 现分量方程较之直角坐标系的分量方程，可能 引入混合偏导数项、度量张量分量、Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌ符号等而显得更为复杂，但并不引入更高阶导数项，需指出 方程中显含的度量张量分量、Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌ符号等直接由曲线坐标系确定，事先就可获得解析表达式或通过 数值方法确定；③ 在 壁 面 上，物理量按相对于反映曲面几何性质的局部基展开，往 往 便 于 边 界 条 件 的 处理． 国际上较早基于张量分析获得一 般 曲 线 坐 标 系 下 的 流 动 控 制 方 程（物 理 量 基 于 局 部 基 展 开）并 进 行数值研究的理论成果包括国际著名透平机械专家吴仲华先生首创的关于Ｓ１及Ｓ２流面的研究［１４］；李 开泰、黄艾香在张量分析及其应用方面的较为系统 的 研 究［１５］，他们的研究主要应用于旋转机械叶片附 近的流动．这些研究一般仅涉及静止或刚性的曲面壁面而未涉及壁面的有限变形运动，而 我 们 将 当 前 物理构型对应的曲线坐标系（微分同胚）推广到显含时间情形，籍此可获得既“规 则”又“固 定”的 参 数 区 域并基于张量分析获得其上的控制方程．谢 锡 麟（２０１２）［１６］叙 述 了 现 代 张 量 分 析 在 连 续 介 质 力 学 中 的 若干应用． １．３ 有限变形理论 我们按照郭仲衡所述的有限变形理论［１７］，平行发展了当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有 限变形 理 论［１８］ ．有 限 变 形 理 论 的 基 本 内 容，可 以 依 次 归 结 为 ４ 部 分：（１）物 理 构 型 及 参 数 构 型 构 造； （２）变形梯度及其基本性质；（３）变形刻画及输运定理（包括：① 初始物理构型以及当前物理构型中有向 线元、面元以及体元之间的关系；② 初始物理构型以及当前物理构型中有向线元、面元以及体元模之间的 关系；③ 当前物理构型中有向线元、面元以及体元的物质导数同其自身之间的关系；④ 当前物理构型中 有向线元、面元以及体元模的物质导数同其自身之间的关系），基于关系式③、④易于获得最一般的第二类 以及第一类线、面、体的输运定理；（４）守恒律控制方程． 需指出，当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论同一般理论的主要差别在于速度 以及物质导数的表达式： Ｖ珝 Ｘ珤 ｔ （ξ，ｔ）＝ Ｘ珤 ｘｉ（ｘ，ｔ）ｘｉ ｔ （ξ，ｔ）＋Ｘ珤 ｔ （ｘ，ｔ）＝ ｘｉ ｔ （ξ，ｔ）ｇ珝ｉ（ｘ，ｔ）＋Ｘ珤 ｔ （ｘ，ｔ）． 相对于一般情形，速度表达式出现增加项：Ｘ珤 ｔ （ｘ，ｔ）＝ Ｘ珤 ｔ（ ） ，ｇ珝ｉ 瓗３ｇ珝ｉ（ｘ，ｔ）＝ Ｘ珤 （ ） ｔ ｉ （ｘ，ｔ）ｇ珝ｉ（ｘ，ｔ），完全 源于当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间．进一步，对任意张量场的物质导数，有： Φ Φ ｔ （ξ，ｔ）＝ Φ ｔ （ｘ，ｔ）＋Φ ｘｉ（ｘ，ｔ）ｘｉ ｔ （ξ，ｔ）＝ Φ ｔ （ｘ，ｔ）＋Ｖ珝· Δ Φ－Ｘ珤 ｔ （ｘ，ｔ）· Δ Φ． 相对于一般形式，增加了项－Ｘ ｔ （ｘ，ｔ）· Δ Φ， Δ Φ＝ ｇ珗ｌ （ ） ｘｌ Φｇ珗ｌ Φ ｘｌ（ｘ，ｔ）代表Φ 相对于 Ｅｕｃｌｉｄ坐 标的全梯度算子．对于变形梯度 Ｆｘｉ ξ Ａ （ξ，ｔ）ｇｉ（ｘ，ｔ）ＧＡ （ξ），其基本意义及基本性质保持不变，即 有： ｄＦ ｄｔ＝ Ｖ珝 Δ （ ） （ｘ，ｔ） ·Ｆ＝∶Ｌ·Ｆ，ｄ ｄｔ ｄｅｔＦ＝θｄｅｔＦ，此处ｄｅｔＦ 槡ｇ 槡Ｇ ｄｅｔ ｘｉ ξ（ ） Ａ（ξ，ｔ） ，θ∶＝Ｖ珝· Δ （ｘ，ｔ）．由 此，变形刻画所有关系式同一般理论；当保留物质导数的整体形式，输运定理所有关系式同一般理论．需指 出，现研究的连续介质的几何形态仍为 Ｅｕｃｌｉｄ流形，故在张量场分析上并无差异． １．４ 应用事例 近期我们基于当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论发展了对应显含时间曲线坐 标系的流函数 涡量解法［１８，１９］ ．对已有报道的通过在圆柱边界上引入行波可消除涡街的研究［１３］，我们利用 现有方法实现了相关结果，并将相关效果推广至椭圆柱绕流，如图３（见第５５０页）所示． 第４期 谢锡麟等：有限变形理论的若干进展及其在流体力学中的相关应用 ９４５
复旦学报(自然科学版) 第52卷 0 P150 r150 6420 图3圆柱以及椭圆柱(长短轴比为1.5)表面引入行波以消除涡街发展:(左图)涡量分布, (右图)流函数分布.Re=400 Fig 3 Suppression of vortex street by traveling wave generated on the surfaces of circular and elliptical cylinders (the ratio of the long and short axes is 1. 5):(left subplot) vorticity distribution, (right subplot)stream function distribution, Re=400 2几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论 2.1研究背景 考虑星体表面的大气运动,海面上油污扩散以及洪水蔓延过平原、洼地以及山丘等,流动的法向尺度 (流层厚度)远远小于流动的展向(流向)尺度.由此,可将此类流动模型化为几何形态为曲面的连续介质的 流动.由于三维空间中的曲面为双参数向量值映照,故上述流动又可称为二维流动( two dimension flows).目前,业内对二维流动的研究多限于平面形态的皂膜流动{,然而真正的代表性的二维流动应为 几何形态为一般曲面的流动,其典型形式可为固定曲面上的二维流动,或自身运动曲面上的二维流动(如 细胞膜等流体膜上的流动) Aris(1964)[21研究了曲面上的流动,包括运动刻画,质量守恒以及动量守恒等微分学控制方程,但其 就质量守恒等的分析结果有误[23,且关于运动刻画并未具有一般有限变形理论的系统性论述 2.2有限变形理论 几何形态为曲面的有限变形理论,其运动学与几何学仍可以参照一般有限变形理论,定义初始、当前 物理构型及其对应的初始、当前曲线坐标系,此处曲线坐标系在曲面的参数域中定义,实际也为曲面作为 流形的局部参数化(对应微分流形中的坐标卡);按微分学概念引入变形梯度并获得其基本性质;基于变形 梯度获得变形的4类刻画;基于变形刻画获得所有形式的输运方程[.动力学方面,主要基于我们发展的 内蕴形式第二类广义 Stokes公式l2)获得质量、动量、动量矩以及能量守恒等守恒律微分方程.内蕴形式 第二类广义 Stokes公式提供了将沿切平面并正交于边界曲线切向量方向作用的张量场转化至边界曲线 所围的曲面上积分的一般方法,如图4所示 (×)°-重=(。-更+H(-)d 此处φ为定义在曲面上的任意张量场,H:=b=gb为平均曲率,g=(g1,g)2(x)为曲面第一基本 量,4=(82(x3),n),为曲面第二基本量,(x2)为曲面自身诱导的局部协变基;一代表任意合法的张 量代数运算 C1994-2013ChinaAcademicJOurnalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net
图３ 圆柱以及椭圆柱（长短轴比为１．５）表面引入行波以消除涡街发展：（左图）涡量分布， （右图）流函数分布．Ｒｅ＝４００． Ｆｉｇ．３ Ｓｕｐｐｒｅｓｓｉｏｎｏｆｖｏｒｔｅｘｓｔｒｅｅｔｂｙｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｇｅｎｅｒａｔｅｄｏｎｔｈｅｓｕｒｆａｃｅｓｏｆｃｉｒｃｕｌａｒａｎｄｅｌｌｉｐｔｉｃａｌｃｙｌｉｎｄｅｒｓ （ｔｈｅｒａｔｉｏｏｆｔｈｅｌｏｎｇａｎｄｓｈｏｒｔａｘｅｓｉｓ１．５）：（ｌｅｆｔｓｕｂｐｌｏｔ）ｖｏｒｔｉｃｉｔｙｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，（ｒｉｇｈｔｓｕｂｐｌｏｔ）ｓｔｒｅａｍ ｆｕｎｃｔｉｏｎｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ．Ｒｅ＝４００． ２ 几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论 ２．１ 研究背景 考虑星体表面的大气运动，海面上油污扩散以及洪水蔓延过平原、洼地以及山丘等，流动的法向尺度 （流层厚度）远远小于流动的展向（流向）尺度．由此，可将此类流动模型化为几何形态为曲面的连续介质的 流动．由于三维空间中的曲面为双参数向量值映照，故 上 述 流 动 又 可 称 为 二 维 流 动 （ｔｗｏｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｆｌｏｗｓ）．目前，业内对二维流动的研究多限于平面形态的皂膜流动［２０］，然而真正的代表性的二维流动应为 几何形态为一般曲面的流动，其典型形式可为固定曲面上的二维流动，或自身运动曲面上的二维流动（如 细胞膜等流体膜上的流动）． Ａｒｉｓ（１９６４）［２１］研究了曲面上的流动，包括运动刻画，质量守恒以及动量守恒等微分学控制方程，但其 就质量守恒等的分析结果有误［２２］，且关于运动刻画并未具有一般有限变形理论的系统性论述． ２．２ 有限变形理论 几何形态为曲面的有限变形理论，其运动学与几何学仍可以参照一般有限变形理论，定义初始、当前 物理构型及其对应的初始、当前曲线坐标系，此处曲线坐标系在曲面的参数域中定义，实际也为曲面作为 流形的局部参数化（对应微分流形中的坐标卡）；按微分学概念引入变形梯度并获得其基本性质；基于变形 梯度获得变形的４类刻画；基于变形刻画获得所有形式的输运方程［１８］ ．动力学方面，主要基于我们发展的 内蕴形式第二类广义Ｓｔｏｋｅｓ公式［１８，２２］获得质量、动量、动量矩以及能量守恒等守恒律微分方程．内蕴形式 第二类广义Ｓｔｏｋｅｓ公式提供了将沿切平面并正交于边界曲线切向量方向作用的张量场转化至边界曲线 所围的曲面上积分的一般方法，如图４所示． ∮Σ ｔ （ ） τ珒×ｎ珗°－Φ ＝∫Σ ｔ （Σ Δ °－Φ＋Ｈ（ｎ珗°－Φ））ｄσ． 此处Φ 为定义在曲面上的任意张量场，Ｈ∶＝ｂｓ ｓ＝ｇｓｔｂｔｓ为平均曲率，ｇｉｊ＝（ｇ珝ｉ，ｇ珝ｊ）瓗３ （ｘΣ）为曲面第一基本 量，ｂｉｊ＝ 珗ｇｊ ｘｉ Σ （ ） （ｘΣ），ｎ 瓗３ 为曲面第二基本量，ｇ珝ｊ（ｘΣ）为曲面自身诱导的局部协变基；°－代表任意合法的张 量代数运算． ０５５ 复 旦 学 报（自然科学版） 第５２卷
第4期 谢锡麟等:有限变形理论的若干进展及其在流体力学中的相关应用 曲面方程:E(x:D 图4内蕴形式的第二类广义 Stokes公式示意图 Fig 4 Sketch of the intrinsic generalized Stokes formula of the second kind 考虑质量守恒、动量守恒、动量矩守恒以及能量守恒在几何形态为曲面的连续介质的应用,一般需要 考虑的各种作用表现为介质边界上的积分,且作用方向为切平面中的×n方向.对各种形式沿×n作用 的边界上曲线积分可以利用内蕴形式的第二类广义 Stokes公式转化为面积分.结合运动学中的各种输运 方程,我们就可获得各种守恒律控制方程的微分形式 设想切平面内的应力t=t,g⑧∈T(T),本文称为曲面应力.利用内蕴形式的第二类广义 Stokes公式,可几近平凡地获得其整体作用: (×).t=(.t+H(t)d=「 式中÷,=71+的,,=表示曲面上的梯度算子;表示曲面(作为 Riemann流形)上的协 变导数.结合第一类面输运定理以及质量守恒,则可得动量守恒的微分方程: pan=(+P)x;+(,+f)示, 此处子:=f十为面力分布,其整体作用形式直接表示为面积分fd;面力分布可以为重力、电磁 力等.Aris研究了曲面上的流动21,获得了上述动量方程(未考虑面力作用).本文基于内蕴形式的第二类 广义 Stokes公式获得此方程,相对而言显得更为直接且简便 需指出,我们可按实际研究情形考虑各种形式的作用,对于沿×n方向的作用可通过内蕴形式的第 二类广义 Stokes公式将边界上的曲线积分转化为面积分,结合输运方程就可获得守恒律控制方程 2.3应用事例 2.3.1固定曲面上不可压缩流动的流函数-涡量解法 按变形分析曲面上流动的祸量定义为,一CV1一示,此处剧wm量-云 vg=(g1,g2,n).一般连续性方程为:p+p=0,此处p为密度,:=V vax(vgV)(x2,1).不可 压缩流动的连续性方程为:0=0.由此,可引入流函数:V=c"(x,1).曲面应力可以考虑为: =(-p+7)1+(V+5V,)⑧∈T(T),P为沿切平面作用的内压力,y为表面张力,为流 体自身之间的黏性系数,I=g⑧g;此种形式的曲面应力自然满足无面力偶分布的动量矩守恒2.现 流函数-涡量控制方程具有如下形式: C1994-2013ChinaAcademicJOurnalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net
图４ 内蕴形式的第二类广义Ｓｔｏｋｅｓ公式示意图 Ｆｉｇ．４ ＳｋｅｔｃｈｏｆｔｈｅｉｎｔｒｉｎｓｉｃｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＳｔｏｋｅｓｆｏｒｍｕｌａｏｆｔｈｅｓｅｃｏｎｄｋｉｎｄ 考虑质量守恒、动量守恒、动量矩守恒以及能量守恒在几何形态为曲面的连续介质的应用，一般需要 考虑的各种作用表现为介质边界上的积分，且作用方向为切平面中的τ珒×ｎ珗方向．对各种形式沿τ珒×ｎ珗作用 的边界上曲线积分可以利用内蕴形式的第二类广义Ｓｔｏｋｅｓ公式转化为面积分．结合运动学中的各种输运 方程，我们就可获得各种守恒律控制方程的微分形式． 设想切平面内的 应 力ｔ＝ｔｉ ·ｊｇ珝ｉ ｇ珝ｊ ∈Ｔ２ （ＴΣ），本文称为曲面 应 力．利用内蕴形式的第二类 广 义 Ｓｔｏｋｅｓ公式，可几近平凡地获得其整体作用： ∮Σ ｔ （τ珒×ｎ珗）·ｔ＝∫Σ ｔ （Σ Δ ·ｔ＋Ｈ（ｎ珗·ｔ））ｄσ＝∫Σ ｔ Σ Δ ·ｔｄσ， 式中Σ Δ ·ｔ＝ Δ ｉ Σ ｔｉ ·ｊｇ珝ｊ ＋ｂｊ ｉｔｉ ·ｊｎ珗， Σ Δ ＝ｇ珝ｌ ｘｌ Σ 表示曲面上的梯度算子； Δ ｉ Σ 表示曲面（作为 Ｒｉｅｍａｎｎ流形）上的协 变导数．结合第一类面输运定理以及质量守恒，则可得动量守恒的微分方程： ρ ｄＶ珝 ｄｔ ＝ （Σ Δ ｉｔｉｊ ＋ｆ ）ｊ ｇ珝ｊ ＋ （ｂｊ ｉｔｉ ·ｊ ＋ｆ ）３ ｎ珗， 此处ｆ → ∶＝ｆｊ ｇ珝ｊ＋ｆ３ ｎ珗为面力分布，其整体作用形式直接表示为面积分∫Σ ｔ ｆ → ｄσ；面力分布可以为重力、电磁 力等．Ａｒｉｓ研究了曲面上的流动［２１］，获得了上述动量方程（未考虑面力作用）．本文基于内蕴形式的第二类 广义Ｓｔｏｋｅｓ公式获得此方程，相对而言显得更为直接且简便． 需指出，我们可按实际研究情形考虑各种形式的作用，对于沿τ珒×ｎ珗方向的作用可通过内蕴形式的第 二类广义Ｓｔｏｋｅｓ公式将边界上的曲线积分转化为面积分，结合输运方程就可获得守恒律控制方程． ２．３ 应用事例 ２．３．１ 固定曲面上不可压缩流动的流函数 涡量解法 按变形分析，曲面上流动的涡量定义为：ω珗 ＝ε ｓｔ３ Σ Δ ｓＶｔｎ珗∶＝ω３ ｎ珗，此 处 Ｅｄｄｉｎｇｔｏｎ张 量ε ｓｔ３ ＝ ｅｓｔ３ 槡ｇ ， 槡ｇ ＝（ｇ珝１，ｇ珝２，ｎ珗）．一般连续性方程为：ρ＋ρθ＝０，此处ρ为密度，θ∶＝ Δ ｉ Σ Ｖｉ ＝ １ 槡ｇ ｘｉ （ ） 槡ｇＶｉ （ｘΣ，ｔ）．不可 压缩流动 的 连 续 性 方 程 为：θ ＝ ０．由 此，可 引 入 流 函 数：Ｖｓ ＝ε ｓｔ３ ψ ｘｔ（ｘ，ｔ）．曲面应力可以考虑为： ｔ＝ －（ ） ｐ＋γＩ＋μ Σ Δ ｊＶｉ ＋ Σ Δ （ ） ｉＶｊ ｇ珝ｉ ｇ珝ｊ ∈Ｔ２ （ ） ＴΣ ，ｐ为沿切平面作用的内压力，γ为表面张力，μ为流 体自身之间的黏性系数，Ｉ＝ｇｉｊｇ珝ｉ ｇ珝ｊ；此种形式的曲面应力自然满足无面力偶分布的动量矩守恒［２３］ ．现 流函数 涡量控制方程具有如下形式： 第４期 谢锡麟等：有限变形理论的若干进展及其在流体力学中的相关应用 １５５