张量场可微性及微分算子 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 015年4月2日 1知识要素 1.1张量场与张量赋范线性空间 定义1.1(张量场).设有映照 更:R"Dx3→更(a)∈(Rm), 则此张量更()称为定义在Dx上的张量场 类似于向量,如果想要讨论张量的“大小”,则需定义张量的范数 定义1.2(张量的范数).设有映照 m)3更→lyr∈R 如果满足以下条件 1.非负性:y≥0,y更∈(Rm); 2.非退化性:到=0兮更=0∈"(Rm) 3.正齐次性:|到=|川,VA∈R,更∈少(Rmn) 4.三角不等式:囤+≥匝+,,重,业∈③(Rm), 则称|lyr为张量更的范数 定理1.1(张量范数的一种形式).张量自身全点积的平方根是张量的一种范数,即有 型=√@⊙ 证明考虑到 k)1d(j1)-4)更(k)…(k) …·))面k)-()= (1)…(r) j1)…(jr) 亦即张量自身全点积不依赖于基的选取.由此,可在单位正交基下计算张量自身全点积,此时 型,为张量的所有分量的平方根,易证其满足范数的相关条件
张量分析讲稿谢锡麟 张量场可微性及微分算子 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 1.1 张量场与张量赋范线性空间 定义 1.1 (张量场). 设有映照 Φ : R m ⊃ Dx ∋ x 7→ Φ(x) ∈ T r (R m), 则此张量 Φ(x) 称为定义在 Dx 上的张量场. 类似于向量, 如果想要讨论张量的 “大小”, 则需定义张量的范数. 定义 1.2 (张量的范数). 设有映照 |Φ|T r : T r (R m) ∋ Φ 7→ |Φ|T r ∈ R, 如果满足以下条件: 1. 非负性：|Φ|T r > 0, ∀ Φ ∈ T r (R m); 2. 非退化性：|Φ|T r = 0 ⇔ Φ = 0 ∈ T r (R m); 3. 正齐次性：|λΦ|T r = |λ| |Φ|T r , ∀ λ ∈ R, Φ ∈ T r (R m); 4. 三角不等式：|Φ|T r + |Ψ|T r > |Φ + Ψ|T r , ∀ Φ, Ψ ∈ T r (R m), 则称 |Φ|T r 为张量 Φ 的范数. 定理 1.1 (张量范数的一种形式). 张量自身全点积的平方根是张量的一种范数, 即有 |Φ|T r = √ Φ ⊙ Φ = √ Φi1···irΦi1···ir . 证明 考虑到 Φ i1···irΦi1···ir = [ C i1 (j1) · · · C ir (jr) ] [C (k1) i1 · · · C (kr) ir ] Φ (j1)···(jr)Φ(k1)···(kr) = δ k1 j1 · · · δ kr jr Φ (j1)···(jr)Φ(k1)···(kr) = Φ (j1)···(jr)Φ(j1)···(jr) , 亦即张量自身全点积不依赖于基的选取. 由此, 可在单位正交基下计算张量自身全点积, 此时 |Φ|T r 为张量的所有分量的平方根, 易证其满足范数的相关条件. 1
张量场可微性及微分算子 谢锡麟 性质1.2(简单张量的范数).在定理1.1定义的范数下,以三阶简单张量为例,其范数为 ⑧ny3=flm| nIgm ISIRe 证明由 E0n8c=f7<9: 89, 89k=5in; Skg0g'og 则有 8n8=V(8n8(8n8)k=V(y()5mk IERm ImIgm SIRM 定义了张量范数的张量空间可称为张量赋范线性空间 1.2张量场可微性与张量分量协变导数 定义1.3(张量场的可微性).如果彐D∮(x)(h)∈x(Rm,'(Rm),满足: φ(x+h)-重()=D更(c)(h)+o(hlgm) 此处 lim lo(lhlrm)=0.则称张量场更(x)在点m处是可微的 以二阶张量更∈2(Rm)为例,推导张量场微分形式中的线性映照D(a)(h)的形式此 时有 更(x)=重j()91(x)g(x) 更(x+h)=更.j(x+h)91(x+h)⑧g(x+b) 由多元函数的可微性与向量值函数的可微性,有 2(x+b)=()+0x2(2)b”+O3(hm 94(x+b)=9(2)+a2(a)b+0(hm) g(a+h)=g(a)+o(ah+o(h/Rm) 由上面各式可得 更x+h)-更()=(4,)9,()8gy(x)+bx(x)8g(a) , (a);(c) 2g())hs+Res, 式中Res代表余项
张量分析讲稿谢锡麟 张量场可微性及微分算子 谢锡麟 性质 1.2 (简单张量的范数). 在定理1.1定义的范数下, 以三阶简单张量为例, 其范数为 |ξ ⊗ η ⊗ ζ|T 3 = |ξ|Rm |η|Rm |ζ|Rm . 证明 由 ξ ⊗ η ⊗ ζ = ξ i η j ζ k gi ⊗ gj ⊗ gk = ξiηjζkg i ⊗ g j ⊗ g k , 则有 |ξ ⊗ η ⊗ ζ|T 3 = √ (ξ ⊗ η ⊗ ζ) ijk (ξ ⊗ η ⊗ ζ) ijk = √ (ξ iη jζ k)(ξiηjζk = |ξ|Rm |η|Rm |ζ|Rm . 定义了张量范数的张量空间可称为张量赋范线性空间. 1.2 张量场可微性与张量分量协变导数 定义 1.3 (张量场的可微性). 如果 ∃ DΦ(x)(h) ∈ L (R m, T r (R m)), 满足: Φ(x + h) − Φ(x) = DΦ(x)(h) + o(|h|Rm), 此处 lim |h|Rm→0 |o(|h|Rm)|T r |h|Rm = 0, 则称张量场 Φ(x) 在点 x 处是可微的. 以二阶张量 Φ ∈ T 2 (R m) 为例, 推导张量场微分形式中的线性映照 DΦ(x)(h) 的形式. 此 时有 Φ(x) = Φ i ·j (x)gi (x) ⊗ g j (x); Φ(x + h) = Φ i ·j (x + h)gi (x + h) ⊗ g j (x + h). 由多元函数的可微性与向量值函数的可微性, 有 Φ i ·j (x + h) = Φ i ·j (x) + ∂Φi ·j ∂xs (x)h s + o i ·j (|h|Rm); gi (x + h) = gi (x) + ∂gi ∂xs (x)h s + oi(|h|Rm); g j (x + h) = g j (x) + ∂g j ∂xs (x)h s + o j (|h|Rm). 由上面各式可得 Φ(x + h) − Φ(x) = ( ∂Φi ·j ∂xs (x)gi (x) ⊗ g j (x) + Φ i ·j (x) ∂gi ∂xs (x) ⊗ g j (x) + Φ i ·j (x)gi (x) ⊗ ∂g j ∂xs (x) ) h s + Res, 式中 Res 代表余项. 2
张量场可微性及微分算子 谢锡麟 以下分析余项,如考虑2(am)hh(x)③g,首先由范数的三角不等式以及简单张量范 数的计算式,可有如下估计: ≤ax2(x)b1../ygy 2(aM%)eN2小,1、 5(allom. IRom, (c)⑧ 再考虑到 =0h2m=0,s,k=1 则有 dxs(a)h%hagi 大()8g=o(hm)∈y2(R") 如再考虑jO(hm)g,首先由估计: o(hgm)89≤厘小·o(hm)m19y1gm, 再由 Joi (hRm IRY thlam-0 hrY 则有 o(hm)③g=o(hlm)∈2(Rm) 余项的其余各项可做类似分析,故有Res=o(|hlm)∈少2(Rm) 综上所述,张量场的微分D更(x)(h)可以表示为 更2 axs 989y+,928y-rm918g3) axs r)g1()89()h 令()=测+r一1称为张量场分量在点处关于坐标x的协变导数 现有 D更(x)(h)=Vsp(c)9g1(x)②g(m)h =[V,(h)g1(x)8g(a)g(m)·h=匝重⑧V)(x)h =h·[,(h)g(a)91(x)8g(x)=h·(V8更)m), 式中,h=hg1(x).φ⑧V)(x)=V、:(h)g1()⑧g(x)⑧g^(x)称为张量场的右梯度,而 (ⅴ⑧Φ))=V,j(h)g()⑧q)⑧g(m)称为张量场的左梯度
张量分析讲稿谢锡麟 张量场可微性及微分算子 谢锡麟 以下分析余项, 如考虑 ∂Φi ·j ∂xs (x)h sh k ∂g j ∂xk (x) ⊗ g j , 首先由范数的三角不等式以及简单张量范 数的计算式, 可有如下估计: ∂Φi ·j ∂xs (x)h sh k ∂g j ∂xk (x) ⊗ g j T 2 6 ∂Φi ·j ∂xs (x) · |h s | · |h k | · ∂g j ∂xk (x) ⊗ g j T 2 = ∂Φi ·j ∂xs (x) · |h s | · |h k | · ∂g j ∂xk (x) Rm · g j Rm , 再考虑到 lim |h|Rm→0 |h sh k | |h|Rm = 0, ∀s, k = 1, · · · , m, 则有 ∂Φi ·j ∂xs (x)h sh k ∂g j ∂xk (x) ⊗ g j = o(|h|Rm) ∈ T 2 (R m). 如再考虑 Φ i ·joi(|h|Rm) ⊗ g j , 首先由估计: Φ i ·joi(|h|Rm) ⊗ g j T 6 |Φ i ·j | · |oi(|h|Rm)|Rm · |g j |Rm, 再由 lim |h|Rm→0 |oi(|h|Rm)|Rm |h|Rm = 0, 则有 Φ i ·joi(|h|Rm) ⊗ g j = o(|h|Rm) ∈ T 2 (R m) 余项的其余各项可做类似分析, 故有 Res = o(|h|Rm) ∈ T 2 (R m). 综上所述, 张量场的微分 DΦ(x)(h) 可以表示为 DΦ(x)(h) = ( ∂Φi ·j ∂xs (x)gi (x) ⊗ g j (x) + Φ i ·j (x) ∂gi ∂xs (x) ⊗ g j (x) + Φ i ·j (x)gi (x) ⊗ ∂g j ∂xs (x) ) h s = ( ∂Φi ·j ∂xs gi ⊗ g j + Γ p siΦ i ·jgp ⊗ g j − Γ j sqΦ i ·jgi ⊗ g q ) h s = ( ∂Φi ·j ∂xs + Γ i spΦ p · j − Γ q sjΦ i ·q ) gi (x) ⊗ g j (x)h s . 令 ∇sΦ i ·j (x) = ∂Φi ·j ∂xs + Γ i spΦ p · j − Γ q sjΦ i ·q 称为张量场分量 Φ i ·j 在 x 点处关于坐标 x s 的协变导数. 现有 DΦ(x)(h) = ∇sΦ i ·j (x)gi (x) ⊗ g j (x)h s = [ ∇sΦ i ·j (h)gi (x) ⊗ g j (x) ⊗ g s (x) ] · hˆ = (Φ ⊗ ∇)(x) · hˆ = hˆ · [ ∇sΦ i ·j (h)g s (x) ⊗ gi (x) ⊗ g j (x) ] = hˆ · (∇ ⊗ Φ)(x), 式中, hˆ = h igi (x). (Φ ⊗ ∇)(x) = ∇sΦ i ·j (h)gi (x) ⊗ g j (x) ⊗ g s (x) 称为张量场的右梯度, 而 (∇ ⊗ Φ)(x) = ∇sΦ i ·j (h)g s (x) ⊗ gi (x) ⊗ g j (x) 称为张量场的左梯度. 3
张量场可微性及微分算子 谢锡麟 再考虑到 AX: =X(a+h)-X(h)=h'gi (a)+o(hk), △X指参数域中坐标有h=hi变化而引起的物理空间中质点位置的变化.按上述关系式,可 得张量场可微性的更具力学意义的表示形式 定理1.3(张量场可微性的力学表示形式 更(x+b)-重()= V)(x)·△X+o(hlm) △X·(V⑧更)(x)+o(hlg 小(x+=(m)+(④8V)mAx 更(x+h)=(x)+更⑧V)(x)·△X △X (x+h) h Figure1:体积上张量场可微性示意 就此,张量场映照的可微性可理解为空间位置变化(可在参数空间或者物理空间中刻画)而 引起的张量值的变化可以由 Lucid空间至张量空间之间的线性映照(可表示为张量场梯度)近 似,误差为一阶无穷小量,如图1所示 按上述关于协变导数的定义,对三阶张量更(x)=型918989∈3(欧m),则它的协变 导数为 V小=0(a)+的+叭一项 更高阶的张量的协变导数可以类似得出 性质14(协变导数的基本性质).张量场分量的协变导数具有如下基本性质 线性性 V(apk+ik)=aV重+B业,Va,B∈R; 2. Leibniz性 V1(重.y1p)=(Vp:)+中.(V1); 3.哑标无关性 y)=a(.(x)+(网)-影(从更)-(p
张量分析讲稿谢锡麟 张量场可微性及微分算子 谢锡麟 再考虑到 ∆X := X(x + h) − X(h) = h i gi (x) + o(|h| m R ), ∆X 指参数域中坐标有 h = h i ii 变化而引起的物理空间中质点位置的变化. 按上述关系式，可 得张量场可微性的更具力学意义的表示形式: 定理 1.3 (张量场可微性的力学表示形式). Φ(x + h) − Φ(x) = (Φ ⊗ ∇)(x) · ∆X + o(|h|Rm), ∆X · (∇ ⊗ Φ)(x) + o(|h|Rm). x 1 x i xm O hˆ h˜ x x + hˆ x + h˜ Dx X1 Xα Xm O ∆Xˆ ∆X˜ X(x) X(x + hˆ) X(x + h˜) Φ(x) Φ(x + hˆ) .= Φ(x) + (Φ ⊗ ∇)(x) · ∆Xˆ Φ(x + h˜) .= Φ(x) + (Φ ⊗ ∇)(x) · ∆X˜ DX Figure 1: 体积上张量场可微性示意 就此，张量场映照的可微性可理解为空间位置变化 (可在参数空间或者物理空间中刻画) 而 引起的张量值的变化可以由 Eucid 空间至张量空间之间的线性映照 (可表示为张量场梯度) 近 似，误差为一阶无穷小量，如图 1所示. 按上述关于协变导数的定义，对三阶张量 Φ(x) = Φ ij ··k gi ⊗ gj ⊗ g k ∈ T 3 (R m), 则它的协变 导数为 ∇lΦ ij ··k = ∂Φij ··k ∂xl (x) + Γ i lsΦ sj ··k + Γ j lsΦ is ··k − Γ s lkΦ ij ··s . 更高阶的张量的协变导数可以类似得出. 性质 1.4 (协变导数的基本性质). 张量场分量的协变导数具有如下基本性质: 1. 线性性 ∇l(αΦi ·jk + βΨi · jk) = α∇lΦ i ·jk + β∇lΨ i · jk, ∀ α, β ∈ R; 2. Leibniz 性 ∇l(Φ i ·jΨ pq ·· r ) = (∇lΦ i ·j )Ψ pq ·· r + Φ i ·j (∇lΨ pq ·· r ); 3. 哑标无关性 ∇l(Φ i ·kΨ k · pq) = ∂ ∂xl (Φ i ·kΨ k · pq)(x) + Γ i ls(Φ s · kΨ k · pq) − Γ s lp(Φ i ·kΨ k · sq) − Γ s lq(Φ i ·kΨ k · ps). 4
张量场可微性及微分算子 谢锡麟 证明可按协变导数的定义,通过直接计算证明协变导数的基本性质 1.线性性是显然的 2. Leibniz性 V1(中,y) (,)(x)+(更一时)+(+一v) OΦ2 a)+2)+(m()+学 =(Vp,)yp+:(V) 3.按 Leibniz性,有 V小kp)=(V.)重+更(V大四) Azra)+lisp k-liksp P(x)+IV四-F- 0(()+E(①A四)-吗)-团四),口 按指标升降关系,还可定义逆变导数为 1.3张量场的偏导数与张量场的微分型场论算子 1.3.1张量场的偏导数 定义1.4(张量场的偏导数).定义 全lin (m+Ai)-更() 称为张量场的偏导数(方向导数) 根据张量场φ(a)在x点的可微性,有 更(+A)-更(x)=(⑧V)(x)·(91)+0()∈(Rm) 故有极限 Ox(a)=lim (a+ Ain)-(a) φ⑧V)(m)·9(m) 以三阶张量为例,即更=9189895,则有 更 (x)=(8V)(m)·9(x)=V918989
张量分析讲稿谢锡麟 张量场可微性及微分算子 谢锡麟 证明 可按协变导数的定义, 通过直接计算证明协变导数的基本性质. 1. 线性性是显然的. 2. Leibniz 性: ∇l(Φ i ·jΨ pq ·· r ) = ∂ ∂xl (Φ i ·jΨ pq ·· r )(x) + (Γ i lsΦ s · j − Γ s ljΦ i ·s)Ψ pq ·· r + Φ i ·j (Γ p lsΨ sq ·· r + Γ q lsΨ ps ·· r − Γ s lrΨ pq ·· s ) = ( ∂Φi ·j ∂xl (x) + Γ i lsΦ s · j − Γ s ljΦ i ·s ) Ψ pq ·· r + Φ i ·j ( ∂Ψpq ·· r ∂xl (x) + Γ p lsΨ sq ·· r + Γ q lsΨ ps ·· r − Γ s lrΨ pq ·· s ) = (∇lΦ i ·j )Ψ pq ·· r + Φ i ·j (∇lΨ pq ·· r ). 3. 按 Leibniz 性, 有 ∇l(Φ i ·kΨ k · pq) = (∇lΦ i ·k)Ψ k · pq + Φ i ·k(∇lΨ k · pq) = ( ∂Φi ·k ∂xl (x) + Γ i lsΦ s · k − Γ s lkΦ i ·s ) Ψ k · pq + Φ i ·k ( ∂Ψk · pq ∂xl (x) + Γ k lsΨ s · pq − Γ s lpΨ k · sq − Γ s lqΨ k · ps) = ∂ ∂xl (Φ i ·kΨ k · pq)(x) + Γ i ls(Φ s · kΨ k · pq) − Γ s lp(Φ i ·kΨ k · sq) − Γ s lq(Φ i ·kΨ k · ps). 按指标升降关系, 还可定义逆变导数为 ∇l = g lk∇k. 1.3 张量场的偏导数与张量场的微分型场论算子 1.3.1 张量场的偏导数 定义 1.4 (张量场的偏导数). 定义 ∂Φ ∂xl (x) , lim λ→0 Φ(x + λil) − Φ(x) λ , 称为张量场的偏导数 (方向导数). 根据张量场 Φ(x) 在 x 点的可微性, 有 Φ(x + λil) − Φ(x) = (Φ ⊗ ∇)(x) · (λgl ) + o(λ) ∈ T r (R m). 故有极限 ∂Φ ∂xl (x) = lim λ→0 Φ(x + λil) − Φ(x) λ = (Φ ⊗ ∇)(x) · gl (x). 以三阶张量为例, 即 Φ = Φ ij ··k gi ⊗ gj ⊗ g k , 则有 ∂Φ ∂xl (x) = (Φ ⊗ ∇)(x) · gl (x) = ∇lΦ ij ··k gi ⊗ gj ⊗ g k . 5