复旦大学：《现代连续介质力学理论及实践》讲稿_体积上张量场场论-06-非完整基理论及应用

非完整基理论及应用 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 1知识要素 2完整基之间的相互关系 定理21.设{x3}m1和{x}m1为Rm中的两个完整系,则相应有如下坐标转换关系 此处 ar0) (c:=a axs 证明由于{x2}m1和{x}m1为Rm中的两个完整系,可认为两者之间存在微分同胚.对 协变基向量,有 a x ax ax 9()-9r( 对逆变基向量,有 9全v2()a 同理,有 zgG 进一步,考虑到 ax(k)axj 亦即,坐标转换系数{C01m=1与{C0}=1仅有一组独立,两者之间满足互逆关系 图1为完整基示意 按简单张量的基本性质,易得相对不同基的张量分量之间的转换关系

张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 2 完整基之间的相互关系 定理 2.1. 设 {x i} m i=1 和 {x (i)} m i=1 为 R m 中的两个完整系, 则相应有如下坐标转换关系:    g(i) =: C j (i) gj , g (i) =: C (i) j g j ,    gi =: C (j) i g(j) , g i =: C i (j) g (j) . 此处    C i (j) := ∂xi ∂x(j) , C (i) j := ∂x(i) ∂xj . 证明 由于 {x i} m i=1 和 {x (i)} m i=1 为 R m 中的两个完整系, 可认为两者之间存在微分同胚. 对 协变基向量, 有 g(i) , ∂X ∂x(i) = ∂xj ∂x(i) ∂X ∂xj = ∂xj ∂x(i) gj =: C j (i) gj , 对逆变基向量, 有 g (i) , ∇x (i) = ∂x(i) ∂Xα iα = ∂x(i) ∂xj ∂xj ∂Xα iα = ∂x(i) ∂xj g j =: C (i) j g j . 同理, 有 gi = ∂x(j) ∂xi g(j) =: C (j) i g(j) , g i = ∂xi ∂x(j) g (j) =: C i (j) g (j) . 进一步, 考虑到 ( C i (k) ) (C (k) j ) = ( ∂xi ∂x(k) ∂x(k) ∂xj ) = ( δ i j ) = Im, 亦即, 坐标转换系数 {C i (j) } m i,j=1 与 {C (i) j } m i,j=1 仅有一组独立, 两者之间满足互逆关系. 图1为完整基示意. 按简单张量的基本性质, 易得相对不同基的张量分量之间的转换关系. 1

非完整基理论及应用 谢锡麟 y-线 x2-线 y-线 Figure1:完整基示意 定理22(张量分量间的坐标转换关系.以重=型/91891∈2(3)为例,有如下关系 更=918g1=少908g0; V=Vg2898gy=V(0.090)890890 所以有分量之间的转换关系 CAcO、V2 定理23(第一类 Christoffel符号的坐标转换关系). 0=ccm-cC如 (q)(P)

张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 X1 Xα Xm O X(x˜) = X(y˜) x i -楫 y j -楫 gi(x˜) g(j)(y˜) X(xˆ) = X(yˆ) x i -楫 y j -楫 gi(xˆ) g(j)(yˆ) x 1 x i xm O x i -楫 x i -楫 xˆ x˜ Dx y 1 y j ym O y j -楫 y j -楫 yˆ y˜ Dy Figure 1: 完整基示意 定理 2.2 (张量分量间的坐标转换关系). 以 Φ = Φ i ·jgi ⊗ g j ∈ T 2 (R 3 ) 为例, 有如下关系: Φ = Φ i ·jgi ⊗ g j = Φ (i)  (j) g(i) ⊗ g (j) ; ∇ ⊗ Φ = ∇kΦ i ·jg k ⊗ gi ⊗ g j = ∇(k)Φ (i)  (j) g (k) ⊗ g(i) ⊗ g (j) . 所以有分量之间的转换关系 Φ (p)  (q) = C (p) i C j (q) Φ i  j ; ∇(l) Φ (p)  (q) = C k (l)C (p) i C j (q)∇kΦ i  j . 定理 2.3 (第一类 Christoffel 符号的坐标转换关系). Γ (l) (p)(q) = C (l) k C i (p)C j (q) Γ k ij − C i (p)C j (q) ∂C(l) j ∂xi = Γ (l) (q)(p) . 2

非完整基理论及应用 谢锡麟 证明考虑到 V +I下;-I更 arl axl ar(r) s(cim m )s( m ( n)+rik axl gon) ac ac +rick(ng( m)n)-rkcim cin B m) 可有 (q)=C V ar(r) J ar(r) +o()Cim) ar(r).(n)+ Tik C m) p.()-riCim) C g(m) ole (m)o+nc(n) (n)+rickmClsCp rCC0Ck小 ar(s) (q) (q) 0 ax(s) ac(n) O更 aC (s)(a) arl +T p) s(m) 由此便有 Christoffel的坐标转换关系 Ti.CL p) )areal(m)(s)

张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 证明 考虑到 ∇lΦ i ·j = ∂Φi ·j ∂xl + Γ i lkΦ k · j − Γ k ljΦ i ·k = ∂x(r) ∂xl ∂ ∂x(r) ( C i (m)C (n) j Φ (m) · (n) ) + Γ i lkC k (m)C (n) j Φ (m) · (n) − Γ k ljC i (m)C (n) k Φ (m) · (n) = C (r) l C i (m)C (n) j ∂Φ(m) · (n) ∂x(r) + C (r) l C (n) j ∂Ci (m) ∂x(r) Φ (m) · (n) + C (r) l C i (m) ∂C(n) j ∂x(r) Φ (m) · (n) + Γ i lkC k (m)C (n) j Φ (m) · (n) − Γ k ljC i (m)C (n) k Φ (m) · (n) , 可有 ∇(s)Φ (p) · (q) = C l (s)C (p) i C j (q)∇lΦ i ·j = C l (s)C (p) i C j (q) [ C (r) l C i (m)C (n) j ∂Φ(m) · (n) ∂x(r) + C (r) l C (n) j ∂Ci (m) ∂x(r) Φ (m) · (n) + C (r) l C i (m) ∂C(n) j ∂x(r) Φ (m) · (n) + Γ i lkC k (m)C (n) j Φ (m) · (n) − Γ k ljC i (m)C (n) k Φ (m) · (n) ] = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + C (p) i ∂Ci (m) ∂x(s) Φ (m) · (q) + C j (q) ∂C(n) j ∂x(s) Φ (p) · (n) + Γ i lkC k (m)C l (s)C (p) i Φ (m) · (q) − Γ k ljC l (s)C j (q) C (n) k Φ (p) · (n) = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + [ Γ i lkC k (m)C l (s)C (p) i + C (p) i ∂Ci (m) ∂x(s) ] Φ (m) · (q) − [ Γ k ljC l (s)C j (q) C (n) k − C j (q) ∂C(n) j ∂x(s) ] Φ (p) · (n) = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + [ Γ i lkC k (m)C l (s)C (p) i + ∂ ∂x(s) ( C (p) i C i (m) ) − C i (m) ∂C(p) i ∂x(s) ] Φ (m) · (q) − [ Γ k ljC l (s)C j (q) C (n) k − C l (s)C j (q) ∂C(n) j ∂xl ] Φ (p) · (n) = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + [ Γ i lkC l (s)C k (m)C (p) i − C l (s)C k (m) ∂C(p) k ∂xl ] Φ (m) · (q) − [ Γ k ljC l (s)C j (q) C (n) k − C l (s)C j (q) ∂C(n) j ∂xl ] Φ (p) · (n) = ∂Φ(p) · (q) ∂x(s) + Γ (p) (s)(m) Φ (m) · (q) − Γ (n) (s)(q) Φ (p) · (n) . 由此便有 Christoffel 的坐标转换关系 Γ (p) (s)(m) = Γ i lkC l (s)C k (m)C (p) i − C l (s)C k (m) ∂C(p) k ∂xl = Γ i lkC l (s)C k (m)C (p) i − C l (s)C k (m) ∂x(p) ∂xk∂xl = Γ (p) (m)(s) . 3

非完整基理论及应用 谢锡麟 3非完整基一般理论 按线性代数,R中任意二组基{g1}m1和{9(}m1可以相互表示,如下所示 9(i) 此处CC=6,基转换系数{C1=1与{c1m=之间的关系式源于协变基与逆变基之 的对偶关系 9八()x线 y线 x线 9(2) g1() x-线 D Figure2:非完整基示意 图2为非完整基示意图 本节研究这样的情形,{g}m=1为完整基,亦即由曲线坐标系诱导;{9(a)}m=1为非完整基,亦 即由完整基及基转换系数确定,其中转换系数可自由确定.对任意张量场,可以基于完整基定义 其梯度,以三阶张量更∈3(R3)为例,有 更8V:=V匝918918g8g∈1(R3), 现需获得φ⑧ⅴ在非完整基下的表达形式.按基转化关系可有 )(V小)8g8g)sy) 囤⑧()s)9p)898g"g() 亦即有匝8V0)=CC(CV 非完整基理论实质为提供一套“形式运算”,以获得匝8V(P(o)s,具体包括 1.定义形式偏导数 axk 2.定义形式 Christoffel符号

张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 3 非完整基一般理论 按线性代数, R m 中任意二组基 {gi} m i=1 和 {g(i)} m i=1 可以相互表示, 如下所示:    g(i) := C j (i) gj , g (i) := C (i) j g j ,    gi := C (j) i g(j) , g i := C i (j) g (j) , 此处, C (i) k C k (j) = δ i j , 基转换系数 {C j (i) } m i,j=1 与 {C (i) j } m i,j=1 之间的关系式源于协变基与逆变基之 间的对偶关系. x 1 x i xm O x i -楫 x i -楫 x j -楫 x j -楫 xˆ x˜ Dx X1 Xα Xm O X(x˜) x i -楫 x j -楫 gi(x˜) gj (x˜) g(i)(x˜) g(j)(x˜) X(xˆ) x i -楫 x j -楫 gi(xˆ) gj (xˆ) g(i)(xˆ) g(j)(xˆ) Figure 2: 非完整基示意 图2为非完整基示意图. 本节研究这样的情形, {gi} m i=1 为完整基, 亦即由曲线坐标系诱导; {g(i)} m i=1 为非完整基, 亦 即由完整基及基转换系数确定, 其中转换系数可自由确定. 对任意张量场, 可以基于完整基定义 其梯度, 以三阶张量 Φ ∈ T 3 (R 3 ) 为例, 有 Φ ⊗ ∇ := ∇lΦ i ·jkgi ⊗ g j ⊗ g k ⊗ g l ∈ T 4 (R 3 ), 现需获得 Φ ⊗ ∇ 在非完整基下的表达形式. 按基转化关系可有 Φ ⊗ ∇ : = ∇lΦ i ·jk [ C (p) i g(p) ] ⊗ [ C j (q) g (q) ] ⊗ [ C k (r) g (r) ] ⊗ [ C l (s) g (s) ] = C (p) i C j (q) C k (r)C l (s)∇lΦ i ·jkg(p) ⊗ g (q) ⊗ g (r) ⊗ g (s) = [Φ ⊗ ∇] (p) ·(q)(r)(s) g(p) ⊗ g (q) ⊗ g (r) ⊗ g (s) , 亦即有 [Φ ⊗ ∇] (p) · (q)(r)(s) = C (p) i C j (q) C k (r)C l (s)∇lΦ i ·jk. 非完整基理论实质为提供一套 “形式运算”, 以获得 [Φ ⊗ ∇] (p) · (q)(r)(s) , 具体包括 1. 定义形式偏导数 ∂ ∂x(l) ≡ ∂(l) , C k (l) ∂ ∂xk ; 2. 定义形式 Christoffel 符号 Γ (l) (p)(q) , C (l) k C i (p)C j (q) Γ k ij − C i (p)C j (q) ∂C(l) j ∂xi ̸= Γ (l) (q)(p) ; 4

非完整基理论及应用 谢锡麟 3.定义形式协变导数 0 通过直接计算可验证V(小(=匝v]po(s 首先,对向量A=4g1=A9o,可有 az 由形式偏导数的定义可有 sk 考虑到 V1A42 dA A5=C() a((C4()+C1A0) +Ciaa ar(k) 所以,有 V(m)A(n)=C(mC(VIA )=Clm)C(n) ac0 AG)+Ci C6) ax(k) aA +rC40) CIm Cmcr am(A)+Cim)o C) amd5+risC&,Clm)C[ AG) dx(m)+C)auA(+IisCs)C(m)(n)AG) aA(n) ar(m) aa(n) 0 ac Tisc aA(n) +risco (n) am/40) 02m)+rici im) (ol-Cim)ci) d2= AG) 对仿射量中=少19189=098g0,可有 考虑到 VIg 2 ))+Ticm) g)g6(m n)-r; om) kn) gb m ny ac (n)(

张量分析讲稿谢锡麟 非完整基理论及应用 谢锡麟 3. 定义形式协变导数 ∇(s) Φ (p) · (q)(r) , C l (s) ∂ ∂xl Φ (p) · (q)(r) + Γ (p) (s)(k) Φ (k) · (q)(r) − Γ (k) (s)(q) Φ (p) · (k)(r) − Γ (k) (s)(r) Φ (p) · (q)(k) , 通过直接计算可验证 ∇(s) Φ (p) · (q)(r) = [Φ ⊗ ∇] (p) · (q)(r)(s) . 首先, 对向量 A = Aigi = A(j)g(j) , 可有 A i = C i (j)A (j) , 由形式偏导数的定义可有 C (l) s ∂ ∂x(l) = C (l) s C k (l) ∂ ∂xk = δ k s ∂ ∂xk = ∂ ∂xs . 考虑到 ∇lA i = ∂Ai ∂xl + Γ i lsA s = C (k) l ∂ ∂x(k) ( C i (j)A (j) ) + Γ i lsC s (j)A (j) = C (k) l ∂Ci (j) ∂x(k) A (j) + C (k) l C i (j) ∂A(j) ∂x(k) + Γ i lsC s (j)A (j) , 所以, 有 ∇(m)A (n) = C l (m)C (n) i (∇lA i ) = C l (m)C (n) i [ C (k) l ∂Ci (j) ∂x(k) A (j) + C (k) l C i (j) ∂A(j) ∂x(k) + Γ i lsC s (j)A (j) ] = C l (m)C (n) i C (k) l ∂Ci (j) ∂x(k) A (j) + C l (m)C (n) i C (k) l C i (j) ∂A(j) ∂x(k) + Γ i lsC s (j)C l (m)C (n) i A (j) = ∂A(n) ∂x(m) + C (n) i ∂Ci (j) ∂x(m) A (j) + Γ i lsC s (j)C l (m)C (n) i A (j) = ∂A(n) ∂x(m) + [ ∂ ∂x(m) ( C (n) i C i (j) ) − C i (j) ∂C(n) i ∂x(m) + Γ i lsC s (j)C l (m)C (n) i ] A (j) = ∂A(n) ∂x(m) + [ Γ i lsC s (j)C l (m)C (n) i − C i (j) ∂C(n) i ∂xs ∂xs ∂x(m) ] A (j) = ∂A(n) ∂x(m) + [ Γ i lsC s (j)C l (m)C (n) i − C s (m)C i (j) ∂C(n) i ∂xs ] A (j) = ∂A(n) ∂x(m) + Γ (n) (m)(j)A (j) . 对仿射量 Φ = Φ i ·jgi ⊗ g j = Φ (i) · (j)g(i) ⊗ g (j) , 可有 Φ i ·j = C i (m)C (n) j Φ (m) · (n) . 考虑到 ∇lΦ i ·j = ∂Φi ·j ∂xl + Γ i lkΦ k ·j − Γ k ljΦ i ·k = C (r) l ∂ ∂x(r) ( C i (m)C (n) j Φ (m) · (n) ) + Γ i lkC k (m)C (n) j Φ (m) · (n) − Γ k ljC i (m)C (n) k Φ (m) · (n) = C (r) l C i (m)C (n) j ∂Φ(m) · (n) ∂x(r) + C (r) l C (n) j ∂Ci (m) ∂x(r) Φ (m) · (n) + C (r) l C i (m) ∂C(n) j ∂x(r) Φ (m) · (n) + Γ i lkC k (m)C (n) j Φ (m) · (n) − Γ k ljC i (m)C (n) k Φ (m) · (n) , 5