《固体物理导论》课程教学资源（课件讲稿）第一章 晶体结构及X射线衍射 第五节 晶体的对称性 第六节 晶体衍射的一般知识 第七节 晶体的衍射方程 第八节 几何结构因子

第五节晶体的对称性本节主要内容：1. 对称性与对称操作2.晶系和布拉菲原胞

第五节 晶体的对称性 本节主要内容: 1. 对称性与对称操作 2. 晶系和布拉菲原胞

1.对称性与对称操作ApatiteGarnetQuartz磷灰石石英石榴石对称性：经过某种几何操作后，晶体能够自身重合的特性；对称操作：使晶体自身重合的几何操作；对称素：对称操作所依赖的几何要素

对称性： 经过某种几何操作后，晶体能够自身重合的特性； 对称操作： 使晶体自身重合的几何操作； 对称素： 1. 对称性与对称操作 Apatite 磷灰石 Quartz 石英 Garnet 石榴石 对称性： 对称操作： 对称素：对称操作所依赖的几何要素

1）对称操作与线性变换晶格中任何两点间的距离，在操作前后应保持不变，数学上表示这些操作就是熟知的线性变换。经过某一对称操作，把晶体中任一点X(x,xz,x）变为X'(xi,xs,x))可以用线性变换来表示。X'= AXX3(x)X'aa2x,x'(x)A=X'=Ix2a21a22a23X=X2X(x,x,,x,)(a31a32（）(X3）33操作前后，两点间的距离保持不变。X2O点和X点间距与O点和X点间距相等。X1222° +×2 + x3 = 1 + x*+ x.12-AA=I~表示转置X'X' = (AX)AX = XAAX = XX

2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 x1 + x + x = x + x + x           = 3 2 1 x x x X               = 3 2 1 x x x X           = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a A 操作前后，两点间的距离保持不变。 ( , , ) 1 2 3 X x x x ( , , ) 1 2 3 X x x x O x1 x3 x2 O点和X点间距与O点和 X 点间距相等。 X  = AX AA I ~ = 1）对称操作与线性变换 ( , , ) X x1 x2 x3     经过某一对称操作，把晶体中任一点 变为 可以用线性变换来表示。 ( , , ) X x1 x2 x3 ~表示转置 晶格中任何两点间的距离，在操作前后应保持不变，数学上表 示这些操作就是熟知的线性变换

001010I为单位矩阵，即：I=001要求A为正交矩阵，其矩阵行列式A=土1。2）简单对称操作（旋转对称、中心反演、镜像、旋转反演对称)(1)旋转对称（C,,对称素为线）2元若晶体绕某一固定轴转以后自身重合，则此轴称为n次(度）n旋转对称轴。与转动对应的变换矩阵：

I为单位矩阵，即：         = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 I 要求A为正交矩阵，其矩阵行列式 A = 1 。 2）简单对称操作(旋转对称、中心反演、镜像、旋转反演对称) (1)旋转对称(Cn ,对称素为线) 若晶体绕某一固定轴转 以后自身重合，则此轴称为n次(度) 旋转对称轴。 n 2π 与转动对应的变换矩阵：

当OX绕x，转动角度0角，X3X'(x",x",x))X(x,x,,x) X'(x,x',x')X(x,x2,x,)09若OX在Oxx平面上投影的长度为R，OX2Xx' = xix' = Rcos(o+p) = Rcos cos- Rsin sin p= x, cosa - x, sin 0x; = Rsin(+p) = Rsin cosp+ Rcos sin g= x, sin 0 + x,cos0

当OX绕x1转动角度角， ( , , ) X x1 x2 x3 ( , , ) X x1 x2 x3     若OX在Ox2x3平面上投影的长度为R， 1 1 x = x  = cos( + ) x2 R = Rcos cos − Rsin sin = x2 cos − x3 sin  = sin( +  ) x3 R = Rsin cos + Rcos sin = x2 sin + x3 cos ( , , ) X x1 x2 x3 ( , , ) X x1 x2 x3     O x1 x3 x2  