第一章行列式 §1.1n阶行列式的定义及性质 、二、三阶行列式 二、三阶行列式的对角线法则 201221
第一章 行 列 式 § 1.1 n 阶行列式的定义及性质 一、二、三阶行列式 二、三阶行列式的对角线法则 (1.1) 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = −
21a2a23=a1a23+a12a231+a321a32 31 32C 33 -a132a31-a122a3-a1423l2(1.2) 当n>3时,以上的行列式对角线法不成立。 从二、三阶行列式的展开式中,我们发现它们 遵循着一个共同的规律—可以按第一行展开,由 (12)式得
1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − = + + 当n>3时，以上的行列式对角线法不成立。 从二、三阶行列式的展开式中，我们发现它们 遵循着一个共同的规律——可以按第一行展开，由 (1.2)式得， (1.2)
13 a2)+a12(2 332 12 +a13(a2 13 12 a12 ta 12412+a (1.3) 134113
1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 3 2 2 1 2 2 1 3 3 1 3 3 2 1 2 3 1 2 3 2 3 3 2 2 2 3 1 1 1 3 2 1 3 2 2 2 3 1 1 1 2 2 3 3 2 3 3 2 1 2 2 3 3 1 2 1 3 3 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 ( ) ( ) ( ) a A a A a A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + = − + + − = − + − (1.3)
其中 4=(1)12a2 22033 32 1+2|21 1033 A3=(-1) 1+3|21 22 2132 22031 32 同样,由(1.1)式得 D 114111 +a 12412 (1.4) 22
2 1 3 2 2 2 3 1 3 1 3 2 1 3 2 1 2 2 1 3 2 3 3 1 2 1 3 3 3 1 3 3 1 2 2 1 2 3 1 2 2 2 3 3 2 3 3 2 3 2 3 3 1 1 2 2 2 3 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) a a a a a a a a A a a a a a a a a A a a a a a a a a A = − = − = − = − = − = − + + + 其中 11 11 12 12 21 22 11 12 a A a A a a a a D = = + 同样，由（1.1）式得 (1.4)
其中 +1 2 22 12 (-1)2 这里a2a2|是一阶行列式(不是表示数的绝对 值,我们把a的一阶行列式|a|定义为a 如果把(1.3)、(1.4)两式作为三阶、 二阶行列式的定义,那么这种定义的方法是统 的,它们都是利用低阶行列式定义高一阶的行列 式
其中 这里 是一阶行列式(不是表示数的绝对 值), 我们把 a 的一阶行列式︱a︱定义为 a . 如果把（1.3）、（1.4）两式作为三阶、 二阶行列式的定义，那么这种定义的方法是统一 的，它们都是利用低阶行列式定义高一阶的行列 式. 22 21 a , a 21 21 1 2 12 22 22 1 1 11 1 1 A a a A a a = − = − = − = + + ( ) ( )