§22几种特殊矩阵 对角矩阵 定义28主对角线以外的元素全为零的n阶方 阵称为对角矩阵.即 22 如果A,B为同阶对角矩阵,则MA,A+B,AB仍是同阶 对角矩阵;且有AT=A 55
§2.2 几种特殊矩阵 一、对角矩阵 定义2.8 主对角线以外的元素全为零的 n 阶方 阵称为对角矩阵.即 如果A, B为同阶对角矩阵，则 kA,A+B,AB 仍是同阶 对角矩阵；且有 AT =A. -55- = n n a a a 2 2 1 1 A
数量矩阵 定义29主对角线上的元素全为数a的对角矩阵 称为数量矩阵,即 、单位矩阵 定义2.10主对角线上的元素全为1的n阶数量 矩阵称为n阶单位矩阵,记作L或Ⅰ.即 -56
二、 数量矩阵 定义2.9 主对角线上的元素全为数 a 的对角矩阵 称为数量矩阵, 即 三、单位矩阵 定义2.10 主对角线上的元素全为1 的 n 阶数量 矩阵称为 n 阶单位矩阵，记作 In 或 I . 即 -56- = a a a A
对于单位矩阵,有 nm×n n×n5 n×nn n×n5 A=A=A (n)=(k为正整数)
即 = 1 1 1 n I 对于单位矩阵，有 ; ; ; ( ) ( m m n m n m n n m n n n n n n k n n I A A A I A A I I A A I I k = = = = = 为正整数）
四、三角形矩阵 定义211主对角线下(上)方的元素全为0的 n阶方阵称为上(下)三角形矩阵,即方阵 12 In 和 22 n2 nn 五、对称矩阵 定义212如果n阶方阵4=(an)的元素满足 条件an=an(j=1,2,…,m),则称A为对称矩阵
四、三角形矩阵 定义2.11 主对角线下（上）方的元素全为0 的 n 阶方阵称为上（下）三角形矩阵，即方阵 五、对称矩阵 定义2.12 如果n 阶方阵 A= (aij) 的元素满足 条件 aij = aji ( i, j =1, 2, ···, n), 则称 A 为对称矩阵. n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 和
10 例如(2 2 均为对称矩阵. 13 例1设A与B是两个同阶对称矩阵,证明:当 且仅当A与B可交换时(即AB=BA),AB是对称矩阵 证明因为A、B均是对称矩阵,所以AT=A,BT =B.如果AB=BA,则有AB)=BAT=BA=AB,故AB是 对称矩阵 反之,如果AB是对称的,即有(4B)=AB,则有 AB=(AB)T=BAT=BA,故A与B可交换
例如 均为对称矩阵. − − 1 3 2 1 0 2 1 2 1 1 0 , 1 0 2 1 例 1 设 A 与 B 是两个同阶对称矩阵，证明：当 且仅当A 与B 可交换时（即 AB=BA），AB 是对称矩阵. 证明 因为A 、B 均是对称矩阵，所以AT =A ，BT =B. 如果AB=BA, 则有(AB) T = BTAT = BA = AB , 故AB 是 对称矩阵. 反之，如果 AB 是对称的，即有(AB) T = AB, 则有 AB= (AB) T = BTAT = BA , 故 A 与 B可交换