第三章向量 §3.1n维向量及其运算 n维向量的概念 对于一个m×n矩阵,它的每一行都是由n个数组成 的有序数组,每一列都是由m个数组成的有序数组;例 如平面上一点的坐标是由两个数构成的有序数组(xy).在 实际问题中,会经常遇到需要由多个数构成的有序数组 来确定的量,为此,我们引入n维向量的概念
第三章 向 量 §3.1 n 维向量及其运算 一、n 维向量的概念 对于一个m×n矩阵，它的每一行都是由n个数组成 的有序数组，每一列都是由m个数组成的有序数组；例 如平面上一点的坐标是由两个数构成的有序数组(x,y).在 实际问题中，会经常遇到需要由多个数构成的有序数组 来确定的量,为此，我们引入n 维向量的概念
定义31由n个实数a1,a2,“,an组成的有序数组 称为n维向量,记作a=(a1,a2,…;an,a叫做向量a 的第个分量(i=12,…n).分量都是零的向量称为零向 量,记作0,即0=(0,0,…,0) 、向量的运算 两个n维向量a=(a1a2,…;an)与B=(b1b2…bn) 当且仅当a1=b(i=12,…n)时,称为两个向量相等, 记作a=B
定义3.1 由n个实数a1 ,a2 , ···,an组成的有序 数组 称为 n 维向量，记作α = (a1 ,a2 , ···,an ), ai 叫 做向量α 的第i个分量(i=1,2, ···,n). 分量都是零的 向量称为零向 量，记作0，即 0 = (0,0, …,0). 二、向量的运算 两个 n 维向量α = (a1 ,a2 , ···,an )与β = (b1 ,b2 , ···,bn ) 当且仅当 ai = bi (i =1,2, ···,n)时，称为两个向量相等， 记作α = β
1.数与向量的乘法 定义3.2n维向量a=(a1a2,…an)的各分量 的k倍所构成的n维向量,称为数k与向量a的乘积, 记做ka,即 k a=ke )=(ka1a2,…an) 显然,k·0=0,0·a=0
1. 数与向量的乘法 定义3. 2 n 维向量α = (a1 ,a2 , ···,an )的各分量 的 k 倍所构成的n 维向量，称为数 k 与向量 α的乘积， 记做k α,即 k α = k(a1 ,a2 , ···,an ) = (ka1 ,ka2 , ···,kan ) 显然 , k · 0= 0, 0 · α = 0
2.向量加法 定义33两个n维向量a=(a1a2,…;an),B= (b1b2,…b)的对应分量之和构成的n维向量, 称为与B的和,记做a+B.即 a+f=(a1;a2,…an)+(b1,b2,…,bn) (a1+b a2t b2 an+ bn) 向量(-a1-a2,…,-an)称为向量a=(a1a2,…,an) 的负向量,记做 由向量加法和负向量可以定义向量减法: a-B=a+(-B)=(a1-b1,a2-b2;…,anbn)
2. 向量加法 定义3.3 两个 n 维向量 α = ( a1 ,a2 , ···,an ), β = ( b1 ,b2 , ···,bn ) 的对应分量之和构成的n 维向量， 称为α 与 β 的和，记做α + β. 即 α + β = ( a1 ,a2 , ···,an ) + ( b1 ,b2 , ···,bn ) = ( a1+ b1 , a2+ b2 , ···, an+ bn ) . 向量(– a1 , – a2 , ···, – an )称为向量 α = (a1 ,a2 , ···, an ) 的负向量， 记做 – α = ( – a1 , – a2 , ···, – an ). 由向量加法和负向量可以定义向量减法： α – β = α+( – β )= (a1 – b1 , a2 – b2 ,···, an– bn )
不难验证,数与向量乘法和向量加法满足 以下运算律:设a、β、"是向量,k,l是数,则 (1)a+B=B+a (2)a+(+)=(a+β)+γ; (3)a+0=a; (4)a+(-a)=0 (5)(k+la=ka+lai (6)k(+)=ka+kB (7)(k1)a=k(a); (8)1·a=a
不难验证，数与向量乘法和向量加法满足 以下运算律：设α、 β 、γ是向量，k , l是数， 则 (1) α + β = β + α ; (2) α + (β + γ)=( α + β )+ γ ; (3) α + 0 = α ; (4) α + (-α) = 0 ; (5) (k + l) α = k α +l α ; (6) k(α + β )=k α +k β ; (7) ( k l ) α = k( l α) ; (8) 1 ·α = α