§3.2向量组的线性相关性 线性相关与线性无关 定义34设有m个n维向量a1,a,a3,…,am,如 果存在m个不全为零的数k1k2 2ms 使得 k1a1+k2a2+…+knOn=0, 则称向量组a1,a2…,an线性相关;如果仅当k k2=…=kn=0时上式才成立,则称这m个向量线 性无关
§ 3.2 向量组的线性相关性 一、 线性相关与线性无关 定义3.4 设有m个n维向量α1 , α2 , α3 , ···,αm, 如 果存在m个不全为零的数 k1 , k2 , ···, km, 使得 k1α1 + k2α2+ ···+ kmαm = 0, 则称向量组α1 , α2 , ···,αm 线性相关；如果仅当k1= k2= ···= km = 0 时上式才成立，则称这m个向量线 性无关
由向量组之间的线性相关性定义可得: (1)只有一个向量的向量组,当a为零向量时线 性相关,a为非零向量时线性无关 (2)两个n维向量线性相关的充分必要条件是它 们的各对应分量成比例 (3)如果向量组中有一部分向量(称为部分组) 线性相关,那么整个向量组必线性相关 (4)若一个向量组线性无关,则向量组的任意 个部分组也线性无关
由向量组之间的线性相关性定义可得： (1) 只有一个向量的向量组，当α为零向量时线 性相关， α为非零向量时线性无关. (2) 两个n维向量线性相关的充分必要条件是它 们的各对应分量成比例. (3) 如果向量组中有一部分向量 ( 称为部分组 ) 线性相关，那么整个向量组必线性相关. (4) 若一个向量组线性无关，则向量组的任意 一个部分组也线性无关
例1判断向量组a1=(10.2),a2=(1,1,1), a3(3,1,5)的线性相关性 解设k1a1+k2a2+k3a3=0 即k1(0,2)+k2(11,1)+k3(3,1,5)=0, 则(k1+k2+3k32k2+k3, 2k1+k2+5k3)=(0,0,0) k1+k2+3k3=0 于是得方程组 K tk=0 2k1+k2+5k3=0
例1 判断向量组 α1= (1,0,2), α2= (1,1,1), α3= (3,1,5) 的线性相关性. 解 设 k1 α1+k2 α2+ k3 α3= 0 即 k1 (1,0,2) + k2 (1,1,1) + k3 (3,1,5) = 0 ， 则 (k 1+ k2+3k3 , k2+ k3 , 2k1+ k2+ 5k3 ) = (0,0,0) 于是得方程组 1 2 3 2 3 1 2 3 3 0 0 2 5 0 k k k k k k k k + + = + = + + =
解之得k1=-2k2,k2=-k2,这里k3可以任意取值 设k31则k2=-1,k1=-2.因此,有一组非零值 1 满足ka1+k2a2+k3a3=0,故向量组a12a3 线性相关
解之得 k1= – 2k3 , k2= – k3 , 这里 k3 可以任意取值. 设 k3=1 则 k2= – 1, k1= – 2 . 因此, 有一组非零值 k1= – 2, k2= – 1, k3=1 . 满足 k1α1+k2α2+ k3α3= 0 ，故向量组 α1 ,α2 ,α3 线性相关
例2证明n维向量组 E1=(1,0,…,0),2=(0,1,…,0),…,En=(0,0,…,1) 线性无关 证明设k11+k22+…+knn=0,由于 k1 81+k62 k, 8 =k1(1,0,…,0)+k2(0,1,…O)+…+kn(00,…,1) (k1,k2,…,kn)=0, 故k=k2=…=kn=0,所以1,62…,En线性无关
例2 证明 n 维向量组 ε1=(1,0, ···,0), ε2=(0,1, ···,0), ···, εn=(0,0, ···,1) 线性无关. 证明 设 k1 ε1+k2 ε2+ ···+kn εn =0, 由于 k1 ε1 + k2 ε2 + ···+ kn εn = k1 (1,0, ···,0)+k2 (0,1, ···,0)+ ···+kn (0,0, ···,1) = (k1 , k2 , ···, kn ) = 0, 故 k1 = k2 = ···= kn = 0, 所以 ε1 , ε2 , ···, εn 线性无关