524逆矩阵 、逆矩阵概念 定义2.16设A是n阶方阵,如果存在n阶方 阵B,使得AB=BA=Ⅰ,则称A为可逆矩阵,B称 为A的逆矩阵,记作A 例如 21 B 34 53 55 为二阶矩阵,则有
§2.4 逆 矩 阵 一、逆矩阵概念 定义 2.16 设A 是n 阶方阵，如果存在 n 阶方 阵B ，使得 AB = BA = I , 则称A为可逆矩阵，B 称 为A 的逆矩阵，记作A–1 . 例如 为二阶矩阵，则有 − − = = 5 2 5 3 5 1 5 4 3 4 2 1 A ,B
21 55 10 4.B 34儿-32(01 55 4 B.A=5 10 3234/(0 5 5 所以A和B是两个可逆矩阵,且互为逆矩阵 定理2.3若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是 惟一的
B A I A B I = = − − = = = − − = 0 1 1 0 3 4 2 1 5 2 5 3 5 1 5 4 0 1 1 0 5 2 5 3 5 1 5 4 3 4 2 1 所以 A 和 B 是两个可逆矩阵，且互为逆矩阵. 定理 2.3 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是 惟一的
证明设B是A的逆矩阵,C是任意一个 逆矩阵,则由AB=BA=I,AC=CA=I 可得B=IB=(CAB=C(4B)=CI=C 故A的逆矩阵是惟一的 可逆矩阵具有以下性质: 设A,B均为n阶方阵,则有 (1)若A可逆,则A1也可逆,且(4-1)-1=A (2)若A与B均可逆,则其乘积AB也可逆,且 (AB)1=B1A1; (3)若A可逆,则其转置矩阵4T也可逆,且 (4)1=(A-1)T
证明 设B是A的逆矩阵，C是A任意一个 逆矩阵, 则由 AB = BA = I, AC = CA = I 可得 B = IB = (CA)B = C(AB) = CI = C 故A 的逆矩阵是惟一的. 可逆矩阵具有以下性质： 设A ,B 均为 n 阶方阵，则有 （1）若A可逆，则 A-1也可逆,且 (A-1) -1 =A （2）若A与B均可逆,则其乘积AB也可逆,且 (AB) -1= B-1A-1 ； （3）若A可逆,则其转置矩阵AT 也可逆,且 (AT) -1= (A-1) T ；
(4)若A可逆,数k≠0,则kA可逆,且(kA)=A k (5)若A可逆,则 由逆矩阵的定义可证明上述性质.下面只给出(2) 的证明. 证明(2)因为A与B可逆,所以A1,B-1存在, IT (AB)(BIA-D=A(BB-A-1=AIA-I=AA-1=I (B-1A D )(AB=B-1(A-IAB=BlIB=B-IB=I 所以(AB)1=B141
（4）若A可逆，数k≠0,则 kA可逆,且 （5）若A 可逆，则 由逆矩阵的定义可证明上述性质.下面只给出（2） 的证明. 证明(2) 因为A与B可逆，所以 A-1 ,B-1存在， 而 (AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AI A-1=A A-1=I (B-1A-1)(AB)=B-1(A-1A)B = B-1 I B= B-1B=I 所以 (AB) -1= B-1A-1 . 1 −1 1 − = = A A A 1 1 1 ( ) − − A = A k k
由可逆矩阵的定义,还可证明:初等矩阵 都是可逆的,并且其逆矩阵仍是初等矩阵,且有 I(G,j)=I(,j),f(k)=(i( l(i(k),,=l(i(k),j) 可逆矩阵的判定及其逆矩阵的求法 1.伴随矩阵法 定义2.17设A是一个n阶矩阵 A 22 2n n2
由可逆矩阵的定义，还可证明：初等矩阵 都是可逆的，并且其逆矩阵仍是初等矩阵，且有 二、可逆矩阵的判定及其逆矩阵的求法 1. 伴随矩阵法 定义2.17 设A 是一个n 阶矩阵 I , I , . I , I , I I ( ( ) ) ( ( ) ) )); 1 ( ) ( ); ( ( )) ( ( 1 1 1 i k j i k j k i j i j i k i = − = = − − − = n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 A