3.7函数的凸性和曲线的拐点、渐近线 、函数的凸性和曲线的拐点 前面我们已经讨论了函数的单调性和极值,这对于 我们了解函数的性态及函数的作图都很有帮助,但这还不 能全面反映函数图形的主要特性,例如函数曲线弯曲的方 向该如何描述?下面给出函数凸性的概念 定义33设函数f(x)在(a,b)上连续, (1)如果x,x2∈(a,b)及∈(0,1),都有 fAx1+(1-)x2]<(x1)+(1-)f(x2) 则称f(x)在(an,b)上为下凸, (2)如果Wx,x2∈(a,1b)及V∈(0,1,都有 fAx1+(1-A)x2]>yf(x1)+(1-1)f(x2) 则称f(x)在(a,b)上为上凸
3.7 函数的凸性和曲线的拐点、渐近线 一、函数的凸性和曲线的拐点 前面我们已经讨论了函数的单调性和极值，这对于 我们了解函数的性态及函数的作图都很有帮助，但这还不 能全面反映函数图形的主要特性，例如函数曲线弯曲的方 向该如何描述？下面给出函数凸性的概念. 定义3.3 设函数 上连续， ⑴如果 都有 则称 上为下凸， ⑵如果 都有 则称 上为上凸. f (x)在(a,b) x1 , x2 (a,b)及(0,1)， [ (1 ) ] ( ) (1 ) ( ) 1 2 1 2 f x + − x f x + − f x f (x)在(a,b) x1 , x2 (a,b)及(0,1)， [ (1 ) ] ( ) (1 ) ( ) 1 2 1 2 f x + − x f x + − f x f (x)在(a,b)
我们先来观察一下上述定义反映的几何性质 f(x) v= f(x 图-13 图3-14
我们先来观察一下上述定义反映的几何性质. y = f (x) y = f (x)
在图3-13和图3-14中,Ax1+(1-4)x2是区间(x12x2)内的 点,八x1+(1-4)x2]是曲线y=f(x)上对应于点 x1+(1-1)x2的高度,而0(x1)+(1-)f(x2)则是割线AB 上对应于点ax1+(1-1)x2的高度,定义告诉我们,如果连续 曲线上任意两点的割线线段都在该两点间的曲线弧之上 那么该段曲线弧称为下凸的,反之则称为上凸的.我们也 可以从另外一个方面来理解凸性概念:下凸弧上过任一点 的切线都在曲线弧之下,而上凸弧上过任一点的切线都在 曲线弧之上,如图3-15所示 15
在图3-13和图3-14中， 是区间 内的 点， 是曲线 上对应于点 的高度，而 则是割线 上对应于点 的高度，定义告诉我们，如果连续 曲线上任意两点的割线线段都在该两点间的曲线弧之上， 那么该段曲线弧称为下凸的，反之则称为上凸的. 我们也 可以从另外一个方面来理解凸性概念：下凸弧上过任一点 的切线都在曲线弧之下，而上凸弧上过任一点的切线都在 曲线弧之上，如图3-15所示. 1 2 x + (1− )x ( , ) 1 2 x x [ (1 ) ] 1 2 f x + − x y = f (x) 1 2 x + (1− )x ( ) (1 ) ( ) 1 2 f x + − f x AB 1 2 x + (1− )x
下面我们通过函数的二阶导数来刻画函数的凸性: 定理310设f(x)在(a,b)上具有二阶导数, ()如果在(a,b)内f(x)>0,则y=f(x)在(ab)内为下凸, (2)如果在(a,b内f(x)<0,则y=f(x)在(a,b)内为上凸 证(1)x1,x2∈(a,b),且x1<x2,V∈(0,1) x0=x1+(1-)x2则x<x<x2 由拉格朗日中值定理,得 f(x)-f(x)=f(51)(x0-x1)51∈(x,2x0),(3-4) f(x2)-f(x)=f(2)x2-x0)252∈(x2x2),(3-5) (1-4)x(3-5)式-×(3-4)式,得: (1-A)f(x2)-f(x0)-Lf(x)-f(x1) =(1-)(2)(x2-x0)-f(51)(x0-x1)
下面我们通过函数的二阶导数来刻画函数的凸性： 定理3.10 设 f (x) 在 (a,b) 上具有二阶导数， ⑴如果在 则 内为下凸， ⑵如果在 则 内为上凸. (1) , ( , ), , (0,1). x1 x2 a b 且x1 x2 (1 ) , . 0 1 2 1 0 2 x = x + − x 则x x x f (x0 ) − f (x1 ) = f '( 1 )(x0 − x1 ), 1 (x1 , x0 )， （3− 4） f (x2 ) − f (x0 ) = f '( 2 )(x2 − x0 ), 2 (x0 , x2 )， （3−5） (1−)(3−5)式−(3−4)式，得： (1 ) '( )( ) '( )( ) . (1 )[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 2 2 0 1 0 1 2 0 0 1 f x x f x x f x f x f x f x = − − − − − − − − y = f (x)在(a,b) (a,b)内f (x) 0, (a,b)内f (x) 0, y = f (x)在(a,b) 由拉格朗日中值定理，得 记 证
f(x1)+(1-A)f(x2)-[+(1-A)f(x (1-A)(2)-f(51)(x2-x) (x1<51<x0<52<x2) (3-6 在[52]上对∫(x)运用拉格朗日中值定理,得: f(2)-f(51)=f"(3X(52-51),3∈(5122 因为53∈(152)∈(x12x2)c(a,b),由已给条件, 所以f"(3)>0,53∈(ab), 又因为>0,1->0,92-51>0,x2-x1>0, 由(36)及(3-7)两式得
( ) (1 ) ( ) [ (1 )] ( ) 1 2 0 f x + − f x − + − f x (1 )[ '( ) '( )]( ) 2 1 2 1 = − f − f x − x ( ) (3 6) x1 1 x0 2 x2 − 在[ 1 , 2 ]上对 f '(x) 运用拉格朗日中值定理，得： '( ) '( ) ''( )( ) , ( , ) (3 7) f 2 − f 1 = f 3 2 −1 3 1 2 − ''( ) 0, ( , ) , f 3 3 a b 0,1 0, 0, 0 , − 2 −1 x2 − x1 ( , ) ( , ) ( , ) 3 1 2 x1 x2 a b 由(3-6)及(3-7)两式,得: 又因为 所以 因为 ，由已给条件