§33向量组的秩 极大无关组 对于一个线性相关的向量组来说,可能含有线性 无关的部分组. 例如向量组:0=(1,1,3),a2=(-1,0,2),a3=(1,2:8) 因为2a1+a2a3=0,所以a1,a2,a3是线性相关的, 然而a1,a2a3中任意两个向量所对应的分量皆不成 比例,因此,其部分组a1是线性无关的;部分组a1a2 也是线性无关的于是有下面定义:
§3.3 向量组的秩 一、极大无关组 对于一个线性相关的向量组来说, 可能含有线性 无关的部分组. 例如向量组:α1= (1,1,3) ,α2=(-1,0,2),α3=(1,2,8) 因为2α1 +α2 -α3= 0, 所以α1 ,α2 ,α3 是线性相关的， 然而α1 ,α2 ,α3 中任意两个向量所对应的分量皆不成 比例, 因此, 其部分组α1是线性无关的; 部分组α1 ,α2 也是线性无关的. 于是有下面定义：
定义36一个向量组中有m个向量,其中r (r≤m)个向量a,a2,…,an如果满足: (1)a1,a2,…an线性无关; (2)在a1,a2,…,a1中再添加原向量组中任何 个向量得到的向量组都线性相关, 则称a1,a2,…a.为原向量组的一个极大无关 部分组,简称极大无关组
定义3.6 一个向量组中有m个向量，其中r (r ≤ m) 个向量 α1 , α2 , ···,αr , 如果满足： (1) α1 , α2 , ···,αr 线性无关； (2) 在α1 , α2 , ···,αr 中再添加原向量组中任何 一个向量得到的向量组都线性相关, 则称 α1 , α2 , ···,αr 为原向量组的一个极大无关 部分组，简称极大无关组
例1已知向量组为a1=(1,1,-1,0,1)a2=(2,2,-2,0,2) 3=(1,1,0,1,0),4=(0,0,-1,-1,1,a=(2,2,-1,1,1), a=(1,0,-1,-1,1)验证a1a32a为原向量组的一个 极大无关组 证明令k1+k2a3+k36=0,得到 k1+k2+k3=0,k1+k2=0,-k1-k3=0, k2-k3=0,k1+k3=0
例1 已知向量组为α1=(1,1,–1,0,1),α2=(2,2,– 2,0,2), α3=(1,1,0,1,0),α4=(0,0, – 1, – 1,1), α5=(2,2, – 1,1,1), α6=(1,0, –1,– 1,1). 验证α1 , α3 , α6为原向量组的一个 极大无关组. 证明 令 k1α1 + k2α3+ k3α6 = 0, 得到 k1+ k2+ k3 = 0, k1 + k2 = 0, – k1 – k3 = 0, k2 – k3 =0, k1 + k3 =0
解之得k1=k2k3=0,可知a1,a32a线性无关 可求得2a1-a2+0a3+0a6=0, 01-a3-a4+0a6=0, 01+a3-a5+0a6=0 它们表明,在a1,a3a中再添加原向量组中任一向 量所得的向量组皆线性相关
解之得 k1 = k2= k3 = 0, 可知 α1 , α3 , α6 线性无关. 可求得 2α1 – α2 + 0·α3+ 0·α6 = 0, α1 –α3 – α4+ 0·α6 = 0, α1 + α3 – α5+ 0·α6 = 0, 它们表明,在α1 ,α3 ,α6中再添加原向量组中任一向 量所得的向量组皆线性相关
结论:任何一个向量组a1,a2,…,an(m≥2) 只要含有非零向量,就一定有极大无关组;如果 个向量组有极大无关组,往往极大无关组不止 个对于一个线性无关的向量组,它的极大无关 组就是其本身 定理35同一个向量组的任何两个极大无关组都 含有相同个数的向量(证略)
结论: 任何一个向量组α1 , α2 , ···, αm(m≥2) 只要含有非零向量，就一定有极大无关组；如果 一个向量组有极大无关组，往往极大无关组不止 一个. 对于一个线性无关的向量组，它的极大无关 组就是其本身. 定理3.5 同一个向量组的任何两个极大无关组都 含有相同个数的向量.(证略)