4.5微分方程初步 微分方程的基本概念 可分离变量的一阶微分方程 阶线性微分方程 1.一阶线性齐次微分方程的通解 2.一阶线性非齐次微分方程的通解
4.5 微分方程初步 1.一阶线性齐次微分方程的通解 2.一阶线性非齐次微分方程的通解 三、一阶线性微分方程 一、微分方程的基本概念 二、可分离变量的一阶微分方程
微分方程的基本概念 例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点 M(xy)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程 解设曲线方程为y=y(x)根据导数的几何意义, 有 dt2x两端积分得y=2xs, y=x+C) 其中C是任意常数把x=1,y=2代入上式, 得C=1于是所求曲线方程为y=x2+1
一、 微分方程的基本概念 例 1 一曲线通过点(1, 2)，且在该曲线上任一点 M(x,y)处的切线的斜率为 2x，求这曲线的方程. 解 设曲线方程为 y x x = 2 d , 即 , 2 y = x + C 其中 C 是任意常数.把 x=1，y=2代入上式， 于是所求曲线方程为 1. 2 得 C =1 y = x + 根据导数的几何意义， 有 两端积分得 y = y( x) x x y = 2 d d
例2一列车在平直轨道上以15米/秒的速度行驶, 当制动时,列车加速度为03米秒2,求制动后列车 的运动规律 解设列车开始制动后秒钟内行驶米,s=(t) 由题意S"=-0.3两边积分 得S"=-0.3+C再积分一次 得S=-0.5t+Ct+C2, 因为S(0)=15,S(0)=0, 得 C,=15 制动后列车的运动规律为S=-0.15t2+15
例 2 一列车在平直轨道上以15米/秒的速度行驶， 当制动时，列车加速度为-0.3米/秒2，求制动后列车 的运动规律. 解 设列车开始制动后t秒钟内行驶s米，s=s（t）, 由题意 S = −0.3 两边积分 得 3 1 S = −0. t + C 再积分一次 得 0.15 , 2 2 S = − t + C1 t + C 因为 S(0) = 15, S(0) = 0, 得 15, 0, C1 = C2 = 制动后列车的运动规律为 0.15 15 . 2 S = − t + t
微分方程的有关概念 令微分方程:含有未知函数的导数(微分)的方程。 常微分方程:未知函数是一元函数的微分方程 令偏微分方程:未知函数是多元函数的微分方程; 微分方程的阶:微分方程中所出现的未知函数的最 高阶导数的阶数。 x2y+y2cosx-xgy+e2ym=0三阶微分方程 2x 阶微分方程. ar
❖ 微分方程：含有未知函数的导数（微分）的方程。 高阶导数的阶数。 ， cos 0 2 2 x y + y x − xy + y = x e 三阶微分方程. 一阶微分方程. 微分方程的有关概念 ❖ 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程； ❖ 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程； ❖ 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最 x x y = 2 d d
一般地,n阶微分方程的形式是 xyy9y",…,n) 0 Flx, y,y',y )是x,y,y,y",…,y 的函数,而且一定含有p,其余的变量可以不出现。 如 y)+1=0: d d 2=0: dx- dx 5y"+y=7
( ) ( , , ' , " , , ) = 0, n F x y y y y ( ) , n y 一般地，n 阶微分方程的形式是 是 的函数，而且一定含有 ( ) ( ) n F x, y, y' , y" , , y (n) x, y, y' , y" , , y 其余的变量可以不出现。 如 ( ) + 1 = 0; n y 2 0; 4 4 + − = x y x y d d d d 5 y + y = 7