所以它有惟一解也就是方程组(41)有惟一解从(45 的最后一个方程中解出x,再代入第n-1个方程求出 xn1,依次解下去,则求出方程组的惟一解 ②当r<n时,方程组(44)可写成 C1X1+a12X+…+a1.x Ir+r+ n n 2x2+……+a2x 2r+1r+1 - a2nrn 46) r,r+1ˇr+ rn n
所以它有惟一解.也就是方程组(4.1)有惟一解.从(4.5) 的最后一个方程中解出xn，再代入第n –1个方程求出 xn-1，依次解下去，则求出方程组的惟一解. ②当 r ＜ n时，方程组(4.4)可写成 (4.6) = − − − + + = − − − + + + = − − − + + + + + + . , , r r r r r,r r r n n r r r r n n r r r r n n a x d a x a x a x a x d a x a x a x a x a x d a x a x 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1
从方程组(46)中的最后一个方程中解出x, 依次回代,就可求出x1,x2,…,x含有n-r个未知 量x+1,x+2,…,xn的表达式 x=k1-k1+1x+1 r+1r+1 inn (4.7) x=k-k r,F+1~r+1 rn n 其中x+1,x+2,…,x称为自由未知量
从方程组（4.6）中的最后一个方程中解出xr， 依次回代，就可求出 x1 , x2 , ···, xr 含有 n – r 个未知 量 xr+1 , xr+2 , ···, xn 的表达式 (4.7) 其中 xr+1 , xr+2 , ···, xn 称为自由未知量. 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 = − − − = − − − = − − − + + + + + + . , , , , , r r r r r r n n r r n n r r n n x k k x k x x k k x k x x k k x k x
对n-r个自由未知量x1x+2,…xn取不同的值可 得到不同的解,如果取x1=c,x2=c2…,xn=Cn,其 中c,C2,…,cm为任意常数,则方程组47有无穷多个解 x=k1-k1,+C1-…-k In n-r9 k2,C x , =k, -kr+CI rnn-r5 (4.8) r+2=C 25
对 n – r 个自由未知量 xr+1,xr+2, ···,xn 取不同的值可 得到不同的解, 如果取xr+1 = c1 , xr+2 = c2 , ···, xn = cn-r ,其 中c1 ,c2 , ···,cn-r为任意常数, 则方程组(4.7)有无穷多个解： (4.8) 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 = = = = − − − = − − − = − − − − + + + − + − + − . , , , , , , , , n n r r r r r r r r n n r r n n r r n n r x c x c x c x k k c k c x k k c k c x k k c k c
方程组(48)是方程组(44)的解的一般形式, 也是线性方程组(41)的无穷多个解的一般形式 定理4线性方程组41)解的充分必要条件是: r(Ab=r(a). 当r(4b)=n时,(4.1)有惟一解;当n(Ab)<n时,(41)有无 穷多个解. 例2解线性方程组 x1-3x2-2x2-x4=6, 3x1-8x,+x2+5x1=0 2x1+x,-4x3+ x1+4x2-x3-3
方程组(4.8)是方程组(4.4)的解的一般形式, 也是线性方程组(4.1)的无穷多个解的一般形式. 定理4.1 线性方程组(4.1)有解的充分必要条件是: r(Ab) = r( A ). 当 r(Ab) = n时, (4.1)有惟一解; 当r( Ab ) ＜n 时, (4.1)有无 穷多个解. 例2 解线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 2 6, 3 8 5 0, 2 4 12, 4 3 2. x x x x x x x x x x x x x x x x − − − = − + + = − + − + = − − + − − =
解对方程组的增广矩阵(Ab) 施以初等行变换,化为阶梯形矩阵 1-3-2-1:6 3-815:0 78:-18 (Ab) 2 41:-120-5-8-1:0 14-13:2 3-4:8 78:-18 002739-9000-33-12 00-10-12:26 00-10-12:26
解 对方程组的增广矩阵（A b） 施以初等行变换，化为阶梯形矩阵 − − − − − − − − → − − − − − − − → − − − − − − − − − → − − − − − − − − − − = 0 0 10 12 26 0 0 3 3 12 0 1 7 8 18 1 3 2 1 6 0 0 10 12 26 0 0 27 39 90 0 1 7 8 18 1 3 2 1 6 0 1 3 4 8 0 5 8 1 0 0 1 7 8 18 1 3 2 1 6 1 4 1 3 2 2 1 4 1 12 3 8 1 5 0 1 3 2 1 6 (A b)