《高等数学》课程PPT教学课件（章节知识点）4.1 线性方程组的消元解法

方程组(1)-(8)是同解方程组方程组(8)的解就 是原方程(1)的解 上面解法就是线性方程组的消元法,(1)至(5是 消元过程,(5)至(8)是回代过程 对于一般线性方程组 a11x1+ a12x2+.+ aurn=b, a2x1+a2x2+…+a2nxn=b2,(4.1) amIri+ am2x2+, ,, amrrn=b

方程组(1) —(8)是同解方程组,方程组(8)的解就 是原方程(1)的解. 上面解法就是线性方程组的消元法，(1)至(5)是 消元过程, (5)至(8)是回代过程. 对于一般线性方程组 a11x1 + a12x2 + ··· + a1nxn = b1 , a21x1 + a22x2 + ··· + a2nxn = b2 , (4.1) … … am1x1 + am2x2 + ··· + amnxn = bm ,     

其矩阵形式为Ax=b, (42) 其中 l112 系数矩阵A b 2122 2n2 b mI 2 增广矩阵(4b)= b 22 2 n (43) b 12

其矩阵形式为 Ax = b, (4.2) 其中 系数矩阵 A= 增广矩阵 (A b ) = （4.3)               m m mn m n n a a a b a a a b a a a b         1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1               m m mn m n n a a a b a a a b a a a b         1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1

XI 常数项矩阵b=b2,n元未知量x=x2 n 这是线性方程组的一般形式,其中当b0时称为 非齐次线性方程组,当b=0时称为齐次线性方程组 由例1可以看出,用消元法解线性方程组的过 程,实质上就是对该方程组增广矩阵施以行的初等 变换(称为初等行变换)化为行简化阶梯形矩阵, 从而求出方程组的解

常数项矩阵b = , n元未知量 x = . 这是线性方程组的一般形式，其中当 b≠0时称为 非齐次线性方程组，当 b=0时称为齐次线性方程组. 由例 1可以看出，用消元法解线性方程组的过 程，实质上就是对该方程组增广矩阵施以行的初等 变换（称为初等行变换）化为行简化阶梯形矩阵， 从而求出方程组的解.               bm b b  2 1               xn x x  2 1

在例1中对线性方程组的增广矩阵作初等行 变换求解过程是: 212:9 124 124:5 交换①② 212 3-31:10 3-31:10 ①x2②(124:5 ①×-3③0-3-6-1

在例1中对线性方程组的增广矩阵作初等行 变换求解过程是: ①②           − ⎯⎯⎯→           − 3 3 1 10 2 1 2 9 1 2 4 5 3 3 1 10 1 2 4 5 2 1 2 9 交换           − − − ⎯⎯ ⎯→ − − −  − +  − + 0 9 11 5 0 3 6 1 1 2 4 5 ( 3) ( 2) ① ① ② ③

1245 1245 ②x3430-3-6-1 70-3-6-1 007-2 2 001 43 43 120 ③x(+)+① ③×6+② 19②×(- 727 21 2 00 001 91 100 21 (-2)+ 19 2 001

                − ⎯⎯→ − − −           − ⎯⎯⎯→ − − −   − + 7 2 0 0 1 0 3 6 1 1 2 4 5 0 0 7 2 0 3 6 1 1 2 4 5 7 1 ( 3 )                 − ⎯⎯⎯→                 − ⎯⎯⎯→                 − ⎯⎯⎯→ − −  − +  −  +  − + 7 2 0 0 1 21 19 0 1 0 21 91 1 0 0 7 2 0 0 1 21 19 0 1 0 7 43 1 2 0 7 2 0 0 1 7 19 0 3 0 7 43 1 2 0 ( 2) ) 3 1 ( 6 ( 4) ① ① ③ ③ ③ ③ ② ② ② ②