例7计算心形线r=c1+cos)(a>0)与圆 F三a 所围图形的面积 解:利用对称性,所求面积 A=1ma2+2 x23 a2(1+co)2d aa+a [(+2 0+cos 20)d0 T aa+a 254 2ax T C HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 2 1+ 2cos + cos (1 cos 2 ) 2 1 + a 2a x y O 例7. 计算心形线 与圆 所围图形的面积 . 解: 利用对称性 , 所求面积 (1 cos ) d 2 1 2 2 + + 2 a 2 π 2 1 A = a = + 2 2 π 2 1 a a cos 2 )d 2 1 2cos 2 3 ( + + ( π 2 ) 4 3 π 2 1 2 2 = a + a −
例8.求双纽线r2=a2cos20所围图形面积 解:利用对称性,则所求面积为 A=4 4-a cos20 de 6 4 C0s20d(20) T a lsin 20 =a 6 aπ4 思考:用定积分表示该双纽线与圆r=a2sinO 所围公共部分的面积 答案:A=2[a2sin20MFN变、0206 HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束a sin 2 2 = a 例8. 求双纽线 所围图形面积 . 解: 利用对称性 , cos2 d 2 1 2 a = 4 π 0 2 a cos 2 d(2 ) 则所求面积为 2 = a 思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r = a 2sin 所围公共部分的面积 . A = 2 sin d 2 0 6 2 π a cos 2 d 2 4 1 π 6 π 2 + a 4 π = 答案: 4 π = − y O x
二、平面曲线的弧长 定义:若在弧AB上任意作内接折线,当折线段的最大 边长λ→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,则称 此极限为曲线弧AB的弧长,即 M s=im∑M1M B=M A=MO 并称此曲线弧为可求长的 定理:任意光滑曲线弧都是可求长的 (证明略) HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、平面曲线的弧长 定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , = M0 Mi−1 Mi = Mn 当折线段的最大 边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即 并称此曲线弧为可求长的. Mi−1Mi 定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. (证明略) = n i 1 0 lim → = s 则称 O A B y x
(1)曲线弧由直角坐标方程给出 y=f(x)(a≤x≤b 弧长元素弧微分) f(x) ds=√( dx) +(dy d 1+y'dx 因此所求弧长 S=V1+y'dx o a xx+dxbx C √1+f(x)dx HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 ds a b y O x (1) 曲线弧由直角坐标方程给出: y = f (x) 弧长元素(弧微分) : x x + d x 1 y dx 2 = + 因此所求弧长 s y x b a 1 d 2 = + f x x b a 1 ( ) d 2 = + 2 2 ds = (dx) + (dy)
(2)曲线弧由参数方程给出: p(t) y=1)(c≤t≤B) 弧长元素弧微分) ds=(dx)2(dy)2 No(t)+y'(t)dt 因此所求弧长 B S o2(t)+v()d HIGHER EDUCATION PRESS △0 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 (2) 曲线弧由参数方程给出: 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 s (t) (t) dt 2 2 = + (t) (t) dt 2 2 = + 2 2 ds = (dx) + (dy)