六.利用极限性质求极限:已证明过以下几个极限 lim C=C, lim x=xo, lim sin x= sin xo, lim cos x=cos xo im2=0, lim arctan=±z (注意前四个极限中极限就是函数值) 这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,参阅 4]P37-38.我们将陆续证明这些公式 利用极限性质,特别是运算性质求极限的原理是:通过有关性质,把所求极限化为基 本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限 例20lim(xgx-1).(利用极限 lim sinx=sin=-和 lim cos x=--.) 例 例22lmx-1 xx-1[利用公式a"-1=(a-1)(an+a"2+…+a+1) 例23lim x2+x-2 例24①)1imy2x2 3x+5 3x+5 例25 im vx sir2x2+x-10) 例26lim 4]P58E30
六. 利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限： 0 0 0 ;coscoslim ,sinsinlim ,lim ,lim0 0 0 0 xxCC xx xx xx xx xx xx = = = = → → → → . 2 lim ,0 1 lim π = ±= ∞→ ±∞→ arctgx x x x 1 sin lim 0 = → x x x . e x x x ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞→ 1 1lim . （ 注意前四个极限中极限就是函数值 ） 这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用, 参阅 [4]P37—38. 我们将陆续证明这些公式. 利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基 本极限, 代入基本极限的值, 即计算得所求极限. 例 20 ).1(lim 4 − → xtgx x π ( 利用极限 2 2 4 sinsinlim 4 == → π π x x 和 . 2 2 coslim 4 = → x x π ) 例 21 . ) 1 ( 1 3 1 1 lim 3 1 ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − x −→ x + x 例 22 . 1 1 lim 10 7 1 − − → x x x [ 利用公式 )(1(1 ).1 ] 21 ++++−=− −− aaaaan nn " 例 23 . 2 122 lim 2 2 1 + − −+− → x x xx x 例 24 ⑴ ; 53 132 lim 2 2 + ++ +∞→ x xx x ⑵ . 53 132 lim 2 2 + ++ −∞→ x xx x 例 25 . 23 )102sin( lim 5 4 2 x xxx x − −+ ∞→ 例 26 . 1 1 lim 3 1 − − → x x x [4]P58 E30 25
例27Iim 例8设极限lm存在(有限)试证明:若limg(x)=0,则 lim f(x)=0 2+16-A 例29已知lim x-3=B.求A和B.参阅[4Pb9 例30 Im sinx x→-x coS x 例31lim x→0 例32 lim sin 5x x→0sin3x arcsin x 例33Iin x→0 例34lim1+ 特别当k=-1,k=二等 例35lim(1+2x)x 例36Iin Ex [1]P8431)(提示:利用式//=1(1 有界),41 P977(2)(4) [4]P79-8249,50,52,54,56,58,59,60,89,90,91, 113-116. 七.函数极限存在的充要条件: 1. Heine归并原则函数极限与数列极限的关系:
例 27 . 11 11 lim 3 0 −+ −+ → x x x 例 28 设极限 )( )( lim0 xg xf →xx 存在( 有限 ). 试证明: 若 0)(lim0 = → xg xx , 则 0)(lim0 = → xf xx . 例 29 已知 . 3 16 lim 2 3 B x Ax x = − −+ → 求 A 和 B. 参阅[4]P69. 例 30 . sin lim x x x→π π − 例 31 2 0 cos1 lim x x x − → . 例 32 . 3sin 5sin lim 0 x x x→ 例 33 . arcsin lim 0 x x x→ 例 34 ,1lim x x x k ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞→ 特别当 2 1 ,1 kk =−= 等. 例 35 .) 21 (lim 1 0 x x + x → 例 36 . 12 32 lim 3 5 x x x x − ∞→ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − Ex [1]P84 3⑴（提示： 利用式 , 111 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ xxx 而 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x 1 有界）, 4⑴; P97 7⑵⑷. [4]P79—82 49，50，52，54，56，58，59，60，89，90，91， 93—96，113—116. 七. 函数极限存在的充要条件： 1． Heine 归并原则——函数极限与数列极限的关系： 26