而电流强度可以表示为q-quI =T2元a令s=r×mu,s=rmu=amu.电流强度可以重写为qsA=πa2I =2Am磁矩qsu=2m量子情形下，角动量用算子表示，记作S对于电子，g=e<0.还要考虑电子的g因子geesgeμBSMe=ge2meh其中μB是Bohr磁子le|hμB2me因子9e的近似值为2,代入μe，并且把角动量S写为αesehMe02meme在磁场B中，电子的自旋部分的哈密顿量是ehH=-μe·Bα.B2me不含时情形[e|B令B=Bn,wo=m.1H=hwoon=woSn=won·S-hwon·g2H的本征值是土,hwo.基态是|n-)，激发态是|n+)：n士）是on的本征向量，当然也是H的本征向量.设B=Bez，H=hwoQz：设系统的初态cos[4(0)) =ei号 sing[b(0))的Bloch向量是r(O) = (sin cosΦ, sin sin Φ, cos)6
而电流强度可以表示为 𝐼 = 𝑞 𝑇 = 𝑞𝑣 2𝜋𝑎 令 𝑠 = 𝑟 × 𝑚𝑣, 𝑠 = 𝑟𝑚𝑣 = 𝑎𝑚𝑣. 电流强度可以重写为 𝐼 = 𝑞𝑠 2𝐴𝑚, 𝐴 = 𝜋𝑎2 磁矩 𝜇 = 𝑞𝑠 2𝑚 量子情形下, 角动量用算子表示, 记作 𝑆. 对于电子, 𝑞 = 𝑒 < 0. 还要考虑电子的 𝑔 因子 𝑔𝑒. 𝜇𝑒 = 𝑔𝑒 𝑒𝑆 2𝑚𝑒 = − 𝑔𝑒𝜇𝐵 ~ 𝑆 其中 𝜇𝐵 是 Bohr 磁子 𝜇𝐵 = |𝑒|~ 2𝑚𝑒 因子 𝑔𝑒 的近似值为 2, 代入 𝜇𝑒, 并且把角动量 𝑆 写为 ~ 2 𝜎, 𝜇𝑒 = 𝑒𝑆 𝑚𝑒 = 𝑒~ 2𝑚𝑒 𝜎 在磁场 𝐵 中, 电子的自旋部分的哈密顿量是 𝐻 = −𝜇𝑒 · 𝐵 = − 𝑒~ 2𝑚𝑒 𝜎 · 𝐵 不含时情形 令 𝐵 = 𝐵𝑛, 𝜔0 = |𝑒|𝐵 𝑚𝑒 , 𝐻 = 1 2 ~𝜔0𝑛 · 𝜎 = 1 2 ~𝜔0𝜎𝑛 = 𝜔0 𝑆𝑛 = 𝜔0 𝑛 · 𝑆. 𝐻 的本征值是 ± 1 2 ~𝜔0. 基态是 |𝑛−⟩, 激发态是 |𝑛+⟩. |𝑛±⟩ 是 𝜎𝑛 的本征向量, 当然也是 𝐻 的本征 向量. 设 𝐵 = 𝐵𝑒𝑧, 𝐻 = 1 2 ~𝜔0𝜎𝑧. 设系统的初态 |𝜓(0)⟩ = ⎛ ⎜⎜⎝ 𝑒 −𝑖 𝜑 2 cos 𝜃 2 𝑒 𝑖 𝜑 2 sin 𝜃 2 ⎞ ⎟⎟⎠ . |𝜓(0)⟩ 的 Bloch 向量是 𝑟(0) = (sin 𝜃 cos 𝜑, sin 𝜃 sin 𝜑, cos 𝜃). 6
求解Schrodinger方程Co(t)o0清ci(t)Ci(t)立即有cos%e((t)sin%或者，直接计算[(t) = U(t) ((O))从初态和末态的形式，可以构造出U（t）的矩阵，实际上，nwotU(t) = e-ig: = cos ot-io,sin22又可以用密度矩阵表示，ihtdp) = [H,p(),dtp(t) = U(t)p(0)Ut(t)(1 + r(0) · 0),p(0) :=考虑U(t)a,Ut(t),i=,y,z,可以得到ri(0)0 + r2(0)0 + rs(0)0 0))o[ri(0) cos wot - r2(O) sinwot+ou[ri(0)sin wot+r2(0)coswot+02 r3(0)于是获得Bloch向量的变换r(0) → r(t) = R(z,wot)r(0)力学量的期望值，《S)，(Sr) = sin cos(Φ+wot),(4)(Su) = sin g sin(+ wot),(S) = cos 0.与Bloch向量一样，绕z轴旋转.旋转的角速度是wo，与磁感应强度的大小B有关还可以注意到，在（4）中，S，的期望值不随时间变化，而S.和S的期望值是随时间变化的它们与H不对易7
求解 Schrödinger 方程 𝑖~ ⎛ ⎝ 𝑐˙0(𝑡) 𝑐˙1(𝑡) ⎞ ⎠ = 1 2 ~𝜔0 ⎛ ⎝ 1 0 0 −1 ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ 𝑐0(𝑡) 𝑐1(𝑡) ⎞ ⎠ . 立即有 |𝜓(𝑡)⟩ = ⎛ ⎝ cos 𝜃 2 𝑒 −𝑖 𝜑+𝜔0𝑡 2 sin 𝜃 2 𝑒 𝑖 𝜑+𝜔0𝑡 2 ⎞ ⎠ 或者, 直接计算 |𝜓(𝑡)⟩ = 𝑈(𝑡)|𝜓(0)⟩. 从初态和末态的形式, 可以构造出 𝑈(𝑡) 的矩阵. 实际上, 𝑈(𝑡) = 𝑒 −𝑖 𝜔0𝑡 2 𝜎𝑧 = ✶ cos 𝜔0𝑡 2 − 𝑖𝜎𝑧 sin 𝜔0𝑡 2 又可以用密度矩阵表示, 𝑖~ 𝑑𝜌(𝑡) 𝑑𝑡 = [𝐻, 𝜌(𝑡)], 𝜌(𝑡) = 𝑈(𝑡)𝜌(0)𝑈 † (𝑡). 𝜌(0) = 1 2 (✶ + 𝑟(0) · 𝜎). 考虑 𝑈(𝑡)𝜎𝑖𝑈 † (𝑡), 𝑖 = 𝑥, 𝑦, 𝑧, 可以得到 𝑟1(0)𝜎𝑥 + 𝑟2(0)𝜎𝑦 + 𝑟3(0)𝜎𝑧 𝑈(𝑡) −−−−→ 𝜎𝑥 [︀ 𝑟1(0) cos 𝜔0𝑡 − 𝑟2(0) sin 𝜔0𝑡 ]︀ +𝜎𝑦 [︀ 𝑟1(0) sin 𝜔0𝑡 + 𝑟2(0) cos 𝜔0𝑡 ]︀ +𝜎𝑧 𝑟3(0) 于是获得 Bloch 向量的变换, 𝑟(0) −→ 𝑟(𝑡) = 𝑅(𝑧, 𝜔0𝑡)𝑟(0). 力学量的期望值, ⟨𝑆⟩, ⟨𝑆𝑥⟩ = ~ 2 sin 𝜃 cos(𝜑 + 𝜔0𝑡), ⟨𝑆𝑦⟩ = ~ 2 sin 𝜃 sin(𝜑 + 𝜔0𝑡), ⟨𝑆𝑧⟩ = ~ 2 cos 𝜃. ⎫ ⎪⎪⎪⎪⎬ ⎪⎪⎪⎪⎭ (4) 与 Bloch 向量一样, 绕 𝑧 轴旋转. 旋转的角速度是 𝜔0, 与磁感应强度的大小 𝐵 有关. 还可以注意到, 在 (4) 中, 𝑆𝑧 的期望值不随时间变化, 而 𝑆𝑥 和 𝑆𝑦 的期望值是随时间变化的 —— 它们与 𝐻 不对易. 7