由引理知,这个方程组的系数矩阵 42a2¨a2|的行秩≥r 因而在它的行向量中可以找到个线性无关的向量,不妨设向量组 l1:21 rl Gua.d. 2 an)线性无关。 由上一节的性质5知,其延长向量组: %r1r+1,1 12,a2,…,a,2,m1+12,…,am2), 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 由引理知，这个方程组的系数矩阵 11 21 1 12 22 2 1 2 r r n n rn a a a a a a a a a 的行秩 r 因而在它的行向量中可以找到r个线性无关的向量，不妨设向量组 (a a a 11 21 1 , , , , r ) (a a a 12 22 2 , , , , r ) (a a a 1 2 r r rr , , , ) 由上一节的性质5知，其延长向量组： 线性无关。 (a a a a a 11 21 1 1,1 1 , , , , , , r r m + ) (a a a a a 12 22 2 1,2 2 , , , , , , , r r m + )
.r2 也线性无关。而它们恰好是矩阵A的r个列向量。由于它们线性 无关,故知A的列秩≥r, 同理可证:s≤r,因此有r=s。 由于矩阵的行秩等于列秩,因而统称为矩阵的秩。 下面揭示矩阵的秩与行列式的关系。先考虑n阶行列式。 定理342nxm矩阵A=1“42“a的行列式为零的 充要条件是A的秩小于n 证:充分性显然: 设A的秩=<n。用a1,a2,…,Cn表示A的列向量组。不妨设 a,a2…a是列向量组的极大无关组。 第三章线性方程组
第三章 线性方程组 (a a a a a 1 2 1, r r rr r r mr , , , , , , + ) 也线性无关。而它们恰好是矩阵A的r个列向量。由于它们线性 无关，故知A的列秩 s r , 同理可证： s r ，因此有r=s。 由于矩阵的行秩等于列秩，因而统称为矩阵的秩。 下面揭示矩阵的秩与行列式的关系。先考虑n阶行列式。 定理3.4.2 n n 矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a = 的行列式为零的 充要条件是A的秩小于n。 证：充分性显然： 设A的秩=r<n。用 1 2 , , , n 表示A的列向量组。不妨设 1 2 , , , r a 是列向量组的极大无关组