R(t, t)=ElX(tX(t,)] ∫x3(5x,x2) 记 ∫」xx2(xx1,x2)z2=B(z) 三、宽平稳过程 定义2设随机过程{X(),t∈T},如果它满足 (1)X()是二阶矩过程; (2)均值函数为常数,即m(t)=E[X(t)=m (3)相关函数R(t12t2)仅依赖z=t1-t2,即 R(12t2)=EX(t1)X(t2)=B(r) 则称()为宽平稳过程,简称平稳过程首页
( , ) [ ( ) ( )] 1 2 1 2 R t t = E X t X t 1 2 1 2 1 2 1 2 x x f (t ,t ；x , x )dx dx + − + − = 1 2 1 2 1 2 x x f (；x , x )dx dx + − + − = = B( ) 记 三、宽平稳过程 定义2 设随机过程{X(t) ，t T }， 如果它满足： （1） X(t) 是二阶矩过程； （2）均值函数为常数，即 m(t) = E[X (t)] = m （3）相关函数 ( , ) 1 2 R t t 仅依赖 1 2 = t −t ，即 ( , ) [ ( ) ( )] 1 2 1 2 R t t = E X t X t = B( ) 则称X (t) 为宽平稳过程， 简称 平稳过程 首页
当为整数集或{mA,m=O.1.2,}时 则称X()为平稳时间序列 注1严平稳过程不一定是宽平稳过程 因为严平稳过程不一定是二阶矩过程 若严平稳过程存在二阶矩,则它一定是宽平稳过程 注2宽平稳过程也不一定是严平稳过程 因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推 移而改变,这当然不能保证其有穷维分布不随时间 而推移 注3利用均值函数与协方差函数也可讨论随机过程 的平稳性。 首页
当T为整数集 或 注2 注1 严平稳过程不一定是宽平稳过程。 平稳时间序列 因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。 若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。 {nt ，n=0,1,2,…}时 则称 X(t) 为 宽平稳过程也不一定是严平稳过程。 因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推 移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间 而推移。 注3 利用均值函数与协方差函数也可讨论随机过程 的平稳性。 首页
因为均值函数m(t)=m 协方差函数 K(t+t,t)=covX(t+t), X(t) =E{[X(t+z)-m(t+z)X(t)-m()]} ELX(t+rX(o-mElX(OJ-mEIX(t+tl+m =R(+2,t)-m=B(r)-m=K() 即表示协方差函数仅依赖于z,而与t无关,与相关 函数相同。 首页
因为 均值函数 协方差函数 即表示协方差函数仅依赖于 ，而与t无关，与相关 函数相同。 m(t) = m K(t + ,t ) = cov[X (t + ), X (t)] = E{[X (t + ) − m(t + )][X (t) − m(t)]} 2 = E{[X(t + )X(t)]−mE[X(t)]− mE[X(t + )]+ m 2 = R(t +,t ) −m 2 = B( ) − m K( ) = 首页
例1设{X(),t∈7}是相互独立同分布的随机变量序列, 其中T=0,±1,±2,…,且均值和方差为 E[XY()=0D[X()=a2 试讨论随机变量序列X(1)的平稳性。 解因为EX()=0 R(+z,)=E[X(+)X()=0,当z=0 0,当≠0 故X(t)是一个平稳时间序列 注在科学和工程中,例中的过程称为“白噪 声”,它是实际中最常用的噪声模型。 首页
例1 试讨论随机变量序列 的平稳性。 设{ X(t) ,t T }是相互独立同分布的随机变量序列， 其中T = 0，1， 2，， 且均值和方差为 E[X (t)] = 0 2 D[X(t)] = X (t) 解 因为 E[X (t)] = 0 R(t + ,t ) = E[X (t + )X (t)] = = 0 0 0 2 ，当 ，当 故 X(t) 是一个平稳时间序列。 注 在科学和工程中，例1中的过程称为“白噪 声”，它是实际中最常用的噪声模型。 首页
例2设随机序列{X(t)=sn2mtm,t∈T} 其中7=1,2,…}7是在,1上服从均匀分 布的随机变量, 试讨论随机序列X()的平稳性。 解的密度函数为 0<x<1 f(x) 0,其 所以 首页 ELY(t]= sin 2rtxdx=0 R(t+t,t)=[sin 2r(t +r)xsin 2/txdx=2 当z=0 0,当z≠0 故X(t)是平稳随机序列。 注例2中的过程是宽平稳的,但不是严平稳的 返回
试讨论随机序列 的平稳性。 例2 是在[0，1]上服从均匀分 布的随机变量， 其中T={1，2，…} X (t) 解 设随机序列{ X (t) = sin 2t ，t T }， 的密度函数为 = 0, 其它 1, 0 1 ( ) x f x 所以 [ ( )] sin 2 0 1 0 = = E X t txdx R(t + ,t ) sin 2(t )xsin 2txdx 1 0 = + = = 0 0 0 2 1 ，当 ，当 故 X(t) 是平稳随机序列。 注 例2中的过程是宽平稳的，但不是严平稳的 返回 首页