分布函数的性质 11 分布函数F(x)=P(X≤x)具有以下性质： 口F(x)是单调不减函数。 口0≤F(x)≤1且 F(-0o)=lim F(x)=0 X→-00 F(+oo)=lim F(x)=1 口F(x)是右连续的，即 lim,F(x)=F(xo) x→x0 反之，任一具有以上三性质的函数必是某随机变量的 分布函数
分布函数的性质 分布函数𝑭 𝒙 = 𝑷(𝑿 ≤ 𝒙)具有以下性质： 𝑭(𝒙)是单调不减函数。 𝟎 ≤ 𝑭 𝒙 ≤ 𝟏且 𝑭 −∞ = lim 𝒙→−∞ 𝑭 𝒙 = 𝟎 𝑭 +∞ = lim 𝒙→∞ 𝑭 𝒙 = 𝟏 𝑭(𝒙)是右连续的，即 lim 𝒙→𝒙𝟎 + 𝑭 𝒙 = 𝑭 𝒙𝟎 反之，任一具有以上三性质的函数必是某随机变量的 分布函数。 11
例 12 口设随机变量X的分布函数为 F(x)=A+B arctgx(-∞<x<+∞) 试求常数A、B. 解：由分布函数的性质，我们有 0=lim F(x)=lim (A+Barctg x)=A- π2元 B X→一00 X→一00 1=limF(x)=i(A+B arctgx)=A+ B X→十0∞ X→+00 解方程组得：A=B=日
例 设随机变量𝑿的分布函数为 𝑭 𝒙 = 𝑨 + 𝑩 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙 −∞ < 𝒙 < +∞ 试求常数𝑨、𝑩. 解：由分布函数的性质，我们有 𝟎 = lim 𝒙→−∞ 𝑭 𝒙 = lim 𝒙→−∞ 𝑨 + 𝑩 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙 = 𝑨 − 𝝅 𝟐 𝑩 𝟏 = lim 𝒙→+∞ 𝑭 𝒙 = lim 𝒙→+∞ 𝑨 + 𝑩 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙 = 𝑨 + 𝝅 𝟐 𝑩 解方程组得：𝑨 = 𝟏 𝟐 , 𝑩 = 𝟏 𝝅 12
连续型随机变量 13 元件寿命，到达时刻等随机变量的取值可以是 某个区间内的一切实数，这样的随机变量属于 连续型随机变量
连续型随机变量 元件寿命，到达时刻等随机变量的取值可以是 某个区间内的一切实数，这样的随机变量属于 连续型随机变量。 13
连续型随机变量定义 14 设X为随机变量，F(x)为X的分布函数，若存在 非负函数p(x),使对于任意实数x有 x F( 0= p(t)dt 则称X为连续型随机变量，其中卫(x)称为X的概率 密度函数，简称密度函数。 口p(x)基本性质 口对于任意的X,卫(x)≥0 o∫ep(x)dx=1
连续型随机变量定义 设𝑿为随机变量，𝑭(𝒙)为𝑿的分布函数，若存在 非负函数𝒑 𝒙 ,使对于任意实数𝒙有 𝑭 𝒙 = න −∞ 𝒙 𝒑(𝒕) 𝒅𝒕 则称𝑿为连续型随机变量，其中𝒑(𝒙)称为𝑿的概率 密度函数，简称密度函数。 𝒑(𝒙)基本性质 对于任意的𝒙,𝒑 𝒙 ≥ 𝟎 ∞− ∞ 𝒑 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟏 14
连续型rM.F(x),卫(x)性质 15 口(1)F(x)是连续函数 证：p(x)可积，则F(x)=∫p(x)dx连续. 口(2)P(x1<X≤Xz)=F(x2)-F(x)=p(x)dx 证：P(x1<X≤X2)=F(x2)-F(x1)= p(x)dx-p(x)dx=p(x)dx
连续型r.v. 𝑭 𝒙 , 𝒑(𝒙)性质 (1) 𝑭(𝒙)是连续函数 证：𝒑(𝒙)可积，则𝑭 𝒙 = ∞− 𝒙 𝒑(𝒙)𝒅𝒙连续. (2)𝑷 𝒙𝟏 < 𝑿 ≤ 𝑿𝟐 = 𝑭 𝒙𝟐 − 𝑭 𝒙𝟏 = �𝒙� 𝒙𝟐 𝒑 𝒙 𝒅𝒙 证： 𝑷 𝒙𝟏 < 𝑿 ≤ 𝑿𝟐 = 𝑭 𝒙𝟐 − 𝑭 𝒙𝟏 = ∞− ∞− − �𝒅� �� �� �𝒙� �𝒙� = �𝒅� �� �� �𝒙� 𝒙𝟐 𝒑 𝒙 𝒅𝒙 15