北京交通大学：《数字信号处理》课程教学课件（PPT讲稿）第4章 IIR数字滤波器设计 4.1 模拟低通滤波器设计

Butterworth模拟低通滤波器步骤1：确定模拟滤波器的阶数N[H(jo)1+(0 /0.)2N已知给定的条件(のp,A,)、(のs,A)A(o)(0s,As)根据A(0)=-101g|H(jo)=101g[1+( / 0.)2N ]A(p,Ap)、(s,A)代入A(の)可得Ag(100.100N0p0s21g(, /,)

步骤1：确定模拟滤波器的阶数N 0.1 0.1 10 1 lg( ) 10 1 2lg( / ) s p A A s p N ω ω − −  根据 wp ws A(w) w 0 As Ap (wp ,Ap ) (ws ,As ) 2 10lg[1 ( / ) ] c N = + w w 2 A H ( ) 10lg (j ) w w = − 2 2 c 1 ( j ) 1 ( / ) H w N w w = + 已知给定的条件(wp ,Ap )、(ws ,As ) Butterworth模拟低通滤波器 (wp ,Ap )、 (ws ,As )代入A(w)可得

Butterworth模拟低通滤波器步骤2：确定模拟滤波器的3dB截频10[H(jo)=11+(0 / 0.)2N将(のp,Ap)或(s,A)以及N的取值带入，得到：Wp0≤w.≤(100.14, -1)2N(100.14, -1)2NA(0)A(0)A(0)AAAApApAp000OpQs00OpOsOpOsの由通带边界点の决定の由阻带边界点の决定の由过渡带区域点决定阻带有裕量通带有裕量通阻带均有裕量

步骤2：确定模拟滤波器的3dB截频 wc p s p s 1 1 c 0.1 0.1 2 2 (10 1) (10 1) A N N A ω ω   ω − − A(w) w 0 Ap As wp ws A(w) w 0 Ap As wp ws A(w) w 0 Ap As wp ws wc由通带边界点wp决定 wc由阻带边界点ws决定 wc由过渡带区域点决定 Butterworth模拟低通滤波器 2 2 c 1 ( j ) 1 ( / ) H w N w w = + 将(wp ,Ap )或 (ws ,As )以及N的取值带入，得到： 阻带有裕量 通带有裕量 通阻带均有裕量

Butterworth模拟低通滤波器步骤3：确定模拟滤波器的系统函数极点(H(jo) = I+(0 / 0 )利用实系数模拟系统频率响应的共轭对称性，1[(H(jo) = HG0)H'(G) = H(o)H(-jo) = H(s)H(-s)l=m= 1+(-js/ 0.)w求出H(s)H(-s)的极点如下：Im(s)Im(s)2k-1j元(2Nk = 1.2.....2NSk =0eReisRe(s)00取位于s左半平面的极点为H(s)的极点：j元(1+ 2k-)2Ak =1,2.....NSk =0eN为偶数(N=2)N为奇数（N=3)

步骤3：确定模拟滤波器的系统函数极点 1 2 1 jπ( ) 2 2 c e ; 1,2,.,2 k N k s k N w − + = = 利用实系数模拟系统频率响应的共轭对称性， 求出H(s)H(−s)的极点如下： s ω H ω H ω H ω H ω H ω H s H s j * 2 (j ) (j ) (j ) (j ) ( j ) ( ) ( )| = = − = − = Butterworth模拟低通滤波器 1 2 1 jπ( ) 2 2 c e ; 1,2,., k N k s k N w − + = = 取位于s左半平面的极点为H(s)的极点： 0 Re{s} Im{s} 0 Re{s} Im{s} N为偶数（N=2） N为奇数（N=3） 2 2 c 1 ( j ) 1 ( / ) H w N w w = + 2 c 1 1 ( j / ) N s = + − w

Butterworth模拟低通滤波器步骤4：得到模拟低通滤波器的系统函数H（s）H(s)的极点为：极点分布在以の为半径的圆上元2Ak = 1,2..... NSk =0.e系统函数H(s)为：N-SkH(s)=II全极点型系统k=IS-Sk

步骤4：得到模拟低通滤波器的系统函数H (s) Butterworth模拟低通滤波器 1 2 1 jπ( ) 2 2 c e ; 1,2,., k N k s k N w − + = = H(s)的极点为： 1 ( ) N k k k s H s = s s − = − 系统函数H(s)为： 全极点型系统 极点分布在以wc为半径的圆上

[例]设计一个满足下列指标BW型模拟低通滤波器0,=0.1元 rad/s, 0,=0.4元 rad/s, A,≤1dB, A≥10dB。解：（1）计算模拟低通滤波器的阶数N和3dB截频の10lg(100.1A取N=2N≥=1.282lg(0. / 0.)将N=2带入满足通带边界频率の.的方程0Op0=0.4404 rad/s0.(10 0.1 1)/4(100.14p-1)2N(100.14-1)2A

[例] 设计一个满足下列指标BW型模拟低通滤波器 wp=0.1π rad/s, ws=0.4π rad/s, Ap ≤1dB, As ≥10dB。 1.28 2lg( / ) ) 10 1 10 1 lg( s p 0.1 0.1 p s = − −  w w A A N 将N=2带入满足通带边界频率wp的方程 0.4404 (10 1) 0.1 1/ 4 p c = − = w w 解：(1) 计算模拟低通滤波器的阶数N和3dB截频wc rad/s p s p s 1 1 c 0.1 0.1 2 2 (10 1) (10 1) A N N A ω ω   ω − − 取N=2