定理3:虽然到期时间延长,债券价格波动幅度增加, 但增加的速度递减。 n+2年与n+1年的差异小于n+1年与n年之间的差异 证明:分别观察n年期、n+1年期和n+2年期债券投资者」 最后1年、2年和3年现金流的现值「 F·k F △PV (1+1)”(1+i) Fk F F △P n,n+1 十 (1+)(1+1)1(1+) F·kF·k F·k F △P n.n+2 (1+)”(1+)y(1+1)+2(4+) 16
16 ▪ 定理3：虽然到期时间延长，债券价格波动幅度增加， 但增加的速度递减。 ➢ n＋2年与n+1年的差异小于n＋1年与n年之间的差异 (1 ) (1 ) n n n F k F PV i i = + + + , 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) n n n n n F k F k F PV i i i + + + = + + + + + , 2 1 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) n n n n n n F k F k F k F PV i i i i + + + + = + + + + + + + 证明：分别观察n年期、n+1年期和n＋2年期债券投资者 最后1年、2年和3年现金流的现值
由于 F·k F F △P,-△P H,n+1 +1 (1+i) +1 十 (1+i) F·k F F △PVnn+2-△PV +1(1+1)"+2(1+i)”+21(1+i) 则有 △PVnn2-△Pn △Pvn+1-△PVn1+i 原因:本金是最大数量的现金流,它受市场利率的影响最大。 当期限增加时,本金不断后移,其现值占总现值的比重变小, 重要性程度下降。所以,债券价格受利率影响虽然加大,但增 速递减。 17
17 , 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) n n n n n n F k F F PV PV i i i + + + − = + − + + + , 2 , 1 2 2 1 (1 ) (1 ) (1 ) n n n n n n n F k F F PV PV i i i + + + + + − = + − + + + 由于 则有 , 2 , 1 , 1 1 1 1 n n n n n n n PV PV PV PV i + + + − = − + 原因：本金是最大数量的现金流，它受市场利率的影响最大。 当期限增加时，本金不断后移，其现值占总现值的比重变小， 重要性程度下降。所以，债券价格受利率影响虽然加大，但增 速递减
定理4:对于既定期限的债券,由利率下降导致的债券价 格上升的幅度,大于同等幅度的利率上升导致的债券价 格下降的幅度。 证明:任取时刻现金流C的折现值,只要证明每个时刻 的现金流都具有上述性质,则价格也具有这个性质 令=[ (1+i-△)(1+)(1+1)(1+)y(1+i+△i)1(1+)y 再令1+i=a l1=(-)-1,d=1 C a+△i 由于 a+M122,a a-△ia+△i
▪ 定理4：对于既定期限的债券，由利率下降导致的债券价 格上升的幅度，大于同等幅度的利率上升导致的债券价 格下降的幅度。 证明：任取t时刻现金流Ct的折现值，只要证明每个时刻 的现金流都具有上述性质，则价格也具有这个性质。 [ ] , [ ] (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 ( ) 1, 1 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) t t t t t t t t t t t t t t t t t t C C C C C C u d i i i i i i i i i a a a u d a i a i a a a a a i a i a i a i = − = − + − + + + + + + + = = − = − − + + − + − + 令 再令 由于