中国科学技术大学：《计算方法》课程教学课件（PPT讲稿）第2章 数值微分和数值积分

中图科亨技术大学数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 插值型 用插值函数的积分，作为数值积分 ,n-L.(e-26wa-2〔a/) 代数精度 由L3 rnge插值的误差表达式，R)=C1a,),有 (n+1)！ n-)-aa-a 0.(xh 可以看出，至少n阶代数精度 .f(m+D(x)=0,f(x)=x%,ksn

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 用插值函数的积分，作为数值积分 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 i n i b a i i b a n i i b a n n I f L x dx l x f x dx  l x dx f x     = =       = = = i a 代数精度 由Lagrange插值的误差表达式， ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( 1) x n f R x n n n   + = + ，有 x dx n f I f I f R x dx b a n n b a n  n  + − = = + ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)   可以看出，至少n 阶代数精度 f x f x x k n n k = =  + ( ) 0, ( ) , ( 1)  插值型

中图科亨技术大学数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 前面得到的系数是最好的吗？ Vandermonde 使用尽可能高的代数精度 行列式 己知1n(x)=I(x),i=0,.,m求系数 所以，要存在唯一，m=n,确定个n十1阶的方程组 b-a 1 b2-a2 Xo X a 2 .: x n+1

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS                 + − − − =                             + + 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 0 0 1 0 1 n b a b a b a a a a x x x x x x n n n n n n n n          Vandermonde 行列式 使用尽可能高的代数精度 I x I x i m i i n ( ) = ( ), = 0,  ,   n i i a 已知 求系数 =0 所以，要存在唯一，m＝n，确定一个n＋1 阶的方程组 前面得到的系数是最好的吗？

中图科亨技术大学数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 所以，m=n时存在唯一，且至少n阶代数精度。与节点 的选取有关。 若数值积分至少n阶代数精度，则系数唯 a=∫心l,(x,i=0,n 误差 )-aa-h

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 所以，m=n时存在唯一，且至少n阶代数精度。与节点 的选取有关。 若数值积分至少n阶代数精度，则系数唯一 ( ) , 0, , b i i a a l x dx i n = =  误差 x dx n f I f I f R x dx b a n n b a n  n  + − = = + ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)  

中图科亨技术大学数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 例： 点数值积分 0阶代数精度 I(f)=f(a)(b-a) )-fX6-a) 1阶代数精度

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 一点数值积分 )( ) 2 ( ) ( ( ) ( )( ) 0 0 b a a b I f f I f f a b a − + = = − 0阶代数精度 1阶代数精度 例：

中图 科亨技术大学数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS Newton-Cote's积分 若节点可以自由选取，则，一个自然的办法就是取等距节点。 对区间做等距分割。 该数值积分称为Newton-Cote's积分

数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS Newton-Cote’s 积分 若节点可以自由选取，则，一个自然的办法就是取等距节点。 对区间做等距分割。 该数值积分称为Newton-Cote’s积分