中图科亨技术大学数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 插值型数值微分 插值是建立逼近函数的手段，用以研究原函数的性质。 因此，可以用插值函数的导数近似为原函数的导数 f(x)≈L(x) 误差 用Taylor展开分析
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 插值是建立逼近函数的手段，用以研究原函数的性质。 因此，可以用插值函数的导数近似为原函数的导数 ( ) ( ) ( ) ( ) f x L x k n k 误差 插值型数值微分 用Taylor展开分析
中图科亨技术大学数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 例： 给定点列{《x,f(x》片。且x2-x=x-x。=h，求 f'(x2),f'(x),f'(x) 解： 4)=任-次c)+gc)+任2次) 2h2 -h2 2h2 =)-)《-》 2h2 -h2 2h2
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 给定点列 2 0 ( , ( )) i i i= x f x 且 x2 − x1 = x1 − x0 = h ，求 '( ), '( ), '( ) 2 1 0 f x f x f x 解： ( ) 2 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ( )( ) ( ) 2 2 0 1 2 1 0 2 2 0 1 2 2 f x h x x x x f x h x x x x f x h x x x x L x − − + − − − + − − = ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ' ( ) 2 2 0 1 2 1 0 2 2 0 1 2 2 f x h x x x x f x h x x x x f x h x x x x L x − + − + − − + − + − + − = 例：
中图科亨技术大学数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS f'(x)≈L'2(x)= )+)-》+s/图 f'(x)≈L'2(x)= -f)+c》-g/0 f'(x2)≈L'2(x2)= )4x+3xgfe ∫"(x)≈L"2(x)= Ux）2x)+r)-ga】 1)))-2f+e》-5传 )c)-(c)-21)+1c)+w)-名》 Taylor)展开分析，可以知道，它们都是Oh2)称为三点公式
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ( ) 2 0 2 0 0 1 2 1 '( ) ' ( ) 3 ( ) 4 ( ) ( ) '''( ) 2 3 h f x L x f x f x f x f h = − + − + ( ) 2 1 2 1 0 2 1 '( ) ' ( ) ( ) ( ) '''( ) 2 6 h f x L x f x f x f h = − + − ( ) 2 2 2 2 0 1 2 1 '( ) ' ( ) ( ) 4 ( ) 3 ( ) '''( ) 2 3 h f x L x f x f x f x f h = − + + Taylor展开分析，可以知道，它们都是 ( ) 2 O h 称为三点公式 ( ) 2 (4) 0 2 0 0 1 2 1 2 2 1 ''( ) '' ( ) ( ) 2 ( ) ( ) [ '''( ) ( )] 6 h f x L x f x f x f x hf f h = − + + − + ( ) 2 (4) 1 1 2 0 1 2 2 1 ''( ) '' ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 12 h f x L x f x f x f x f h = − + − ( ) 2 (4) 2 2 2 0 1 2 1 2 2 1 ''( ) '' ( ) ( ) 2 ( ) ( ) [ '''( ) ( )] 6 h f x L x f x f x f x hf f h = − + + −
中图科亨技术大学数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 数值积分 关于积分，有Newton-Leibniz公式 "f(x)dx=F(6)-F(a) 但是，在很多情况下，还是要数值积分： 1、函数有离散数据组成 2、F)求不出 3、Fx)非常复杂 定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合 1.(f)= 称为积分系数，与x)无关，与积分区间和积分点有关
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 数值积分 f (x)dx F(b) F(a) b a = − 关于积分，有Newton-Leibniz 公式 但是，在很多情况下，还是要数值积分： 1、函数有离散数据组成 2、F(x)求不出 3、F(x)非常复杂 定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合 ( ) ( ) 0 i n i I n f ai f x = = 称为积分系数，与f(x)无关，与积分区间和积分点有关
中图科亨技术大学数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 两个问题： 1、系数如何选取，即选取原则 2、若节点可以自由选取，取什么点好？ 代数精度 ,(f)=∑a,f(x)为数值积分，1(f)=心fx)为积分，则称数值 积分有k阶代数精度是指：1n(x)=I(x),i=0,.,k;n(x+)≠I(x+) 对任意次数不高于k次的多项式fx), 数值积分没有误差
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ( ) ( ) 0 i n i n i I f a f x = = 为数值积分， = b a I( f ) f (x)dx 为积分，则称数值 积分有k阶代数精度是指： ( ) ( ), 0, , ; ( ) ( ) +1 +1 = = k k n i i n I x I x i k I x I x 两个问题： 1、系数ai如何选取，即选取原则 2、若节点可以自由选取，取什么点好？ 代数精度 对任意次数不高于k次的多项式f(x)， 数值积分没有误差