中图科亨技术大学数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 第6章解线性方程组的迭代法 直接法得到的解是理论上准确的，但是我们可以看得出， 它们的计算量都是数量级，存储量为量级，这在n比较小的 时候还比较合适(<1000,1G5,15秒，8M),但是对于现在的 很多实际问题，往往要我们求解很大的的矩阵，而且这些矩阵 往往是稀疏矩阵就是这些矩阵含有大量的元素。对于这类的矩 阵，在用直接法时就会耗费大量的时间和存储单元。因此我们 有必要引入一类新的方法：迭代法。 迭代法具有的特点是速度快。与非线性方程的迭代方法一 样，需要我们构造一个等价的方程，从而构造一个收敛序列， 序列的极限值就是方程组的根
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 第6章 解线性方程组的迭代法 直接法得到的解是理论上准确的，但是我们可以看得出， 它们的计算量都是n 3数量级，存储量为n 2量级，这在n比较小的 时候还比较合适（n<1000 , 1G/s , 15秒 , 8M），但是对于现在的 很多实际问题，往往要我们求解很大的n的矩阵，而且这些矩阵 往往是稀疏矩阵就是这些矩阵含有大量的0元素。对于这类的矩 阵，在用直接法时就会耗费大量的时间和存储单元。因此我们 有必要引入一类新的方法：迭代法。 迭代法具有的特点是速度快。与非线性方程的迭代方法一 样，需要我们构造一个等价的方程，从而构造一个收敛序列， 序列的极限值就是方程组的根
中图科亨技术大学数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 对方程组Ax=b做等价变换x=Gx+g 如：令A=M-N,则 Ax=b→(M-N)x=b→=b+Nx→x=M1Nx+Mb 则，我们可以构造序列x+)=Gx)+g 若x)〉x*→x*=Gx*+g→Ax*=b 同时：xk+-x*=Gx)-Gx*=G(x)-x*) =.=G+1(x0)-X*) 所以，序列收敛台G→0 与初值的选取无关
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 对方程组 Ax = b 做等价变换 x = Gx + g Ax b M N x b Mx b Nx x M Nx M b 1 1 ( ) − − = − = = + = + 如：令 A= M − N ，则 则，我们可以构造序列 x G x g k k = + ( +1) ( ) 若 * ( ) x x k → x* = G x*+g Ax* = b 同时： * * ( *) ( 1) ( ) ( ) x x Gx Gx G x x k k k − = − = − + ( *) 1 (0) G x x k = = − + → 0 k 所以，序列收敛 G 与初值的选取无关
中图科李技术大学数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 定义： (收敛矩阵)G→0 定理：G→0台p(G)<1 矩阵G为收敛矩阵，当且仅当G的谱半径<1 由p(G)<G知，若有某种范数G。<1则，迭代收敛
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 定义：（收敛矩阵） → 0 k G 定理： 矩阵G为收敛矩阵，当且仅当G的谱半径<1 G →0 (G) 1 k 由 (G) G 知，若有某种范数 1 p G 则，迭代收敛
中固科亨技术大学数学案 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 6.1 Jacobii迭代 a11X1+.+a1mXn=b1 am+amnxn=bn (dp2++duntB) -1 → x2=(a21X1+a23x3+.+a1nxn-b2) a22 x=。(ax+.+ana-x-b) ann
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 6.1 Jacobi迭代 + + = + + = n nn n n n n a x a x b a x a x b 1 1 11 1 1 1 + + − − = + + + − − = + + − − = − − ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 1 1 1 1 2 1 1 2 3 3 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x b a x
中图科亨技术大学数学系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS x=二a,x++ax-b) 1 =二（ax+ax++a-6) X2 022 () 格式很简单： w=a,x+a,g-b) ai j=l =i+1
数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS + + − − = + + + − − = + + − − = − − + + + ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 1 ( ) 1 1 ( 1) 2 ( ) 1 ( ) 2 3 3 ( ) 2 1 1 2 2 ( 1) 2 1 ( ) 1 ( ) 1 2 2 1 1 ( 1) 1 n k n n n k n n n k n k n n k k k k n n k k a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x b a x 格式很简单： ( ) 1 1 ( ) 1 1 ( 1) ( ) i n j i k i j j i j k i j j i i k i a x a x b a x + − − = = + − = +