二、曲面的面积 设光滑曲面S:z=f(x,y),(x,y)∈D 则面积可看成曲面上各点M(x,y,2)s2M 处小切平面的面积dA无限积累而成 设它在D上的投影为则 do, do=cos rd A coSr=T 1+f(x,y)+fy(x, y) d dA=1+/2(xy)+/2(x)y)da mdo (称为面积元素) Q团p
二、曲面的面积 x y z S o 设光滑曲面 则面积A可看成曲面上各点 M (x, y,z) 处小切平面的面积dA无限积累而成. 设它在D上的投影为 d, d = cos d A 1 ( , ) ( , ) 1 cos 2 2 f x y f x y + x + y = d 1 ( , ) ( , ) d 2 2 A f x y f x y = + x + y (称为面积元素) 则 M d A z d n M n d
故有曲面面积公式 1+/2(xy)+f2(x,y)d D 即=11+( O2、 022dx d D ax 若光滑曲面方程为x=g(y,z),(y)∈Dyz,则有 ax OX A 1+( y2 Q团p
故有曲面面积公式 1 ( , ) ( , ) d 2 2 = + + D x y A f x y f x y x y y z x z A D 1 ( ) ( ) d d 2 2 + = + 若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , Dy z x = g y z y z 则有 Dy z 即
若光滑曲面方程为y=h(,x),(z,x)∈D2x,则有 A 1+( ay2,ay dzdx 2x 02 ax 若光滑曲面方程为隐式F(x,y,z)=0,且F2≠0,则 az F az x F2 -y,(x,y)∈D3 F.-+ Edxd y F Q团p
z x x y z y A 1 ( ) ( ) d d 2 2 + = + 若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , Dz x y = h z x z x 若光滑曲面方程为隐式 则 则有 x y z y z x x y D F F y z F F x z = − = − , , ( , ) A = Dx y Dz x z x y z F F F F 2 2 2 + + 且 dxd y
例3计算双曲抛物面z=x被柱面x2+y2=R2所截 出的面积A 解:曲面在xoy面上投影为D:x2+y2≤R2,则 A 1+zx+zy dxdy 1+x+vxd D d、1+r2rdr 2 z(1+R2)2-1) Q团p
例3.计算双曲抛物面 被柱面 所截 解: 曲面在xoy面上投影为 : , 2 2 2 D x + y R 则 A z z x y D x y 1 d d 2 2 = + + x y x y D 1 d d 2 2 = + + r r r R d 1 d 0 2 20 = + [(1 ) 1)] 32 23 2 = + R − 出的面积A
例4.计算半径为a的球的表面积 解:方法1利用球坐标方程 asin od0 设球面方程为r=a d e 球面面积元素为 asin gp da=a sindone ad 22z de sin o d g 0 4a 方法2利用直角坐标方程(见书P109) Q团p
例4. 计算半径为a的球的表面积. 解: 设球面方程为 r = a 球面面积元素为 d sin d d 2 A = a = 0 2 0 2 A a d sin d 2 = 4 a asin ad 方法2 利用直角坐标方程.(见书P109) 方法1 利用球坐标方程. a x y z o d asind