1.3 Ritz-Rayleigh Method 我们把自己限制在DA的一个有限维子集En上求F的最大值 max F(u)< max F(u)= F(a) 我们的目标是精确地计算左边,得到a=F(u)的一个下界。同时取得E最 大值的函数也是u的一个逼近。我们记P为到En上的投影算子。如果U∈ En,利用Pn的对称性,我们有 F(v)=<f,v>+<t,f>-<A,>=<f,PnU>+<Pn,f>-<At,P> =<Pf,u>+<U, Pnf >-< PnAu,U> 在En上的算子PnA是对称正定的,当A是对称正定的时候。上述的最大泛 函对应n维的方程: P Au=Pnf,un∈En 同样我们可以证明:在所有E中的函数,方程的唯一解最大化F() F(un)=max(< Pnf,v>+<U, Pnf>-<PnAu, u>) ∈En 最大化泛函的过程精确等价于求解方程 Pn Aun= Pnf 但是这个方程也可以看成方程 Au=f 到空间En上的投影。即使A是非正定的,或非线性的,也可以这样做。 在这个意义上我们称 P Au=Pnf为 Galerkin方程 这个向量方程可以转化成代数方程。设v1,,tn.为En的基,那么 解un可以写成 5
1.3 Ritz-Rayleigh Method ·rgC3DAkf8Enþ¦F: max v∈En F(v) ≤ max v∈DA F(v) = F(u); ·8I´°(/O>§α = F(u)e."ÓEn ¼ê´u%C"·PPnEnþÝKf"XJv ∈ En§|^Pné¡5§·k F(v) =< f, v > + < v, f > − < Av, v >=< f, Pnv > + < Pnv, f > − < Av, Pnv > =< Pnf, v > + < v, Pnf > − < PnAv, v > 3EnþfPnA´é¡½§A´é¡½ÿ"þã ¼éAn§µ PnAun = Pnf, un ∈ En Ó·±y²µ3¤kEn¥¼ê§§)zF(v): F(un) = max v∈En (< Pnf, v > + < v, Pnf > − < PnAv, v >) z¼L§°( du¦)§ PnAun = Pnf. ´ù§±w¤§ Au = f mEnþÝK"=¦A´½§½5§±ù" 3ù¿Âþ·¡PnAun = PnfGalerkin§" ùþ§±=z¤ê§"v1, . . . , vnEnħ@o )un±¤ un = Xn k=1 akvk 5
在算子方程两边关于v取内积 f, 或 < Au ∫,v 从这个方程可以唯一求解出系数ak。这个方程我们称为 Ritz-Rayleigh或 Galerkin方 程。如果我们要求泛函的极值,还需要把解代入泛函。但是注意到 <Pnf, un>=<f, un >= Pn Aun, un >= Aun,un> un, Aun >= un, Pn Aun >= un, f 若逼近解满足 <f,>=<,f>=<A,> 我们称为满足互易原理。观察到精确解总满足互易原理。而Ritz- rayleigh逼 近也满足互易原理。因此 我们总有 ≥F(un)=<f,tn> Remark.4如果我们选择的基是关于A正交的,也就是 AUk, U, > dK 那么 ∑< 这也暗示着精确解可以写成 f,U;>
3f§ü>'uvjSȧ < Aun, vj >=< f, vj > ½ Xn k=1 ak < Avk, vj >=< f, vj >, j = 1, . . . , n lù§±¦)ÑXêak"ù§·¡Ritz-Rayleigh½Galerkin §"XJ·¦¼4§Ir)\¼"´5¿ < Pnf, un > =< f, un >=< PnAun, un >=< Aun, un > =< un, Aun >=< un, PnAun >=< un, f > e%C)u˜÷v < f, u >˜ =< u, f > ˜ =< Au, ˜ u >˜ ·¡÷vp´n"* °()o÷vp´n" Ritz-Rayleigh% C÷vp´n"Ïd F(un) =< f, un > + < un, f > − < Aun, un >=< f, un > ·ok α ≥ F(un) =< f, un > Remark. 4 XJ·ÀJÄ´'uA§Ò´ < Avk, vj >= δkj @o aj =< f, vj >, un = Xn j=1 < f, vj > vj ùV«X°()±¤ u = X∞ j=1 < f, vj > vj . 6