(10)解法1由u(3-5) (=sx-5)=-5k“at 解法2由相似性质 aSS 由位移性质 an(3) (1)因为-)-1-c>00 所以 =C"C"e"h=! (12)利用t 2)√z 及位移性质 2.若d()F(),a为正实数,证明(相似性质)aa)=1() iE &f(at)]= f(ar e-dt=-L. f(at)e a d(ar)=FG) 3.若[f()]=F(s),证明F("(s)=e(-)”f(),Re(s)>c。特别yf()=-F(s),或 f(0)=-1[F(s),并利用此结论,计算下列各式 (1)f(O)=1esin2r,求F(s):(2)f()=∫ e-3sin2Idt,求F( (3)F(s)=ln 求f():(4)f(1)=esin2d,求F(s) 解F"(s)=cf(t dso Jo ()e"d=*" f()e"Jot=。(-)”f(le-t 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ （10）解法 1 由 ( ) ⎪⎩⎪⎨⎧ <> − = 3535 0 , 1 , 3 5 tt u t & [f ( )t ] = &[ ] ( ) ( ) ∫ +∞ − − = − 0 u 3 t 5 u 3 t 5 e dt st ∫ + ∞ − +∞= − − = − = = 35 35 3 | 5 s e s e e dt s t st st 解法 2 由相似性质 &[ ] ( ) s s u t 1 31 31 3 = ⋅ = 由位移性质 &[ ] u(3t − 5) = & } 35 { 3 ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ u t − s e 35 − = & ( ) 53 3 s e u t s− ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ （11）因为 ( ) ⎩⎨⎧ − < < − > > − = −− − 1 0 , 0 1 0 , 0 0 , 1 , 1 e t e t u e tt t 所以 &[ ] ( ) ( ) ∫ ∫ +∞ − +∞ − = = = 0 0 1s f t f t e dt e dt st st （12）利用 & 21 21 21 21 s s t π = ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ Γ = ⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎣⎡ − 及位移性质 &[f (t)] = & 3 3 − ⎥ = ⎦⎤ ⎢⎣⎡ t s e t π 2．若 &[ ( f t ) ] = F ( s ) ， a 为正实数，证明（相似性质） & 1 [ ( )] ( ) s f at F a a = 。 证 & 0 0 1 1 [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) s at st a s f a t f at e dt f at e d at F a a +∞ +∞ − − = = = ∫ ∫ a 3．若 &[ ( f t ) ] = F ( s ) ，证 明 ( ) ( ) n F s = &[( ) ( )] ，Re 。特 别 &[ ( ，或 n −t f t ( s ) > c tf t ) ] = − F ' ( s ) f ( )t = 1t − & ，并利用此结论，计算下列各式： 1 [ ' F s( ) ] − （1） 3 ( ) s i n 2 t f t t e − = t ，求 F s( ) ；（2） 3 0 ( ) s i n 2 t t f t t e t d − = ∫ t ，求 F s( )； （3） 1 ( ) ln 1 s F s s + = − ，求 f ( t )； （4） 3 0 ( ) s i n 2 t t f t t e t − = ∫ d t ，求 F s( )。 解 ( ) ( ) n F s = nn d ds &[ ( f t ) ] 0 0 0 ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) n n st s t n s t n n d d f t e dt f t e dt t f t e dt ds ds +∞ +∞ +∞ − − = = = − ∫ ∫ ∫ − - 6 -
=c[(-1)"f()],Re(s)>c。 (1)利用公式()=-F(s) 2t ele sin 2t 4(S+3) (S+3)+2 (s+3)+4 (2)由积分性质 sin 2rd s(ds+3)+4 再由像函数的微分公式 (= 4 (3)F()=/h1 ezt-sinht, f(0=-sinht (4)s[f()= te-sin 2td 1 dSre"sin 2rd ] ale"sinza= x 4 若f()=F(s),证明<() ∫F(k或/O=[F·并利用此 结论,计算下列各式 sin kt (1)f(1)=,求F(S) (2)f(1)= sin21,求F(s) (3)F(s)= (2-求; (4)f(1) esin2dt,求F(S) 解∫F()等G(“hJ0eh= f(De"d=df( sin kt (1)F(s) m如=厂 du= arctan =--arctan - arc cot (2)F(s)=e desim2zl-r de="snalu-r' du= arctan u+3)2+4 s+3 arctan re cot du 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ ＝ &[( ) ( )] ， Re 。 n −t f t ( s ) > c （ 1）利用公 式 &[ ] tf (t) = − F ' ( s ) & [f ( )t ] = & 3 sin 2 t d te t ds − ⎡ ⎤ = − ⎣ ⎦ & 3 [ s i n 2 ] t e t − 2 2 2 2 2 4 ( ( 3) 2 ( 3) 4 s s s ⎛ ⎞ + = −⎜ ⎟′ = ⎝ ⎠ + + ⎡ ⎤ + + ⎣ ⎦ 3) （ 2）由积分性质 & s e d t 1 sin 2 0 3 = ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ∫ − τ τ τ & [ ] ( ) 3 4 1 2 sin 2 2 3 + + = ⋅ − s s e t t 再由像函数的微分公式 &[f ( )t ] = & ( ) ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ + + = − ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ∫ − [ 3 4 ] 2 sin 2 2 0 3 ds s s d t e d t τ τ τ ( ) [ ] ( ) 2 2 2 2 3 4 2 3 12 13 + + + + = s s s s （ 3 ） 2 1 1 '( ) ln ' 2 1 1 s F s s s ⎛ ⎞ + = = ⎜ ⎟ − = ⎝ ⎠ − − & 2 t t inh ] t [ s ，知 2 f ( )t t sinh t = （ 4 ） & [f ( )t ] = & 3 0 1 sin 2 t t te tdt s ⎡ ⎤ − = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ & [te t ] t sin 2 − 3 ( ) [ ] ( ) 2 2 3 4 4 3 + + + = s s s 4．若 &[ ( f t ) ] = F ( s ) ，证 明 & ( ) ( ) s f t F s ds t ⎡ ⎤ ∞ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ，或 f ( )t t = &－1 ( ) s F s ds ∞ ⎡ ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ ∫ 。并利用此 结论，计算下列各式： （1） si n ( ) kt f t t = ，求 F s( )； （ 2 ） 3 sin 2 ( ) t e t f t t − = ，求 F s( )； （3） 2 ( ) ( 1 ) s F s s = − 2 ，求 f ( t ) ； （ 4 ） 3 0 si n 2 ( ) t t e t f t dt t − = ∫ ，求 F s( )。 解 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) st st st s s s f t F s ds f t e dtds f t e dsdt e dt t ∞ ∞ +∞ +∞ ∞ + ∞ − − − === = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ & f ( )tt ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ （1） F( )s = & si n s kt t ⎡ ⎤ ∞ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ & [sin kt ] du 2 2 arctan | s s k u du u k k ∞ ∞ = = + ∫ arctan 2 sk π = − arc cot sk = （ 2 ） F( )s = & ∫ ∞ − ⎥ = ⎦⎤ ⎢⎣⎡ s t t e sin 2 t 3 &[ ] e t du t sin 2 − 3 ( ) ∫ ∞ + ∞ = + + = s s u du u | 2 3 arctan 3 4 2 2 2 3 arctan 2 + = − π s 2 3 arc cot + = s （ 3 ） f ( )t = t & ( ) 1 2 2 1 s u du t u ∞ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ ∫ & ⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎣⎡ − ⋅ − ∞ − s u 1 1 2 1 2 1 = t & ( ) t t t e e s s − − = − ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + − ⋅ − ⋅ 41 1 1 41 1 1 4 1 1 t t sh 2 = - 7 -
(4)F(s) sin 2t Arctan a2 [=-arc cota 计算下列积分 (2)/1-cost e- cos bt -e cos nt (4 e"cos 2tdt (6) te sin tdt t3e ) I serf.(12)」J)dh 其中er=一元=。"如称为误差函数,J() (k(2)称为零阶贝塞尔Bs 解()公式d=小得 In In 2 (s+1) √(s+1 1=< e-a cos bt -e S十a cos bt -e cosnt s+ m+n 2a2+b2 (4已知s2小=[os2e-" 因此 (5 已知m2小=二2再由微分性顾d21(2+ 得 dt 2+4 -+ 2+-+17 ds=-arctanls+ arctan ls+v2+ 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ （4） F( )s = & s d t e sin 2 1 0 3 ⎥ = ⎦⎤ ⎢⎣⎡ ∫ − τ τ τ τ & ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ − t e sin 2 t 3 τ ∫ ∞ = ⋅ s s 1 & [ ] ∫ ∞ − + + == ⋅ s t du s u e t du ( 3 ) 4 1 2 sin 2 2 3 2 3 arc cot 1 2 3 arctan 1 | + = + = ∞= s s u s u s 5．计算下列积分： (1) ∫ +∞ − − − 0 2 dt . t e e t t ( 2 ) ∫ +∞ − − 0 1 cos e dt t t t ( 3 ) ∫ +∞ − − − 0 cos cos dt t e bt e nt at mt (4) cos 2 . ( 5 ) ( 6 ) 0 3 ∫ +∞ − e tdt t . 0 2 ∫ +∞ − te dt t sin 2 . 0 3 ∫ +∞ − te tdt t (7) . sh sin 0 2 ∫ + ∞ − ⋅ dt t e t t t ( 8 ) . sin 0 2 ∫ +∞ − dt t e t t ( 9 ) sin . 0 3 ∫ +∞ − t e tdt t (10) ∫ +∞0 22 sin dt t t . (1 1 ) 0 erf . t e t +∞ − ∫ d t (12) 0 0 J (t d) t . +∞ ∫ 其中 2 0 2 erf t u t e π − = ∫ du 称为误差函数， 2 0 2 0 ( 1 ) J ( ) ( !) 2 k k k t t k +∞= − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 称为零阶贝塞尔(Bessel) 函 数。 解 (1)由公 式 ( ) ∫ ∫ +∞ ∞ = 0 0 dt t f t & [f ( )t ]ds 得 ∫ ∫ +∞ ∞ − − = − 0 0 2 dt t e e t t &[ ] ds s s e e ds t t ∫∞ − − ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ + − + − = 0 2 2 1 1 1 ln 2 21 ln | 0 = ++ = ∞ ss (2) ∫ ∫ +∞ ∞ − = − 0 0 1 cos t e t &[ ] e ( )t ds t 1− cos − ( ) ∫ ∞ ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + + + − + = 0 2 1 1 1 1 1 ds s s s ( ) ln 2 21 1 1 1 ln | 2 0 = + + + = ∞ s s (3) ∫ ∫ +∞ ∞ − − = − 0 0 cos cos dt t e bt e nt at mt & [e bt e nt ]ds at mt cos cos − − − ( ) ( ) ds s m n s m s a b s a ∫∞ ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + + + − + + + = 0 2 2 2 2 ( ) ( ) | 0 2 2 2 2 ln 21 ∞= + + + + = s s m n s a b 2 2 2 2 ln 21 a b m n ++ = (4)已知 &[ ] ∫ +∞ − + = ⋅ = 0 2 4 cos 2 cos 2 s s t t e dt st ，因此 ∫ +∞ = − = + = 0 2 3 3 133 4 cos 2 s t s s e tdt (5) &[ ] ∫ +∞ − = 0 2 te dt t 4 1 1 2 2 2 = = = = s s s t (6)已知 &[ ] 4 2 sin 2 2 + = s t 再由微分性质 &[ ] ( )2 2 2 4 4 4 2 sin 2 + ⎟′ = ⎠⎞ ⎜⎝⎛ + = − s s s t t 得 ( ) ∫ +∞ = − = + = 0 2 3 2 3 169 12 4 4 sin 2 s t s s te tdt ( ) ∫ ∫ + ∞ ∞ − = ⋅ 0 0 2 sh sin 7 dt t e t t t & t ds e e e t t t ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ − − − sin 2 2 ∫ ∞ = 2 0 1 & ( ) ( ) [e t e t ]ds t t sin sin − 2 − 1 − 2 + 1 − ( ) ( ) ds s s ∫ ∞ ⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎣⎡ + + + − + − + = 0 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 21 ( ) ( ) ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ = + − − + + ∞ ∞ | | 0 0 arctan 2 1 arctan 2 1 21 s s - 8 -
√2 ”snl=!(-2k -In s+1 In 5 2s+1(s+1)+4 (s+1)+4 9已知cm-利用微分性顾cwm小-{ 243-24s 24s3-24s (10 too sin 2t cm24=.24b=00= 1)∫ e-terf idt=ef √ (12) Jo(dt=a[o(oJso 6.求下列函数的拉氏逆变换 (1)F()= (2)F(3) (3)F(s) s2+4 (s+1) (4)F(s) )F(s)= 2s+3 (6)F(s) s+3 s+lXs-3 (7)F(s)= (8)F(s)= s2+4s+13 解(1)10)-(=1d21=1sm2 (3)由e r3及位移性质s[F(-a)=e“f()得 /0=e"F(S=e1 (s+1) (4)f()=s[F()= s+3 (5)(0=(=2+231=2s3X+smy 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ [ ] arctan( ) 2 1 arctan( 2 1) 21 = + − − 8 arctan 1 21 π = = (8) ∫ ∫ +∞ +∞ − = 0 0 2 sin dt t e t t &[ ] ∫ ∞ − = 0 2 21 e sin t ds t & [e ( t ) ]ds t 1 − cos 2 − ( ) ( ) | 0 2 0 2 1 4 1 ln 21 1 4 1 1 1 21 ∞ ∞ + + + ⎥ = ⎦⎤ ⎢⎣⎡ + + + − + = ∫ s s ds s s s ln 5 41 = (9)已知 &[ ] , 1 1 sin 2 + = s t 利用微分性质 &[ ] ( )4 23 2 3 4 24 24 1 1 sin +− ⎟″′ = ⎠⎞ ⎜⎝⎛ + = − ss s s t t ∫ +∞ − = 0 3 t e sin tdt t &[ ] ( ) 0 4 24 24 sin 1 4 2 3 1 3 = +− = = = s s ss s t t (10) ∫ ∫ +∞ +∞ ⎟ ′ ⎠⎞ ⎜⎝⎛ = − 0 0 2 22 1 sin sin dt t dt t t t ∫ ∫ ∞ +∞ +∞ = − + = 0 0 0 2 sin sin 2 sin 2 | dt t t dt t t t t ∫ ∞ = 0 &[ ] ∫ ∞ + = 0 4 2 sin 2 ds s t ds 2 2 arctan | 0 π = = s ∞ (11) 0 er f t e t d t +∞ − = ∫ & 1 1 1 2 erf( ) s 1 2 s t = s s = ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ + (12) 0 &[ ] 0 J (t d) t +∞ = ∫ 0 0 2 0 1 J ( ) 1 1 s s t s = = = = + 6．求下列函数的拉氏逆变换. （1） ( ) . 4 12 + = s F s （ 2 ） ( ) . 14 s F s = （ 3 ） ( ) ( ) . 1 1 4 + = s F s （ 4 ） ( ) . 3 1+ = s F s （ 5 ） ( ) . 9 2 3 2 ++ = s s F s （ 6 ） ( ) ( ) ( ) . 1 3 3 + − + = s s s F s （ 7 ） ( ) . 6 1 2 + − + = s s s F s （ 8 ） ( ) . 4 13 2 5 2 + + + = s s s F s 解（ 1 ） f ( )t = & [ ] ( ) 2 1 1 = − F s & t s sin 2 21 4 2 2 1 = ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + − （ 2 ） f ( )t = & 3 ! 1 1 4 1 = ⎥⎦⎤ ⎢⎣ − ⎡ s & 3 3 1 1 6 3 ! 1 t s = ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + − （ 3）由 & 3 4 1 6 1 1 t s = ⎥⎦⎤ ⎢⎣ − ⎡ 及位移性质 & [F ( s a ) ] e f ( t ) at − = − 1 得 f ( )t = & [ ( ) ] = − F s 1 & ( ) t t e s − − ⎥ = ⎦⎤ ⎢⎣⎡ + 3 4 1 61 1 1 （ 4 ） f ( )t = & [ ( ) ] = − F s 1 & t e s 1 3 3 − 1 − = ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + （ 5 ） f ( )t = & [ ] ( ) 2 1 = − F s & + ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + − 9 2 1 s s & t t s 2cos 3 sin 3 9 3 2 1 = + ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + − - 9 -