知识要点 二次函数=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元 二次方程ax2+bx+c=0根的关系 二次函数 J=ax2+bx+c的 元二次方程 b2-4ac 图象与轴交点ax2+bx+=0的根 有两个交点有两个不相等的实数b24ac>0 根,为交点的横坐标 有一个交点有两个相等的实数根b24ac=0 为交点的横坐标 没有交点 没有实数根 b2-4ac<0
知识要点 二次函数 y=ax2+bx+c的 图象与x轴交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 b 2 -4ac 有两个交点 有两个不相等的实数 根，为交点的横坐标 b 2 -4ac > 0 有一个交点 有两个相等的实数根 ，为交点的横坐标 b 2 -4ac = 0 没有交点 没有实数根 b 2 -4ac < 0 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元 二次方程ax2+bx+c=0根的关系
典例精析 例1已知关于x的二次函数y=mx2-(m+2x+2(m0) (1)求证:此抛物线与x轴总有交点; (2)若此抛物线与x轴总有两个交点,且它们的横坐标都 是整数,求正整数m的值 (1)证明:∵m≠0, ∴△=(m+2)2-4m×2=m2+4m+4-8m=(m-2)2 (m-2)2≥0, 此抛物线与x轴总有交点;
例1 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都 是整数，求正整数m的值． (1)证明：∵m≠0， ∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2 . ∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0， ∴此抛物线与x轴总有交点； 典例精析
例1已知关于x的二次函数y=mx2-(m+2x+2(m0) 1)求证:此抛物线与x轴总有交点; (2)若此抛物线与x轴总有两个交点,且它们的横坐标都 是整数,求正整数m的值 (2)解:令y=0,则x-1)(mx-2)=0, 所以x-1=0或mx-2=0, 解得x1=1,x2= 当m为正整数1时,x2为整数且xx2,即抛物线与x轴 总有两个交点,且它们的横坐标都是整数 所以正整数m的值为1
(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0， 所以 x－1＝0或mx－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝ . 当m为正整数1时，x2为整数且x1≠x2，即抛物线与x轴 总有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 所以正整数m的值为1. 例1 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都 是整数，求正整数m的值． m 2
变式:已知:抛物线y=x2+ax+a-2 (1)求证:不论a取何值时,抛物线y=x2+ax+a-2 与x轴都有两个不同的交点; (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1,0), B(x2,0),且x1、x2的平方和为3,求a的值 (1)证明:∵Δ=a2-4(a-2)=(a-2)2+4>0, 不论a取何值时,抛物线y=x2+ax+a-2与x轴都 有两个不同的交点 (2)解:∵:x1+x2=-a,x1x2=a-2, x12+ x2=(X 2 +x2)2-2x1x2=a2-2a+4=3
变式：已知：抛物线y＝x 2＋ax＋a－2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x 2＋ax＋a－2 与x轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)， B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值． (1)证明：∵Δ＝a 2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0， ∴不论a取何值时，抛物线y＝x 2＋ax＋a－2与x轴都 有两个不同的交点； (2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2， ∴x1 2＋x2 2＝(x1＋x2 ) 2－2x1·x2＝a 2－2a＋4＝3， ∴a＝1
一运动中的抛物线问题 典例精析 例2如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角 的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不 考虑空气的阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞 行时间t(单位:s)之间具有关系:h=20t5, 你能否解决以下问题:
二 运动中的抛物线问题 例2 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角 的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不 考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞 行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t 2 ， 你能否解决以下问题： 典例精析