工程科学学报 Chinese Journal of Engineering 考虑端部摩擦的中心直裂纹巴西圆盘断裂参数解析解 刘建乔兰李庆文赵国彦 Analytical solutions of fracture parameters for a centrally cracked Brazilian disk considering the loading friction LIU Jian,QIAO Lan,LI Qing-wen,ZHAO Guo-yan 引用本文： 刘建，乔兰，李庆文，赵国彦.考虑端部摩擦的中心直裂纹巴西圆盘断裂参数解析解.工程科学学报，优先发表.d: 10.13374j.issn2095-9389.2021.06.07.006 LIU Jian,QIAO Lan,LI Qing-wen,ZHAO Guo-yan.Analytical solutions of fracture parameters for a centrally cracked Brazilian disk considering the loading friction[J.Chinese Journal of Engineering,In press.doi:10.13374/j.issn2095-9389.2021.06.07.006 在线阅读View online::htps:ldoi.org10.13374.issn2095-9389.2021.06.07.006 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in
考虑端部摩擦的中心直裂纹巴西圆盘断裂参数解析解 刘建 乔兰 李庆文 赵国彦 Analytical solutions of fracture parameters for a centrally cracked Brazilian disk considering the loading friction LIU Jian, QIAO Lan, LI Qing-wen, ZHAO Guo-yan 引用本文: 刘建, 乔兰, 李庆文, 赵国彦. 考虑端部摩擦的中心直裂纹巴西圆盘断裂参数解析解[J]. 工程科学学报, 优先发表. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2021.06.07.006 LIU Jian, QIAO Lan, LI Qing-wen, ZHAO Guo-yan. Analytical solutions of fracture parameters for a centrally cracked Brazilian disk considering the loading friction[J]. Chinese Journal of Engineering, In press. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2021.06.07.006 在线阅读 View online: https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2021.06.07.006 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in
工程科学学报.第44卷，第X期：1-8.2021年X月 Chinese Journal of Engineering,Vol.44,No.X:1-8,X 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2021.06.07.006;http://cje.ustb.edu.cn 考虑端部摩擦的中心直裂纹巴西圆盘断裂参数解析解 刘建)，乔兰)四，李庆文)，赵国彦2) 1)北京科技大学土木与资源工程学院，北京1000832)中南大学资源与安全工程学院.长沙410083 ☒通信作者，E-mail:langiao@ustb.edu.cn 摘要运用权函数法推导出考虑加载端摩擦的四种形式分布载荷加载下，中心直裂纹巴西圆盘试样在任意Ⅶ复合型断裂 模式下I、Ⅱ型应力强度因子及T应力的解析解，并探究了端部摩擦及载荷分布角度对断裂参数的影啊.研究结果表明：(1) 当中心裂纹相对长度B较小时，纯I型、纯Ⅱ型断裂的Y、Y,及T*(分别是量纲为一的I型、Ⅱ型应力强度因子及T应力)均 随摩擦系数及载荷分布角度增大而减小；但是，当B较大时，摩擦系数增大可使纯I型Y增大，而载荷分布角度增大可使纯 Ⅱ型T*增大.(2)接触载荷分布形式为常数函数时，载荷分布角度对断裂参数的影响最显著，而四次函数下其对断裂参数的 影响相对最小.(3)当B较小时，纯Ⅱ型加载角度随载荷分布角度增大而减小：当B较大时，其随载荷分布角度增大而增大： 摩擦系数增大可使纯Ⅱ型加载角度增大 关键词中心直裂纹巴西圆盘：断裂参数：端部摩擦：分布载荷：解析解 分类号0346.1 Analytical solutions of fracture parameters for a centrally cracked Brazilian disk considering the loading friction LIU Jian,QIAO Lan,LI Qing-wen),ZHAO Guo-yan 1)School of Civil and Resource Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)School of Resources and Safety Engineering,Central South University,Changsha 410083,China Corresponding author,E-mail:lanqiao@ustb.edu.cn ABSTRACT A centrally cracked Brazilian disk(CCBD)specimen subjected to a pair of diametral compressive forces has been widely used to study mixed-mode I and II fractures of brittle and quasi-brittle materials.Reasons for using the CCBD are mainly due to its capability to introduce different mode mixities from pure mode I to pure mode II,the existence of closed-form solutions for fracture parameters,and the simple setup of compressive test.In addition to the diametrical concentrated force loading,the partially distributed pressure loading is also an important loading condition for CCBD specimen tests.Using the weight function method,analytical solutions of stress intensity factors and Tstress considering the tangential loading friction for a CCBD specimen that is subjected to four typical partially distributed loads were derived,and effects of the boundary friction and load distribution angle on the fracture parameters were also explored.The results obtained are as follows:(1)For short cracks,geometric parameters Y.Yn,and T of pure mode I and II fractures decrease with an increase in the friction coefficient and load distribution angle.However,for long cracks,an increase in the friction coefficient causes an increase in pure mode-I Y,and an increase in the load distribution angle causes an increase in pure mode-lI T;(2)The influence of the load distribution angle on the fracture parameters is the most significant when the distributed pressure follows a constant function form,while it is the least significant for the case of quartic polynomial pressure,(3)The critical loading angle for pure mode II fractures decreases with an increase in the load distribution angle for short cracks,whereas it increases for long cracks. 收稿日期：2021-06-07 基金项目：国家自然科学基金与山东联合基金重点资助项目(U1806209):中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(FRF.TP.19 021A3):北京科技大学青年教师学科交叉研究资助项目(FRF-DRY-19-002)
考虑端部摩擦的中心直裂纹巴西圆盘断裂参数解析解 刘 建1)，乔 兰1) 苣，李庆文1)，赵国彦2) 1) 北京科技大学土木与资源工程学院，北京 100083 2) 中南大学资源与安全工程学院，长沙 410083 苣通信作者， E-mail: lanqiao@ustb.edu.cn 摘 要 运用权函数法推导出考虑加载端摩擦的四种形式分布载荷加载下，中心直裂纹巴西圆盘试样在任意 I/II 复合型断裂 模式下 I、II 型应力强度因子及 T 应力的解析解，并探究了端部摩擦及载荷分布角度对断裂参数的影响. 研究结果表明：（1） 当中心裂纹相对长度 β 较小时，纯 I 型、纯 II 型断裂的 YI、YII 及 T*（分别是量纲为一的 I 型、II 型应力强度因子及 T 应力）均 随摩擦系数及载荷分布角度增大而减小；但是，当 β 较大时，摩擦系数增大可使纯 I 型 YI 增大，而载荷分布角度增大可使纯 II 型 T*增大. （2）接触载荷分布形式为常数函数时，载荷分布角度对断裂参数的影响最显著，而四次函数下其对断裂参数的 影响相对最小. （3）当 β 较小时，纯 II 型加载角度随载荷分布角度增大而减小；当 β 较大时，其随载荷分布角度增大而增大； 摩擦系数增大可使纯 II 型加载角度增大. 关键词 中心直裂纹巴西圆盘；断裂参数；端部摩擦；分布载荷；解析解 分类号 O346.1 Analytical solutions of fracture parameters for a centrally cracked Brazilian disk considering the loading friction LIU Jian1) ，QIAO Lan1) 苣 ，LI Qing-wen1) ，ZHAO Guo-yan2) 1) School of Civil and Resource Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China 2) School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China 苣 Corresponding author, E-mail: lanqiao@ustb.edu.cn ABSTRACT A centrally cracked Brazilian disk (CCBD) specimen subjected to a pair of diametral compressive forces has been widely used to study mixed-mode I and II fractures of brittle and quasi-brittle materials. Reasons for using the CCBD are mainly due to its capability to introduce different mode mixities from pure mode I to pure mode II, the existence of closed-form solutions for fracture parameters, and the simple setup of compressive test. In addition to the diametrical concentrated force loading, the partially distributed pressure loading is also an important loading condition for CCBD specimen tests. Using the weight function method, analytical solutions of stress intensity factors and T stress considering the tangential loading friction for a CCBD specimen that is subjected to four typical partially distributed loads were derived, and effects of the boundary friction and load distribution angle on the fracture parameters were also explored. The results obtained are as follows: (1) For short cracks, geometric parameters YI , YII, and T* of pure mode I and II fractures decrease with an increase in the friction coefficient and load distribution angle. However, for long cracks, an increase in the friction coefficient causes an increase in pure mode-I YI , and an increase in the load distribution angle causes an increase in pure mode-II T*; (2) The influence of the load distribution angle on the fracture parameters is the most significant when the distributed pressure follows a constant function form, while it is the least significant for the case of quartic polynomial pressure; (3) The critical loading angle for pure mode II fractures decreases with an increase in the load distribution angle for short cracks, whereas it increases for long cracks. 收稿日期: 2021−06−07 基金项目: 国家自然科学基金与山东联合基金重点资助项目（U1806209）；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目（ FRF-TP-19- 021A3）；北京科技大学青年教师学科交叉研究资助项目（FRF-IDRY-19-002） 工程科学学报，第 44 卷，第 X 期：1−8，2021 年 X 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 44, No. X: 1−8, X 2021 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2021.06.07.006; http://cje.ustb.edu.cn
工程科学学报，第44卷，第X期 When the load distribution angle is fixed,an increase in friction can raise the critical loading angle for pure mode II fractures.These results have further improved the research of fracture parameters in CCBD specimens KEY WORDS centrally cracked Brazilian disk;fracture parameters;boundary friction;distributed load;analytical solutions 中心直裂纹巴西圆盘(Centrally cracked Brazilian 力强度因子的影响.董卓与唐世斌运用权函数 disc,简称CCBD)的断裂参数包括I型、IⅡ型应力 法提出了围压与径向集中载荷共同作用下考虑裂 强度因子及T应力T应力为裂纹尖端应力场 纹面摩擦的CCBD试样的应力强度因子计算公 William展开式中的常数项，大量研究表明，由于 式，并从理论上分析了围压、径向载荷和裂纹面摩 岩石类脆性材料的断裂过程区尺寸相对较大，因 擦对CCBD应力强度因子的影响 此T应力的影响不可忽略6 在CCBD断裂试验中，除运用平板压头加载 由于在对径压缩下CCBD试样能发生任意 外，弧形压头加载也是一种常用的外部载荷施加 II复合型断裂且其断裂参数存在解析解，因此其 手段.Dong等、李一凡等2、TangP1及Markides 被广泛应用于诸如玻璃、陶瓷0，、岩石-]等脆 等2均考虑了均布载荷加载，这种应力边界是对 性及准脆性材料的I/I复合型断裂研究.Awaji与 弧形压头加载的简化.但是，一方面试样与弧形压 Sato4最早提出运用CCBD试样测量岩石的I型 头之间接触力的实际分布形式未知，前人多把接触 及Ⅱ型断裂韧度.Atkinson等l运用边界积分方 力的分布形式假设为均匀分布26-2】、椭圆分布9-3川、 程率先推导出CCBD试样的I、Ⅱ型应力强度因子 余弦分布B1-刘、二次函数分布B-3划及四次函数分 级数形式的解析解，但Atkinson等U仅给出相对裂 布B川，相对于均匀分布，Japaridze指出接触力的 纹长度=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5及0.6这6种情况下 分布形式更可能是非均匀的：另一方面，鲜少有学者 应力强度因子级数解析解前5项的计算系数，其 考虑弧形压头与试样之间的摩擦作用并且探究端 它情况的未知系数需通过数值积分获得，应用不 部摩擦对断裂参数的影响.近来，Yu与Shangt3借 便.Fett2-提出了与CCBD试样L、Ⅱ型应力强度 助复变函数理论及权函数法推导了考虑加载端摩 因子及T应力相关的权函数，而后Dong等运用 擦的CCBD试样在纯I型加载下I型应力强度因 权函数方法推导出集中载荷与均布载荷作用下 子的解析解，但是其未关注CCBD试样在II复合 CCBD试样I、Ⅱ型应力强度因子的全显式级数解 型加载条件下断裂参数的解析解.鉴于此，本文首 析解，并探究均布载荷分布角度对应力强度因子 先运用权函数法推导出考虑端部摩擦的4种形式 的影响.Dorogoy与Banks-Sills!1采用一种有限差 分布载荷（均匀函数、椭圆函数、二次函数及四次 分模型研究中心裂纹接触摩擦对I、Ⅱ型应力强度 函数，因余弦函数与二次函数类似，所以本文没有 因子的影响.Ayatollahi与Aliha 6]运用有限元法 考虑)加载下CCBD试样在任意II复合型断裂模 计算了集中载荷作用下CCBD试样的I、Ⅱ型应力 式下断裂参数的解析解，然后基于该解析解探讨 强度因子及T应力.考虑到实际工程材料多处于 端部摩擦及接触载荷分布角度对断裂参数的影 围压作用下，徐积刚等7及Hua等I8-运用权函 响，以期能进一步完善关于CCBD试样断裂参数 数法及叠加原理推导了径向集中载荷与围压共同 的研究 作用下CCBD试样断裂参数的解析解，并基于该 1断裂参数解析解 解析解探讨了围压对应力强度因子及T应力的影 响.Hou等20运用基于扩展有限元的相互作用积 运用权函数法求解CCBD试样的断裂参数 分法求解CCBD试样的I、Ⅱ型应力强度因子及 如图I(a)所示，CCBD试样半径为R,厚度为B,中 T应力.李一凡等四运用权函数法提出了均布载 心直裂纹长度为2a,承受分布载荷q(0)作用，载荷 荷加载下CCBD试样T应力的解析解.Hou等2 分布角度为2a,:q(0为弧形压头与试样之间的摩 采用相互作用积分法研究了围压对CCBD试样应 擦力，其中μ为摩擦系数.则CCBD试样的I型、 力强度因子及T应力的影响，结果显示相互作用 Ⅱ型应力强度因子(K、K)及T应力为2-3,1： 积分法的计算结果与权函数法的结果十分吻合 K1=J0 hic,a)cac,e)d山r (1) Tang2]运用权函数法推导了径向集中载荷及均布 载荷加载下考虑裂纹面摩擦的CCBD试样应力强 度因子解析解，并分析了裂纹面摩擦对CCBD应 Ku=h(r.a)Tro(r.0dr (2)
When the load distribution angle is fixed, an increase in friction can raise the critical loading angle for pure mode II fractures. These results have further improved the research of fracture parameters in CCBD specimens. KEY WORDS centrally cracked Brazilian disk；fracture parameters；boundary friction；distributed load；analytical solutions 中心直裂纹巴西圆盘 (Centrally cracked Brazilian disc, 简称 CCBD) 的断裂参数包括 I 型、II 型应力 强度因子及 T 应力[1−5] . T 应力为裂纹尖端应力场 William 展开式中的常数项，大量研究表明，由于 岩石类脆性材料的断裂过程区尺寸相对较大，因 此 T 应力的影响不可忽略[6−8] . 由于在对径压缩下 CCBD 试样能发生任意 I/II 复合型断裂且其断裂参数存在解析解，因此其 被广泛应用于诸如玻璃[9]、陶瓷[10]、岩石[11−13] 等脆 性及准脆性材料的 I/II 复合型断裂研究. Awaji 与 Sato[14] 最早提出运用 CCBD 试样测量岩石的 I 型 及 II 型断裂韧度. Atkinson 等[1] 运用边界积分方 程率先推导出 CCBD 试样的 I、II 型应力强度因子 级数形式的解析解，但 Atkinson 等[1] 仅给出相对裂 纹长度 β= 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 及 0.6 这 6 种情况下 应力强度因子级数解析解前 5 项的计算系数，其 它情况的未知系数需通过数值积分获得，应用不 便. Fett[2−3] 提出了与 CCBD 试样 I、II 型应力强度 因子及 T 应力相关的权函数，而后 Dong 等[4] 运用 权函数方法推导出集中载荷与均布载荷作用下 CCBD 试样 I、II 型应力强度因子的全显式级数解 析解，并探究均布载荷分布角度对应力强度因子 的影响. Dorogoy 与 Banks-Sills[15] 采用一种有限差 分模型研究中心裂纹接触摩擦对 I、II 型应力强度 因子的影响. Ayatollahi 与 Aliha [16] 运用有限元法 计算了集中载荷作用下 CCBD 试样的 I、II 型应力 强度因子及 T 应力. 考虑到实际工程材料多处于 围压作用下，徐积刚等[17] 及 Hua 等[18−19] 运用权函 数法及叠加原理推导了径向集中载荷与围压共同 作用下 CCBD 试样断裂参数的解析解，并基于该 解析解探讨了围压对应力强度因子及 T 应力的影 响. Hou 等[20] 运用基于扩展有限元的相互作用积 分法求解 CCBD 试样的 I、II 型应力强度因子及 T 应力. 李一凡等[21] 运用权函数法提出了均布载 荷加载下 CCBD 试样 T 应力的解析解. Hou 等[22] 采用相互作用积分法研究了围压对 CCBD 试样应 力强度因子及 T 应力的影响，结果显示相互作用 积分法的计算结果与权函数法的结果十分吻合. Tang[23] 运用权函数法推导了径向集中载荷及均布 载荷加载下考虑裂纹面摩擦的 CCBD 试样应力强 度因子解析解，并分析了裂纹面摩擦对 CCBD 应 力强度因子的影响. 董卓与唐世斌[24] 运用权函数 法提出了围压与径向集中载荷共同作用下考虑裂 纹面摩擦的 CCBD 试样的应力强度因子计算公 式，并从理论上分析了围压、径向载荷和裂纹面摩 擦对 CCBD 应力强度因子的影响. 在 CCBD 断裂试验中，除运用平板压头加载 外，弧形压头加载也是一种常用的外部载荷施加 手段. Dong 等[4]、李一凡等[21]、Tang[23] 及 Markides 等[25] 均考虑了均布载荷加载，这种应力边界是对 弧形压头加载的简化. 但是，一方面试样与弧形压 头之间接触力的实际分布形式未知，前人多把接触 力的分布形式假设为均匀分布[26−28]、椭圆分布[29−31]、 余弦分布[31−32]、二次函数分布[31−33] 及四次函数分 布[31] ，相对于均匀分布，Japaridze[30] 指出接触力的 分布形式更可能是非均匀的；另一方面，鲜少有学者 考虑弧形压头与试样之间的摩擦作用并且探究端 部摩擦对断裂参数的影响. 近来，Yu 与 Shang[34] 借 助复变函数理论及权函数法推导了考虑加载端摩 擦的 CCBD 试样在纯 I 型加载下 I 型应力强度因 子的解析解，但是其未关注 CCBD 试样在 I/II 复合 型加载条件下断裂参数的解析解. 鉴于此，本文首 先运用权函数法推导出考虑端部摩擦的 4 种形式 分布载荷（均匀函数、椭圆函数、二次函数及四次 函数，因余弦函数与二次函数类似，所以本文没有 考虑）加载下 CCBD 试样在任意 I/II 复合型断裂模 式下断裂参数的解析解，然后基于该解析解探讨 端部摩擦及接触载荷分布角度对断裂参数的影 响，以期能进一步完善关于 CCBD 试样断裂参数 的研究. 1 断裂参数解析解 运用权函数法求解 CCBD 试样的断裂参数. 如图 1(a) 所示，CCBD 试样半径为 R，厚度为 B，中 心直裂纹长度为 2a，承受分布载荷 q(θ) 作用，载荷 分布角度为 2α，μ·q(θ) 为弧形压头与试样之间的摩 擦力，其中 μ 为摩擦系数. 则 CCBD 试样的 I 型、 II 型应力强度因子（KI、KII）及 T 应力为[2−3,19] ： KI = w a 0 hI(r,a)σθ(r, θ)dr （1） KII = w a 0 hII(r,a)τrθ(r, θ)dr （2） · 2 · 工程科学学报，第 44 卷，第 X 期
刘建等：考虑端部摩擦的中心直裂纹巴西圆盘断裂参数解析解 3 (a) (b) M1=-2.5B+14882g2-2.37668+1.1028g -5 V1-B (9) 32=-4+29+0.488862+0.8111283-0.7177g +4 V1-B (10) B G1= To) PTO -B-6.86228+18.105762-2201736+9329g (11) 图1CCBD试样与BD试样示意图.(a)CCBD试样：b)BD试样 Fig.1 Schematic of (a)centrally cracked Brazilian disk and (b) G2= -p4.19026-14.626g2+21.2854g-9.817g） B Brazilian disk specimens (12) hr(r.axrudr.0dr- (3) 此外，o,oa,te为相同外部载荷加载下与 其中，r,0为极坐标；h,hm及hr分别为与I型、 CCBD试样对应的巴西圆盘(Brazilian disc,简称 Ⅱ型应力强度因子及T应力对应的权函数，具体形 BD)试样的应力分布，如图1(b)所示.近来，Yu等B 式如下2-，： 运用复变函数理论推导了考虑端部摩擦的分布载 荷加载下巴西圆盘试样的应力分布解析解 h(r,a)=- Via 1-p2 +MiV-p2+M-p (4) ha)= 2 (13) (5) hrc,a)=-[G1(1-p2)+G2(1-p22] (6) 其中，p=ra,M1,M2,N,N2,G,G2均为与中心直裂 纹相对长度=alR相关的参数，即-3，： (14) M1=8-49+3.861292-15.9344B3+24.6076g- V1-B 13.234β mc-p- -8 2n- 1-B c.-c- sin2n0 (15) 7) M2=-8+48-0.6488g2+14.123203-24.2696g+ 其中，qo=P(RB),P为压力机施加的外部载荷，Cn V1-B (=0,±1，±2，)与g(0)的分布形式、分布角度及 12.596B5 摩擦系数有关，具体形式参见1.表1中=q(0/ +8 VI-B qo,qmax为q0)lqo的最大值，J1为一阶Bessel函数， (8) H1为一阶Struve函数.图2为a=15°且=0.4时圆 表1分布载荷加载下巴西圆盘应力解析解的系数 Table I Series coefficients C of the stress analytical solutions for the Brazilian disk subjected to distributed pressures Distribution form Aeygmax Amxx Co Cn(=±1，±2，） Uniform 1 2a [2(sina+u(1-cosa))] 9asn2na-2μ(sinna) Elliptical - [(Ji(@)+pH1(a)]-1 29max a2na)H (na) 2n Parabolic - a2[4u(1+a2/2-asina- 4 qmax[u(2onsin2na+cos2na-2a n2-1) cosa)+4sina-4acosa]-1 +sin 2na-2ancos2nal/(2ma2n3) a[16(3-a2)sina-48acosa gmax【(3μ-4a22μ-6am)cos2na+ Quartic polynomial - +2μa+4a2+24+ 16a 15n 9max (6amu+3-4a2n2)sin2na- 8(a2-3)cosa-24asina)]-I 2μ(a‘n+a2m2+3/2]/2ra
T = w a 0 hT (r,a)σθ(r, θ)dr − σθ|r=a + σr |r=a （3） 其中 ， r, θ 为极坐标 ； hI , hII 及 hT 分别为 与 I 型 、 II 型应力强度因子及 T 应力对应的权函数，具体形 式如下[2−3,19] ： hI(r,a) = 2 √ πa 1 √ 1−ρ 2 + M1 √ 1−ρ 2 + M2(1−ρ 2 ) 3/2 （4） hII(r,a) = 2 √ πa 1 √ 1−ρ 2 +N1 √ 1−ρ 2 +N2(1−ρ 2 ) 3/2 （5） hT (r,a) = 1 a [G1(1−ρ 2 )+G2(1−ρ 2 ) 2 ] （6） 其中，ρ=r/a，M1 , M2 , N1 , N2 , G1 , G2 均为与中心直裂 纹相对长度 β=a/R 相关的参数，即[2−3,19] ： M1 = 8−4β+3.8612β 2 −15.9344β 3 +24.6076β 4− √ 1−β 13.234β 5 √ 1−β −8 （7） M2 = −8+4β−0.6488β 2 +14.1232β 3 −24.2696β 4+ √ 1−β 12.596β 5 √ 1−β +8 （8） N1 = 5−2.5β+1.4882β 2 −2.3766β 3 +1.1028β 4 √ 1−β −5 （9） N2 = −4+2β+0.4888β 2 +0.81112β 3 −0.7177β 4 √ 1−β +4 （10） G1 = β 1−β (−6.8622β+18.1057β 2−22.0173β 3+9.3229β 4 ) （11） G2 = β 1−β (4.1902β−14.626β 2 +21.2854β 3 −9.8117β 4 ) （12） 此外 ， σr , σθ , τrθ 为相同外部载荷加载下 与 CCBD 试样对应的巴西圆盘 (Brazilian disc, 简称 BD) 试样的应力分布，如图 1(b) 所示. 近来，Yu 等[31] 运用复变函数理论推导了考虑端部摩擦的分布载 荷加载下巴西圆盘试样的应力分布解析解 σr(r, θ) = −q0 C0 − ∑∞ n=1 ( 2(n−1)( r R )2 Cn −(2n−1) Cn −C−n ) ( r R )2n−2 cos 2nθ ] （13） σθ(r, θ) = −q0 C0 + ∑∞ n=1 ( 2(n+1)( r R )2 Cn −(2n−1) Cn −C−n) ( r R )2n−2 cos 2nθ ] （14） τrθ(r, θ) = −q0 ∑∞ n=1 ( 2n ( r R )2 Cn −(2n−1) Cn −C−n ) ( r R )2n−2 sin 2nθ （15） 其中，q0=P/(RB)，P 为压力机施加的外部载荷，Cn (n=0, ±1, ±2, ···) 与 q(θ) 的分布形式、分布角度及 摩擦系数有关，具体形式参见 1. 表 1 中 f(θ)=q(θ)/ q0，qmax 为 q(θ)/q0 的最大值，J1 为一阶 Bessel 函数， H1 为一阶 Struve 函数. 图 2 为 α=15°且 μ=0.4 时圆 表 1 分布载荷加载下巴西圆盘应力解析解的系数 Table 1 Series coefficients Cn of the stress analytical solutions for the Brazilian disk subjected to distributed pressures Distribution form f(θ)/qmax qmax C0 Cn (n=±1, ±2, ···) Uniform 1 [2(sinα+µ(1−cosα))]−1 2α π qmax qmax sin 2nα−2µ(sinnα) 2 nπ Elliptical ( 1− ( θ α )2 )1/2 [π(J1(α)+µH1(α))]−1 α 2 qmax qmax J1(2nα)−µH1(2nα) 2n Parabolic 1− ( θ α )2 α 2 [4µ(1+α 2 /2−αsinα− cosα)+4 sinα−4αcosα] −1 4α 3π qmax qmax[µ(2αnsin 2nα+cos 2nα−2α 2 n 2 −1) +sin 2nα−2αncos 2nα]/(2πα 2 n 3 ) Quartic polynomial ( 1− ( θ α )2 )2 α 4 [16(3−α 2 ) sinα−48αcosα +2µ(α 4 +4α 2 +24+ 8(α 2 −3) cosα−24αsinα)]−1 16α 15π qmax qmax[(3µ−4α 2 n 2 µ−6αn) cos 2nα+ (6αnµ+3−4α 2 n 2 ) sin 2nα− 2µ(α 4 n 4 +α 2 n 2 +3/2)]/(2πn 5α 4 ) (a) 2a 2α p R q(θ) p q(θ) μ·q(θ) θ (b) 2α R p σr τrθ σθ q(θ) p q(θ) μ·q(θ) θ r 图 1 CCBD 试样与 BD 试样示意图. (a) CCBD 试样；(b) BD 试样 Fig.1 Schematic of (a) centrally cracked Brazilian disk and (b) Brazilian disk specimens 刘 建等： 考虑端部摩擦的中心直裂纹巴西圆盘断裂参数解析解 · 3 ·
工程科学学报，第44卷，第X期 g(e) Eq.(13) ·Uniform -Uniform R=-a-1/2)小-3M+2n+1)M+4n0a+1 ◆Elliptical Elliptical 2B2 ◆Parabolic Parabolic (24) Quartic -Quartic polynomial polynomial R=-34,+2+1M+4nn+i川c-n（25) 482 R=-1/2）-3+2+2N+4n+1m+2刃cn 2(n+2) 015°，0.4 (26) -20 -10 0 10 20 ) Rg=-a-1/2-3N+2+1M+4an+1】c. 2B2 图2圆盘边界上(=R)式(13)计算结果与g)的对比 (27) Fig.2 Comparison between the calculated results based onEq.(13)and 3N2+2(+1)N+4m(n+DlC (28) the applied normal pressures g() 482 盘边界上(=R)公式(13)的计算结果与法向载荷 (29) g()的对比，公式(13)中级数求和项数取前 200项，由图可知两者具有较好的一致性.因此， R-4+):2m+51G+4Glc. (30) 以下在求解断裂参数时级数求和项数均取前 15+46n+36n2+8n3 200项. R=-22m+3G+4C2lc. (31) 将公式(4)~(15)代入公式(1)~(3)得到： (3+8n+4n2)B2 =Y() (16) B R=- 2[(2n+3)G1+4G2】 -3-2n+12n2+8ngC-n (32) P Ku=- Y() (17) VR R=-4ngC。-22n-10C.-2C-2 (33) B2 1威r (18) 公式(16)~(33)即为最终结果.表1中，若令 摩擦系数=0，则上述解析解退化为不考虑端部摩 其中，Y(,Y(,T()分别为量纲为一的I型、 擦的形式.Dong等与李一凡等2]运用线弹性断 Ⅱ型应力强度因子及T应力，或者称上述三个参数 裂力学的叠加原理分别求解了均布载荷(q(0为常 为对应的几何参数，具体形式为 数函数)加载下CCBD试样1、Ⅱ型应力强度因子 及T应力的解析解，图3为=10时本文计算结果 与Dong等及李一凡等四所得结果的对比，由图 T(n-1/2)B2"cos2n0 (19) 可知上述结果具有较好的一致性 T(n+2) V元 2摩擦系数及载荷分布角度影响分析 =-v2++鸭 图4为纯I型及纯Ⅱ型断裂的几何参数Y、Ym I(n-1/2)B2 sin2n0 及T*随摩擦系数的变化特征，其中图4a)~(d) (20) T(n+2) v阮 为a=5°及15且=0.2的情况，图4e)~(h)为c=15° 且=0.8的情况.由图4a)~(d)可知，当中心裂纹 T(B)=- 5+R++居+师产cos2d 相对长度较小时，纯I型及纯Ⅱ型断裂的几何参数 (21) 均随摩擦系数的增大而近似于线性减小（对T*而 其中，「(x)为Gamma函数，其余参数如下 言均指其绝对值).当=5时，4种形式的分布载 风-(+兰+) 荷加载下，纯I型及纯Ⅱ型断裂的几何参数随摩擦 Co (22) 系数的平均变化率分别为0.9%（纯1型）、 R=+1a-1/2)-3M+20n+2M+ 5.0%(纯1型T*)、1.5%(纯Ⅱ型Ym)、1.9%(纯Ⅱ型 2(n+2) T*);而当a=15时，上述几何参数的平均变化率为 4m+10n+2刃Cn 2.4%、14.0%、4.2%、5.6%.因此，当载荷分布角度 (23) 2(n+2) 较大时，摩擦系数对断裂参数的影响更显著.此
盘边界上 (r=R) 公式 (13) 的计算结果与法向载荷 q(θ) 的 对 比 ， 公 式 (13) 中 级 数 求 和 项 数 取 前 200 项，由图可知两者具有较好的一致性. 因此， 以下在求解断裂参数时级数求和项数均取 前 200 项. 将公式 (4)～(15) 代入公式 (1)～(3) 得到： KI = P B √ R YI(β) （16） KII = P B √ R YII(β) （17） T = P BR T ∗ (β) （18） 其中 ， YI (β), YII(β), T * (β) 分别为量纲为一的 I 型 、 II 型应力强度因子及 T 应力，或者称上述三个参数 为对应的几何参数，具体形式为 YI(β) = − √ πβ R I 0 + ∑∞ n=1 (R I 1 +R I 2 +R I 3 ) Γ(n−1/2) Γ(n+2) · β 2n cos 2nθ √ π ] （19） YII(β) = − √ πβ ∑∞ n=1 (R II 1 +R II 2 +R II 3 ) Γ(n−1/2) Γ(n+2) · β 2n sin 2nθ √ π ] （20） T ∗ (β) = − R T 0 + ∑∞ n=1 (R T 1 +R T 2 +R T 3 +R T 4 )· β 2n cos 2nθ （21） 其中，Γ(x) 为 Gamma 函数，其余参数如下 R I 0 = ( 1+ M1 2 + 3M2 8 ) C0 （22） R I 1 = (n+1)(n−1/2)·[3M2 +2(n+2)M1+ 2(n+2) 4(n+1)(n+2)] 2(n+2) Cn （23） R I 2 = − (n−1/2)·[3M2 +2(n+1)M1 +4n(n+1)] 2β 2 Cn （24） R I 3 = − [3M2 +2(n+1)M1 +4n(n+1)] 4β 2 C−n （25） R II 1 = n(n−1/2)·[3N2 +2(n+2)N1 +4(n+1)(n+2)] 2(n+2) Cn （26） R II 2 = − (n−1/2)·[3N2 +2(n+1)N1 +4n(n+1)] 2β 2 Cn （27） R II 3 = − [3N2 +2(n+1)N1 +4n(n+1)] 4β 2 C−n （28） R T 0 = ( 2G1 3 + 8G2 15 ) C0 （29） R T 1 = 4(n+1)·[(2n+5)G1 +4G2] 15+46n+36n 2 +8n 3 Cn （30） R T 2 = − 2[(2n+3)G1 +4G2] (3+8n+4n 2 )β 2 Cn （31） R T 3 = − 2[(2n+3)G1 +4G2] (−3−2n+12n 2 +8n 3 )β 2 C−n （32） R T 4 = − 4nβ 2Cn −2(2n−1)Cn −2C−n β 2 （33） 公式 (16)～(33) 即为最终结果. 表 1 中，若令 摩擦系数 μ=0，则上述解析解退化为不考虑端部摩 擦的形式. Dong 等[4] 与李一凡等[21] 运用线弹性断 裂力学的叠加原理分别求解了均布载荷（q(θ) 为常 数函数）加载下 CCBD 试样 I、II 型应力强度因子 及 T 应力的解析解，图 3 为 α=10°时本文计算结果 与 Dong 等[4] 及李一凡等[21] 所得结果的对比，由图 可知上述结果具有较好的一致性. 2 摩擦系数及载荷分布角度影响分析 图 4 为纯 I 型及纯 II 型断裂的几何参数 YI、YII 及 T*随摩擦系数的变化特征 ，其中 图 4(a)～ (d) 为 α=5°及 15°且 β=0.2 的情况，图 4(e)～(h) 为 α=15° 且 β=0.8 的情况. 由图 4(a)～(d) 可知，当中心裂纹 相对长度较小时，纯 I 型及纯 II 型断裂的几何参数 均随摩擦系数的增大而近似于线性减小（对 T*而 言均指其绝对值）. 当 α=5°时，4 种形式的分布载 荷加载下，纯 I 型及纯 II 型断裂的几何参数随摩擦 系 数 的 平 均 变 化 率 分 别 为 0.9%（ 纯 I 型 YI） 、 5.0%（纯 I 型 T*）、1.5%（纯 II 型 YII）、1.9%（纯 II 型 T*）；而当 α=15°时，上述几何参数的平均变化率为 2.4%、14.0%、4.2%、5.6%. 因此，当载荷分布角度 较大时，摩擦系数对断裂参数的影响更显著. 此 −20 −10 0 10 20 0 1 2 3 4 Eq.(13) Uniform Elliptical Parabolic Quartic polynomial Uniform Elliptical Parabolic Quartic polynomial q(θ) f(θ) α=15°, μ=0.4 θ/(°) 图 2 圆盘边界上 (r=R) 式 (13) 计算结果与 q(θ) 的对比 Fig.2 Comparison between the calculated results based on Eq. (13) and the applied normal pressures q(θ) · 4 · 工程科学学报，第 44 卷，第 X 期