《工程科学学报》录用稿，htps:/doi.org/10.13374/i,issn2095-9389.2020.09.07.001©北京科技大学2020 考虑非平稳过程的劣化钢筋混凝土梁桥时变可靠度分析 金聪鹤，钱永久，张方，徐望喜1 1.四川成都，西南交通大学土木工程学院，610031 Time-dependent reliability analysis of deteriorating reinforced concrete bridges by considering non-stationary processes JIN Conghe,QIAN Yongjiu,ZHANG Fang,XU Wangxi 1.610031 School of Civil Engineering,Southwest Jiaotong University Chengdu Sichuan. 摘要.桥梁服役过程中，交通量和车辆荷载都随着时间增长。采用Gamma随机过程描述$辆荷载频率函数，提出了基于荷载频 率增大的钢筋混凝土桥梁时变可靠度分析方法。考虑历史荷载信息对桥梁时变抗力的验证作电，改进了抗力变异系数为时间变 量的桥梁时变可靠度计算公式。采用上述方法，对某装配式预应力混凝土桥进行时变可堂度分析，结果表明：车辆荷载频率增 量关联与否不影响结构时变可靠度的变化：结构在20至40年的时变失效概率值于31,6%至36.4%初始抗力强度的验证荷载实 验之间，证明改进的公式具有更高精度。当荷载频率1小于一年十遇，考察绝围不超时35年，若历史荷载强度不高于初始抗力 的29.1%，可以采用基于荷载频率函数(0的可靠度计算方法： 若一年两遇的车载强度超过结构初始抗力的36.4%，且年均增长 率y超过150%时，在海洋环境建造的钢筋混凝土梁桥在20年内的失效概率较高， 需引起注意，在设计和施工时增强钢筋的耐锈 蚀性。 关键词时变可靠度，非平稳随机过程，历史荷载信息， 频率函 中图分类号：U441+.2文献标识码：A Abstract.During the bridge service life,traffic volume and vehicle loads are increasing with time.Time-dependent reliability theory considers the time-varying effects of both loads and resistance,which has been widely adopted in recent engineering reliability researches. The degradation of bridge resistance and increase of vehicle load and frequency varies with time,and thus should be described by a non- stationary stochastic model.To promote the application of non-stationary process in reliability studies,Gamma stochastic process is adopted to describe the frequency fungtion of vehicle load occurrence,and a time-dependent reliability analyzing approach for reinforced concrete bridges based on increasing load frequency is proposed.By considering the verifying effect of historical load information on time- varying resistance,the time-dependent reliability equation is modified by setting the coefficient of variation of bridge resistance a time- associated variable.The time-dependent reliability analysis of a prefabricated prestressed concrete bridge is then carried out by using the above two methods.Results how that:the structural time-dependent reliability immunes the correlativity of frequency increment of vehicle loads;the time-dependent failure probabilities within 20 to 40 years range from those obtained by proof load tests where load intensities are between 31.6%and 36.4%of the initial resistance,which indicate higher precision of the modified equation.When the load frequency A is smaller than 10 times a year and the inspecting time interval is within 35 years,if the historical load intensity is smaller than 29.1%of the initial resistance,the approach based on load frequency function()is available;when the load frequency higher than twice a year exceeds 36.4%of the bridge initial resistance,and the annual growth rate of frequency y exceeds 150%,the RC bridge structure constructed in marine environment has higher failure probability within 20 years,which should be paid extra attention,where corrosion resistance of reinforcements should be enhanced during its design and construction. 1基金项目：国家自然科学基金(51778532). 通讯作者：钱水久(1963-)，男，湖北人，教授，博士生导师，主要从事结构可靠度与抗震研究(Email:yjqian@sina.com. 第一作者简介：金聪鹤(1990-)，男，甘肃人，博士研究生，主要从事桥梁结构可靠性评估研究(Email:conghejin@163.com)
考虑非平稳过程的劣化钢筋混凝土梁桥时变可靠度分析 金聪鹤1，钱永久 1，张方 1，徐望喜 1 1.四川成都，西南交通大学土木工程学院，610031 Time-dependent reliability analysis of deteriorating reinforced concrete bridges by considering non-stationary processes JIN Conghe, QIAN Yongjiu, ZHANG Fang, XU Wangxi 1. 610031 School of Civil Engineering, Southwest Jiaotong University，Chengdu, Sichuan. 摘要. 桥梁服役过程中，交通量和车辆荷载都随着时间增长。采用 Gamma 随机过程描述车辆荷载频率函数，提出了基于荷载频 率增大的钢筋混凝土桥梁时变可靠度分析方法。考虑历史荷载信息对桥梁时变抗力的验证作用，改进了抗力变异系数为时间变 量的桥梁时变可靠度计算公式。采用上述方法，对某装配式预应力混凝土桥进行时变可靠度分析，结果表明：车辆荷载频率增 量关联与否不影响结构时变可靠度的变化；结构在 20 至 40 年的时变失效概率值介于 31.6%至 36.4%初始抗力强度的验证荷载实 验之间，证明改进的公式具有更高精度。当荷载频率 λ 小于一年十遇，考察范围不超过 35 年，若历史荷载强度不高于初始抗力 的 29.1%，可以采用基于荷载频率函数 λ(t)的可靠度计算方法；若一年两遇的车载强度超过结构初始抗力的 36.4%，且年均增长 率 γ 超过 150%时，在海洋环境建造的钢筋混凝土梁桥在 20 年内的失效概率较高，需引起注意，在设计和施工时增强钢筋的耐锈 蚀性。 关键词 时变可靠度，非平稳随机过程，历史荷载信息，频率函数 中图分类号：U441+.2 文献标识码：A Abstract. During the bridge service life, traffic volume and vehicle loads are increasing with time. Time-dependent reliability theory considers the time-varying effects of both loads and resistance, which has been widely adopted in recent engineering reliability researches. The degradation of bridge resistance and increase of vehicle load and frequency varies with time, and thus should be described by a nonstationary stochastic model. To promote the application of non-stationary process in reliability studies, Gamma stochastic process is adopted to describe the frequency function of vehicle load occurrence, and a time-dependent reliability analyzing approach for reinforced concrete bridges based on increasing load frequency is proposed. By considering the verifying effect of historical load information on timevarying resistance, the time-dependent reliability equation is modified by setting the coefficient of variation of bridge resistance a timeassociated variable. The time-dependent reliability analysis of a prefabricated prestressed concrete bridge is then carried out by using the above two methods. Results show that: the structural time-dependent reliability immunes the correlativity of frequency increment of vehicle loads; the time-dependent failure probabilities within 20 to 40 years range from those obtained by proof load tests where load intensities are between 31.6% and 36.4% of the initial resistance, which indicate higher precision of the modified equation. When the load frequency λ is smaller than 10 times a year and the inspecting time interval is within 35 years, if the historical load intensity is smaller than 29.1% of the initial resistance, the approach based on load frequency function λ(t) is available; when the load frequency higher than twice a year exceeds 36.4% of the bridge initial resistance, and the annual growth rate of frequency γ exceeds 150%, the RC bridge structure constructed in marine environment has higher failure probability within 20 years, which should be paid extra attention, where corrosion resistance of reinforcements should be enhanced during its design and construction. 1基金项目：国家自然科学基金(51778532). 通讯作者：钱永久(1963-)，男，湖北人，教授，博士生导师，主要从事结构可靠度与抗震研究(Email:yjqian@sina.com). 第一作者简介：金聪鹤(1990-)，男，甘肃人，博士研究生，主要从事桥梁结构可靠性评估研究(Email:conghejin@163.com). 《工程科学学报》录用稿，https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2020.09.07.001 ©北京科技大学 2020 录用稿件，非最终出版稿
Key words time-dependent reliability,non-stationary stochastic process,historical load information,frequency function 一、引言 因素，会低估在役桥梁的失效风险。 为解决这个问题，王草等将车载强度均值表 桥梁结构在服役过程中受到车辆荷载和环境因 示为+l的线性形式，其中%和u分别为初始均值 素等作用，耐久性下降，承载能力降低。目前，我 和年均增量。Li等采用频率函数()代替1，表示 国有数量众多的桥梁处于“带病工作”状态，安全 频率随时间发生变化的随机变量，不论荷载服从平 隐患亟需重视。由于资金和人力所限，不可能总 稳或非平稳随机过程均适用。 是对所有在役桥梁进行及时监测和彻底维修加固。 为了保证桥梁结构的正常运营，需要在可靠度框架 根据上述分析，本文考虑两种情形：1)1为常数、 下对其安全性能做出评估，以作为其后续管理、养 荷载强度不同的历史验证荷载：2)验证荷载强度相 护、加固与维修的依据。 同，1为时间1的函数。采角蒙特卡洛模拟MCS)法 进行验证，提出基于采稳随机过程的在役桥梁时 我国现行的结构可靠度评估规范未能考虑桥 变可靠性分析方法 章回顾了时变可靠度理论： 梁抗力随时间劣化的特性。Mori和Ellingwood!的于 第三章提出了基于Gamma过程的荷载频率函数 1993年提出了“时变可靠度”理论：采用平稳 ():第四章分析了服役桥梁承载力变异系数降低的 Poisson过程描述(0，T)时段作用于结构、服从同一分 原因， 并提出灯时变可靠度计算公式：第五章以实 布的离散化荷载随机变量，其中参数入表示荷载出 例验证 本文所提理论的实用性：第六章给出了结 现的频率；将时变抗力表示为初始抗力R和抗力衰 减函数g)的乘积，提出了时变可靠度计算公式。 该理论能够描述抗力和荷载的时变特性，是当前工 基于验证荷载实验的时变可靠度计算公式 程结构可靠度领域的研究热点-8)。 李全旺等9采用迭代算法生成服从同一正态分 在评估期(0，T)内任意时刻1的时变抗力记为 布的关联荷载样本，讨论了荷载相关性强弱对桥梁 R(),作用于结构的荷载效应表示为随机过程S)。 时变可靠度的影响：叶新一等基于Taylor级数将 则结构在(0，)不发生失效的概率P(T)表示为： Mori-Ellingwood公式由积分运算转化为代数运算； P(T)=PR(-St)>0,1∈(0，T)} (1) 袁阳光等uo基于Gamma随机过程提出杭力非平稳 劣化模型：L等提出了考虑结构劣化和荷载增长 这段时间内发生的荷载效应次数n服从参数为入 非线性的时变可靠度模型：Zhang等基于自适应 的Poisson分布，记为S,S2,,Sm,如图1所示，对 采样法提出了近似最可能点轨MPTT)分析法， 应的发生时刻为0<T<T2<Tm<T,且服从(0，D的均匀 将系统时变响应转化为高斯过程进行可靠度计算。 分布6,2，则发生次数N(I)为n的概率为： 最近，有学者&2.采用等效Kgig模型来处理多 变量系统时变可靠度问题另有学者161采用多项 PlN(T)=n=T°·exp(-T) n! 式混沌展开(PCE)和arhunen-Loeve展开对非平稳 (2) 非高斯过程进行有效模拟，对建立荷载分布类型和 参数都不同的时变可靠度模型提供了思路。 另一方面，对在役桥梁进行时变可靠度评估， 需要考虑历史荷载信息对桥梁时变抗力的验证作用 1。桥梁服役期间经受了高强度历史荷载的验证， 其后继服役期的安全性能未必乐观。既有研究B,9,92 中服从同一分布的荷载随机变量在等时间间隔的重 现频率是一定的，即1为常数。然而，车流量和车 辆荷重均会随着桥梁服役而增大，22。若不考虑上述
Key words time-dependent reliability, non-stationary stochastic process, historical load information, frequency function 一、引言 桥梁结构在服役过程中受到车辆荷载和环境因 素等作用，耐久性下降，承载能力降低。目前，我 国有数量众多的桥梁处于“带病工作”状态，安全 隐患亟需重视[1-2]。由于资金和人力所限，不可能总 是对所有在役桥梁进行及时监测和彻底维修加固。 为了保证桥梁结构的正常运营，需要在可靠度框架 下对其安全性能做出评估，以作为其后续管理、养 护、加固与维修的依据[3]。 我国现行的结构可靠度评估规范[4]未能考虑桥 梁抗力随时间劣化的特性。Mori 和 Ellingwood[5]于 1993 年提出了“时变可靠度”理论：采用平稳 Poisson 过程描述(0,T)时段作用于结构、服从同一分 布的离散化荷载随机变量，其中参数 λ 表示荷载出 现的频率；将时变抗力表示为初始抗力 R0和抗力衰 减函数 g(t)的乘积[6]，提出了时变可靠度计算公式。 该理论能够描述抗力和荷载的时变特性，是当前工 程结构可靠度领域的研究热点[7-8]。 李全旺等[9]采用迭代算法生成服从同一正态分 布的关联荷载样本，讨论了荷载相关性强弱对桥梁 时变可靠度的影响；叶新一等[3]基于 Taylor 级数将 Mori-Ellingwood 公式由积分运算转化为代数运算； 袁阳光等[10]基于 Gamma 随机过程提出了抗力非平稳 劣化模型；Li 等[8]提出了考虑结构劣化和荷载增长 非线性的时变可靠度模型；Zhang 等[11]基于自适应 采样法提出了近似最可能点轨迹(AMPTT)分析法， 将系统时变响应转化为高斯过程进行可靠度计算。 最近，有学者 [8,12-14]采用等效 Kriging 模型来处理多 变量系统时变可靠度问题；另有学者[15-16]采用多项 式混沌展开(PCE)和 Karhunen-Loeve 展开对非平稳 非高斯过程进行有效模拟，对建立荷载分布类型和 参数都不同的时变可靠度模型提供了思路。 另一方面，对在役桥梁进行时变可靠度评估， 需要考虑历史荷载信息对桥梁时变抗力的验证作用 [17-19]。桥梁服役期间经受了高强度历史荷载的验证， 其后继服役期的安全性能未必乐观。既有研究[3,9,19-21] 中服从同一分布的荷载随机变量在等时间间隔的重 现频率是一定的，即 λ 为常数。然而，车流量和车 辆荷重均会随着桥梁服役而增大[1,22]。若不考虑上述 因素，会低估在役桥梁的失效风险。 为解决这个问题，王草等[21]将车载强度均值表 示为 u0+ut 的线性形式，其中 u0和 u 分别为初始均值 和年均增量。Li 等[7]采用频率函数 λ(t)代替 λ，表示 频率随时间发生变化的随机变量，不论荷载服从平 稳或非平稳随机过程均适用。 根据上述分析，本文考虑两种情形：1) λ 为常数、 荷载强度不同的历史验证荷载；2) 验证荷载强度相 同，λ 为时间 t 的函数。采用蒙特卡洛模拟(MCS)法 进行验证，提出基于非平稳随机过程的在役桥梁时 变可靠性分析方法。第二章回顾了时变可靠度理论； 第三章提出了基于 Gamma 过程的荷载频率函数 λ(t)；第四章分析了服役桥梁承载力变异系数降低的 原因，并提出了时变可靠度计算公式；第五章以实 例验证了本文所提理论的实用性；第六章给出了结 论。 二、基于验证荷载实验的时变可靠度计算公式 在评估期(0,T)内任意时刻 t 的时变抗力记为 R(t)，作用于结构的荷载效应表示为随机过程 S(t)。 则结构在(0,T)不发生失效的概率 Pl(T)表示为： P T P R t S t t T l = 0, 0, (1) 这段时间内发生的荷载效应次数 n 服从参数为 λ 的 Poisson 分布，记为 S1, S2, ..., Sn，如图 1 所示，对 应的发生时刻为 0<T1<T2...<Tn<T，且服从(0,T)的均匀 分布[6,25]，则发生次数 N(T)为 n 的概率为： exp ( ) ! n λT λT P N T n n (2) 录用稿件，非最终出版稿
R.S tje2-fs[ra]ak (7) 式(7)即Mori-Ellingwood时变可靠度公式，被国际 ISO《在役结构评估规范》所推荐)。假设某桥梁已 服役T,时长(0<T<T,若要评估后继服役期(T,)的 可靠度，首先要给出在T,时刻的抗力R的分布。验 证荷载实验是评估桥梁结构当前承载力的有效方式 之一，通过该实验可快速得出结构当前承载力的概 率密度函数， 图1 Poisson随机过程示意图 Fig.I Sketch of Poisson stochastic process fsrf（r) 假设荷载效应之间彼此相互独立，且服从同一 Fs(rf(rd山 (8) 分布，累积分布函数为。式)可写为： 然而，通过验证荷载实验仅意味着桥梁在T,时刻承 载力的下限)会(8)不能考虑(0，T)时段的抗力劣 B(T)=P(R()>s.n..nR(t)>S..te(0.T] 化，因低会高估历史荷载对桥梁抗力的验证作用。 [R]=1[R8] 李全麻 等吻基于抗力劣化与衰减函数完全线性相关 的惯设 将服役时长划分为n个区间，其中第i个区 3) 间行， ,n)(4.,的最大荷载效应S,的累计分布函数 设千()表示任意荷载效应S的发生时刻 提出了考虑抗力劣化的验后抗力密度函 (0,)的联合密度函数，则： 数)计算公式： (4 fr小ΠFg] 联立式(3)-(4)得： I (r)= 广-.s小d (9) P(T 其中S,的均值和方差可以依据实测荷载谱采用非参 (5) 数外推法等统计方法获得4。当实验次数足够大时， 将式（⑤）代入式(2)，伊注意到结构可靠的必要条件为 式9和MCS得出的A结果几乎相同。不过，李 荷载效应大于初始抗的次数N(T)=020。整理得： 全旺等叫采用了第一个统计区间的最大荷载效应累计 Bm-aie[gn} 分布函数F(s)进行全局计算，因此是平稳过程， 且未能充分考虑不同区间最大荷载效应分布之间的 考虑初始抗力R的随机性，设其概率密度函数为 关联性。基于Copula函数理论，2，考虑了一种简 f口，则有： 单情况：关联荷载只服从同一正态分布。结果表明： 荷载之间的时间相关性越强，则验后抗力R的均值 增加和方差降低越不显著，结果越接近T时刻的理 论劣化分布。因此，为了增强历史荷载验证的效果
图 1 Poisson 随机过程示意图 Fig.1 Sketch of Poisson stochastic process 假设荷载效应之间彼此相互独立，且服从同一 分布，累积分布函数为 FS 。式(1)可写为： 1 1 0 1 1 ( ) ... , 0, = l n n n n S i S i i i P T P R t S R t S t T F R t F R g t (3) 设 * * T f t 表示任意荷载效应 Si 的发生时刻 t *在 (0,T)的联合密度函数，则： * * 1 = T f t T (4) 联立式(3)-(4)得： 0 0 1 ( ) d n T P T F R g t t l S i T (5) 将式(5)代入式(2)，并注意到结构可靠的必要条件为 荷载效应大于初始抗力的次数 N(T)=0[20]。整理得： 0 0 = exp d T P T l s λ T F R g t t (6) 考虑初始抗力 R0 的随机性，设其概率密度函数为 R0 f r ，则有： 0 0 0 = exp d d T P T l s R λ T F r g t t f r r (7) 式(7)即 Mori-Ellingwood 时变可靠度公式，被国际 ISO《在役结构评估规范》所推荐[3]。假设某桥梁已 服役 T1时长(0< T1<T)，若要评估后继服役期(T1,T)的 可靠度，首先要给出在 T1时刻的抗力 R1的分布。验 证荷载实验是评估桥梁结构当前承载力的有效方式 之一，通过该实验可快速得出结构当前承载力的概 率密度函数 R1 f r [23]： 0 1 0 = d S R R S R F r f r f r F r f r r (8) 然而，通过验证荷载实验仅意味着桥梁在 T1时刻承 载力的下限[17]，且式(8)不能考虑(0,T1)时段的抗力劣 化，因此会高估历史荷载对桥梁抗力的验证作用。 李全旺等[19]基于抗力劣化与衰减函数完全线性相关 的假设，将服役时长划分为 n 个区间，其中第 i 个区 间(i=1,2,...,n)(ti-1,ti]的最大荷载效应 Si的累计分布函数 为 F s S i, ，提出了考虑抗力劣化的验后抗力密度函 数 R1 f r 计算公式： 1 , 0 1 , 0 1 = d n R S i i i R n R S i i i f r F r g t f r f r F r g t r (9) 其中 Si的均值和方差可以依据实测荷载谱采用非参 数外推法等统计方法获得[24]。当实验次数足够大时， 式(9)和 MCS 得出的 R1 f r 结果几乎相同。不过，李 全旺等[11]采用了第一个统计区间的最大荷载效应累计 分布函数 F s S ,1 进行全局计算，因此是平稳过程， 且未能充分考虑不同区间最大荷载效应分布之间的 关联性[24]。基于 Copula 函数理论[4,25]，考虑了一种简 单情况：关联荷载只服从同一正态分布。结果表明： 荷载之间的时间相关性越强，则验后抗力 R1的均值 增加和方差降低越不显著，结果越接近 T1时刻的理 论劣化分布。因此，为了增强历史荷载验证的效果， 录用稿件，非最终出版稿
本文不考虑车辆荷载之间的相关性。 -·-(0)=2+0.231 三、基于Gamma随机过程的频率函数2(0 11 -▲-(t=2+0.05+0.05 10 -◆-02+0.002+0.016-0.000262 9 设()表示结构的灾害函数，定义为结构成功 服役(0，)时段后，在1什△1时刻发生破坏6刃。表示为： 7 6 h(t)=-- fin(B())] 5 dt (10) 4 31 采用频率函数)代替常数1，将式(10)代入式(7)， 2 TTT 整理得： 30 35 40 o-jepi4l-e[rgoa人r (11) Fig.2 Diagr ad frequency function 若不考虑疲劳效应，钢筋锈蚀是钢筋混凝土构 现考虑对应的等效Gamma非平稳过程。将 件抗力退化的主要原因：衰减函数g)可采用下式 考察期0，)汾为个等区间的时间间隔(0，T),(T,1T2), 计算P: (Tn,A每一个时间间隔(T.,T≥1)的频率增量 1,t<to 8(t)= 以向表示为该间隔的平均增量D,和一个服从 1-kt-。+k-°，t202 Gama过程的独立随机变量序列x的乘积，则()对 应的等效Gamma随机过程表达式为： 其中6是结构服役到开始发生锈蚀所经历的时间： k和是参数。依据此式计算已服役时段(O,T)的劣 0=2+∑D·x 化抗力理论值。上式表明，抗力在任意时刻的衰减 (14) 值是可以完全预测的，因此是一个平稳过程。 桥梁服役以来，每日通勤次数并非单调递增， 其中增量D按照下式计算： 但以一个时期的总体数量或平均值则表现出非 平稳增长的特性2四。因此，可以用袁阳光等提出 D=(,)-1-) (15) 的Gamma随机过程法进行本文须率函数(t)的模拟。 据统计，新建桥梁在服役第0年的日均车流 X~Go 量约为第一年的3至4倍，◇沮在随后的服役期呈现更 其中m为形状参数。 快的增长趋势。按照不同荷重的车辆等概率出现的 设时间间隔为1a,考虑每年的荷载频率增量 原则，设T=0时刻某强度的最大车辆荷载频率为一 △()分别为彼此独立和彼此相关联的随机过程，独 年两次，即(0)=2@)在第40年的荷载频率约为 立荷载增量分别取参数m=10,50和100：关联荷载 第1年的5.5至6倍，分别采用一次、二次和三次函 增量分别取m=1,5和10进行()的非平稳过程模拟。 数来描述频率函数()如下： 结果分别如图3和图4所示： [2+0.231 2(= 2+0.051+0.0052 2+0.0021+0.01612-0.0002613 (13) 对应的(40)依次为11.2,12和11.041/a)。荷载的频 率函数如图2所示：
本文不考虑车辆荷载之间的相关性。 三、基于 Gamma 随机过程的频率函数 λ(t) 设 h(t)表示结构的灾害函数，定义为结构成功 服役(0,t)时段后，在 t+Δt 时刻发生破坏[6-7]。表示为： d P t ln l h t dt (10) 采用频率函数 λ(t)代替常数 λ，将式(10)代入式(7)， 整理得： 0 0 0 = exp 1 d d t P t l s R λ t F r g t t f r r (11) 若不考虑疲劳效应，钢筋锈蚀是钢筋混凝土构 件抗力退化的主要原因；衰减函数 g(t)可采用下式 计算[26]： 0 2 1 0 2 0 0 1, ( ) 1 , t t g t k t t k t t t t (12) 其中 t0是结构服役到开始发生锈蚀所经历的时间； k1和 k2是参数。依据此式计算已服役时段(0,T1)的劣 化抗力理论值。上式表明，抗力在任意时刻的衰减 值是可以完全预测的，因此是一个平稳过程。 桥梁服役以来，每日通勤次数并非单调递增， 但以一个时期的总体数量或平均值计，则表现出非 平稳增长的特性[22]。因此，可以采用袁阳光等[10]提出 的 Gamma 随机过程法进行本文频率函数 λ(t)的模拟。 据统计[22]，新建桥梁在服役第 10 年的日均车流 量约为第一年的 3 至 4 倍，且在随后的服役期呈现更 快的增长趋势。按照不同荷重的车辆等概率出现的 原则，设 T=0 时刻某强度的最大车辆荷载频率为一 年两次，即 λ(0)=2(1/a)，在第 40 年的荷载频率约为 第 1 年的 5.5 至 6 倍，分别采用一次、二次和三次函 数来描述频率函数 λ(t)如下： 2 2 3 2 0.23 2 0.05 0.005 2 0.002 0.016 0.00026 t t t t t t t (13) 对应的 λ(40)依次为 11.2,12 和 11.04(1/a)。荷载的频 率函数如图 2 所示： 图 2 荷载频率函数图 Fig.2 Diagram of load frequency function 现考虑 λ(t)对应的等效 Gamma 非平稳过程。将 考察期(0,T)分为 n 个等区间的时间间隔(0,T1),(T1,T2),⋯ ,(Tn-1,T)，每一个时间间隔(Ti-1,Ti)(i≥1)的频率增量 Δλ(ti)可以表示为该间隔的平均增量 ˆDi 和一个服从 Gamma 过程的独立随机变量序列 χi的乘积，则 λ(t)对 应的等效 Gamma 随机过程表达式为： 1 ˆ ( ) 2 T i i i λ t D χ (14) 其中增量 ˆDi 按照下式计算： 1 ˆ = ( ) ( ) Di i i λ t λ t (15) 1 ~ , i χ Ga m m ，其中 m 为形状参数。 设时间间隔为 1a，考虑每年的荷载频率增量 Δλ(t)分别为彼此独立和彼此相关联的随机过程，独 立荷载增量分别取参数 m=10，50 和 100；关联荷载 增量分别取 m=1，5 和 10 进行 λ(t)的非平稳过程模拟。 结果分别如图 3 和图 4 所示： 录用稿件，非最终出版稿
--(t0=2+0.231 。一0-2+0.231 =10 210 ==-m=5 -----m=50 …m10 100 9 87 6 5 3 2 0 20 25 30 35 25 30 35 40 Service time (a) (a) 17 15 -·-d0)=2+0.05+0.005r -m=10 13 m50 2 =00 9 10- 9 6 非最终版 10 0253035 2 40 0 5 20 30 35 Service time(a) Service time (a) (b) (b) 16 15 --2+0.002+0.016-0.00026 m=10 11 -20=2+0.002+ 3 =50 0.016f-0.00026f …7=100 m=1 ---=5 …m10 4 3 2 15 025303540 20 25 30 35 0 20 30 0 Service time (a) Service time (a) (c) (c) 图3独立增量Gamma过程：(a)一次函数：(b)二次函数：(c)三次函数 图4关联增量Gamma过程：(a)一次函数：(b)二次函数：(c)三次函数 Fig.3 Gamma process of independent-increment:(a)linear function;(b) Fig.4 Gamma process of dependent-increment:(a)linear function;(b) quadratic function;(c)cubic function quadratic function;(c)cubic function 由图3和图4可知，参数m越大，Gamma过程
(a) (b) (c) 图 3 独立增量 Gamma 过程：(a) 一次函数；(b) 二次函数；(c) 三次函数 Fig. 3 Gamma process of independent-increment: (a) linear function; (b) quadratic function; (c) cubic function (a) (b) (c) 图 4 关联增量 Gamma 过程：(a) 一次函数；(b) 二次函数；(c) 三次函数 Fig. 4 Gamma process of dependent-increment: (a) linear function; (b) quadratic function; (c) cubic function 由图 3 和图 4 可知，参数 m 越大，Gamma 过程 录用稿件，非最终出版稿