解的线性性质 定理2h1(m)和h2(m)是递推方程的解, c1,C2为任意常数, 则c1h1(m)+c2h2(m)是递推方程的解. 证明将c1h1(m)+c2h2(m)代入递推方程左边, 化简后等于0 推论:若q1yg2,…,qk是递推方程的特征根, 则cq1"+c2q2+.+ckqk是递推方程的解, 其中c1,C2…,k是任意常数
11 定理 2 h1(n)和 h2(n)是递推方程的解， c1,c2 为任意常数， 则 c1h1(n)+c2h2(n)是递推方程的解. 证明 将 c1h1(n)+c2h2(n)代入递推方程左边， 化简后等于 0 推论：若 q1,q2,…,qk是递推方程的特征根， 则 c1q1n+c2q2n+…+ckqkn 是递推方程的解， 其中 c1, c2, …, ck是任意常数. 解的线性性质
无重根下通解的结构 通解定义: 若对递推方程的每个解l()都存在一组常数c1’, c23,,ck使得h(m)=c1'q"+c2’q2+.+ckqk"成立, 则称cqn"+c2q2+.+ckqk"为通解 定理3设q,q2,,k是递推方程不等的特征根, 则H(n)=c1q1"+c2q2+.1+cAqk为通解
12 通解定义： 若对递推方程的每个解 h(n)都存在一组常数 c1’, c2’, …, ck’ 使得 h(n)=c1’q1n+c2’q2n+…+ck’qkn 成立， 则称 c1q1n+c2q2n+…+ckqkn为通解. 定理 3 设 q1, q2, … , qk是递推方程不等的特征根， 则 H(n)= c1q1n+c2q2n+…+ckqkn 为通解. 无重根下通解的结构
定理的证明 证:H(n)是解 设h(m)是递推方程的任意解, h(0),h(1),…,l(k-1)由初值bb1,…,bk1唯一确定 C1"+c2"+…+Ck=b CI q1+C292 t.+CKqk =by q1"a,k-1 k-1 k-1 q2+…+Ckqk b k-1 系数行列式I (q1-q;)≠0当q≠9时 l≤ijk 方程组有唯一解
13 定理的证明 证： H( n )是解. 设 h ( n )是递推方程的任意解， h(0), h(1), …, h ( k-1)由初值 b 0, b 1, … , b k-1唯一确定. + + + = + + + = + + + = − − − − 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 0 ' ' ... ' ... ' ' ... ' ' ' ... ' k k k k k k k k k c q c q c q b c q c q c q b c c c b 系数行列式 ( ) 0 1 ∏ − ≠ ≤i< j ≤ k i j q q 当 qi ≠ qj 时 方程组有唯一解
求解实例 例4 Fib数列,特征根为1+5,1-5, 2 2 n 通解为fn=c1 1+√5 2 2 带入初值f6=1,f=1,得 1+√5+C22 解得4=52 11+√5 n n+1 十 2 2
14 例 4 Fibonnaci 数列，特征根为 2 1 5 , 2 1 + 5 − ， 通解为 n n nf c c − + + = 2 1 5 2 1 5 1 2 带入初值 f0 =1, f1=1, 得 = − + + + = 1 2 1 5 2 1 51 1 2 1 2 c c c c 解得 2 1 5 51 , 2 1 5 51 1 2 − = − + c = c 1 1 2 1 5 5 1 2 1 5 5 1 + + − − + = n n nf 求解实例