电子科技大学：《数学物理方程与特殊函数 Mathematical Physics Equations with Special Function》课程教学资源（课件讲稿）第八章 Legendre多项式 §8.2 母函数与正交性

§8.2母函数与正交性 一、Legendre多项式母函数 w(x,z)=∑P(x)z” Legendre多项式 n/2] P(x)=(-1)" (2n-2m)g 比n-2m =0 2"m.(n-m)(n-2m)! 制/01+ 母函数 第色 [n/2]= n/2, n为正偶数时 (n-1)/2,n为正奇数时

§8.2 母函数与正交性 一、 Legendre多项式母函数     0 ( , ) ( ) n n n w x z P x z        [ / 2] 0 2 2 !( )!( 2 )! (2 2 )! ( ) ( 1) n m n m n m n x m n m n m n m P x n 为正偶数时  n 为正奇数时     ( 1)/ 2, / 2, [ / 2] n n n Legendre多项式

4π正电荷位于单位球北极P,球域内点M的电势 d为M到P的距离。由余弦定理 ⊕ P(1,0,0) d=1+r2-2rcose M(r,e,p) 4πε正电荷电势表达式 1-d r2-2rc0s0+1 电势满足方程： △u=-4πδ(M-M) c.(cmo

4πε正电荷 位于单位球北极P, 球域内点 M 的电势 d 为M 到P 的距离。由余弦定理 1 2 cos 2 d   r  r 4πε正电荷电势表达式 2 cos 1 1 1 2    d r r  M(r,,) O P(1,0,0)  1 r d 电势满足方程： 4 ( ) u    M  M0 0 (cos ) n n n n n n d u c r P r            

因此， r29-到.omo .(co0 令c0s0=1 -oreo-Zor 1 r2-2r+1 由 1 +00 1 得cn=1 =0 F-2g42ramove1

因此， 2 0 0 1 (cos ) 2 cos 1 (cos ), 1 n n n n n n n n n n d c r P r r r c r P r                      2 0 0 1 (1) 2 1 n n n n n n n c r P c r r r           令 cos 1   0 1 1 n n r r     由  得 1 n c  2 0 1 (cos ), 1 2 cos 1 n n n r P r r r         

取x=cos0,4πe正电荷电势表达式 .(x)r" /r2-2xr+1 n=0 取=z得 1 +00 z2-2xz+1 ∑Pn(x)z” n=0 因此，母函数为 1 w(x,z)= √V22-2xz+1

取 x  cos , 4πε正电荷电势表达式 2 0 1 ( ) 2 1 n n n P x r r xr       取 r=z 得 2 0 1 ( ) 2 1 n n n P x z z xz       因此，母函数为 2 1 ( , ) 2 1 w x z z xz   

二、Legendre多项式递推关系 =(x-z)1-2xz+z2)3/2 Oz 1-2xz+z2)a2+(z-x)w=（ w(x,z)=之Pn(x)z” =0 1-2xz+z2)2nP21+(z-x)Pz”=0 递推关系1： (n+1)P+1-(2n+1)xP+nPa-1=0 (n=1,2,…)

2 3/ 2 ( )(1 2 )        x z xz z z w (1 2 ) ( ) 0 2        z x w z w xz z     0 ( , ) ( ) n n n w x z P x z (1 2 ) ( ) 0 1 0 2 1             n n n n n n xz z nP z z x P z (n1)Pn1 (2n1)xPn  nPn1  0 (n  1, 2, ) 二、 Legendre多项式递推关系 递推关系1：