收敛半径的求法 1比值法 定理设幂级数∑anx",如果极限 0 lim+ n→)0 有确定意义,则幂级数的收敛半径为
收敛半径的求法 1.比值法 定理 设幂级数 ，如果极限 0 n n n a x ∞ = ∑ 1 li m n n n a a ρ + → ∞ = 有确定意义，则幂级数的收敛半径为
R p=0 0p=+ 证考虑幂级数∑{x|,由正项级数的比值法, n n+1 +1 并设极限 n→|a n
1 0< < = 0 0 R ρ ρ ρ ρ ⎧ ⎪ ∞ ⎪ ⎪ = + ⎨ ∞ ⎪ ⎪ ⎪⎩ = + ∞ 证 考虑幂级数 ,由正项级数的比值法， 0 n n n a x ∞ = ∑ 1 1 1 n n n n n n a x a x a x a + + + = 1 li m n n n a a ρ + → ∞ 并设极限 =
有意义,则 (1)若p≠0且p≠∞,则由比值判别法,当px<1时,级数 绝对收敛;当px>1时,级数发散。即收敛半径为 R= (2)若p=0时,则由比值判别法 n+1 n+1 0. 即,幂级数对任何x均收敛
有意义，则 (1)若ρπ0且ρπ∞，则由比值判别法，当ρ|x|<1时，级数 绝对收敛；当ρ|x|>1时，级数发散。即收敛半径为 1 R . ρ = (2)若ρ=0时，则由比值判别法， 1 1 1 lim lim 0, n n n n n n n n a x a x a x a + + + → ∞ → ∞ = = 即，幂级数对任何x均收敛
)若p=∞时,则由比值判别法,当x≠0时,有 +1 n+1 =lm x=+∞> n→) X n→>|a 故级数发散
(2)若ρ=∞时，则由比值判别法，当xπ0时，有 1 1 1 lim lim 1, n n n n n n n n a x a x a x a + + + → ∞ → ∞ = = +∞ > 故级数发散。 g
例3求下列幂级数的收敛半径和收敛区间 (-1) n=042n n=0 解1 2 n+1 Im an|n(n+1)2 n+1 n22
例3 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间： 1. ; 2. 1 1 ( 1) 2 n n n n x n ∞ − = − ∑ ( ) 0 1 1 n n x n ∞ = ∑ − 3. 4. 2 0 1 4 n n n x n ∞ = ∑ 0 1 ! n n x n ∞ = ∑ 0 ! n n n x ∞ = ∑ 解 1. 5. 1 1 1 1 1 lim lim / , ( 1)2 2 2 n n n n n n aann + → ∞ → ∞ + = = + 1 1 ( 1) 2 n n n n x n ∞ − = − ∑