幂级数收敛域的结构 设幂级数 +a1x+a2x+…+anX+ n=0 则幂级数在z=处收敛,即收敛域非空。当x≠0时,有如 下的定理
幂级数收敛域的结构 设幂级数 2 0 1 2 0 . n n n n n a x a a x a x a x ∞ = ∑ = + + +" " + + 则幂级数在z=0处收敛，即收敛域非空。当 x ≠ 0时，有如 下的定理
4定理阿贝尔)如果幂级数(2)在x=x处收敛,则当 x<-c时,级数绝对收敛;若幂级数在x=x处发散,则 当px<xo时,级数发散。 证设x是幂级数的一个收敛点,即 ∑ ao+axo+a2x0+…+ 收敛,→ lim a, xo=0,即数列(anx3)有界 n→0 存在M>0,满足 <M,(n=012
定理(阿贝尔) 如果幂级数 在x=x0处收敛，则当 |x|<|x0|时，级数绝对收敛；若幂级数在x=x0处发散，则 当|x|<|x0|时，级数发散。 ( 2 ) 证 设x0是幂级数的一个收敛点，即 0 0 1 0 2 0 0 0 n n n n n n a x a a x a x a x ∞ = ∑ = + + +" " + + 收敛，⇒ ，即数列 有界，即 存在M>0，满足 0 lim 0 n n n a x →∞ = ( 0 ) 0 n n n a x ∞= 0 , ( 0,1,2, ) n n a x < = M n
4由此得到,当x<xo时,有 M 而等比级数∑M_收敛,→级数 n=0 ∑ anx =ao + a x +,tanx t n=0 绝对收敛。 反之,若级数∑ax发散,则当xx时,若∑anx
由此得到，当|x|<| x 0|时，有 0 0 0 0 0 n n n n n n n n n n n n x x x a x a x a x M x x x = = ≤ 而等比级数 收敛， ⇒级数 0 0 n n n x M x ∞ = ∑ 2 0 1 2 0 . n n n n n a x a a x a x a x ∞ = ∑ = + + +" " + + 绝对收敛。 反之，若级数 发散，则当|x|<| x 0 0 |时，若 0 n n n a x ∞ = ∑ 0 n n n a x ∞ = ∑
则由前面所证,→∑a1x收敛,这和已知的矛盾 故∑anx”发散。 由此定理,得幂级数的收敛域有如下特征:收敛域从 原点开始向两端扩张,初始时遇到的均为收敛点,在某 o一时刻,遇到发散点,以后的所有点均发散。 发散
则由前面所证，⇒ 收敛，这和已知的矛盾。 故 发散。 0 0 n n n a x ∞ = ∑ 0 n n n a x ∞ = ∑ g 由此定理，得幂级数的收敛域有如下特征：收敛域从 原点开始向两端扩张，初始时遇到的均为收敛点，在某 一时刻，遇到发散点，以后的所有点均发散。 发散 收敛
由定理得到如下的推论: 推论当幂级数(2)的收敛域K不是单点集时 1)如果K是有界集,则必定有一个确定的正数R,当 kx<R时,幂级数绝对收敛;当x>R时,幂级数发散 (2)如果K是无界集,则K=(-∞,∞)。 注这样的R称为幂级数的收敛半径。 例幂级数∑x"的收敛半径为1。 n=1
由定理得到如下的推论： 推论 当幂级数(2)的收敛域 K不是单点集时， (1)如果 K是有界集，则必定有一个确定的正数 R，当 |x|<R时，幂级数绝对收敛；当|x|>R时，幂级数发散； (2)如果 K是无界集，则K=(- ∞ , ∞ ) 。 注 这样的 R称为幂级数的收敛半径。 例 幂级数 的收敛半径为 1 。 1 n n x ∞ = ∑