则线性函数L满足 L(P/(x)=P(a)1,=/,,j=1,2,…n 0.i≠ 因此,L1,L2…,L是p(x),P2(x)…,Pn(x)的对偶基 下面讨论V的两组基的对偶基之间的关系 设V是数域P上一个n维线性空间.1,E2,…,En及n1,n2…7n是V的两组基 它们的对偶基分别是f1f2…,fn及g12…,gn再设 (1,n2,…n)=(61,E2,…,En)A (g1,g2…,8n)=(f1,J2,…,fn)B 其中 b1b2…b A B a 由假设 7=a151+a2E2+…+anEn,i=1,2,…,n, g=b,f1+b22+…+bnJ,J=1,2,…,n 因此 g(m)=∑bf(an51+a212+…+anFn) J 0,1≠ 由矩阵乘法定义,即得 BA=E 即 B′=A 定理3设61,E2…,En及n22…,7n是线性空间V的两组基,它们的对偶基
则线性函数 Li 满足 , , 1,2, , . 0 , , 1, ; ( ( )) ( ) i j n i j i j Li p j x p j ai = = = = 因此， L L Ln , , , 1 2 是 ( ), ( ), , ( ) 1 2 p x p x p x n 的对偶基. 下面讨论 V 的两组基的对偶基之间的关系. 设 V 是数域 P 上一个 n 维线性空间. n , , , 1 2 及 n , , , 1 2 是 V 的两组基. 它们的对偶基分别是 n f , f , , f 1 2 及 g g gn , , , 1 2 .再设 (1 ,2 , ,n ) = ( 1 , 2 , , n )A (g1 , g2 , , gn ) = ( f 1 , f 2 , , f n )B 其中 = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 , = n n nn n n b b b b b b b b b B 1 2 21 22 2 11 12 1 由假设 i = a1i 1 + a2i 2 ++ ani n , i =1 , 2 , ,n , gi = b1 j f 1 + b2 j f 2 ++ bnj f n , j = 1, 2, ,n . 因此 i j n i j i j b a b a b a g b f a a a j i j i nj ni i i ni n n k j i kj k , 1 , 2 , , 0 , , 1 , ; ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 = = = = + + + = + + + = 由矩阵乘法定义，即得 BA = E 即 −1 B = A 定理 3 设 n , , , 1 2 及 n , , , 1 2 是线性空间 V 的两组基，它们的对偶基
分别为f1,f2…fn及g1,82…,8n如果由E1,E2…,En到m1,n2…,n的过渡矩阵 为A,那么由f,f2…到g182…,gn的过渡矩阵为(A) 设V是P上一个线性空间,是其对偶空间,取定V中一个向量x,定义V 的一个函数x“如下 x"(O)=f(x),f∈V 根据线性函数的定义,容易检验x”是V上的一个线性函数,因此是的对偶空 间)=“中的一个元素 定理4V是一个线性空间,V“是V的对偶空间的对偶空间.V到V“的映 射 x→x 是一个同构映射 这个定理说明,线性空间V也可看成V的线性函数空间,V与实际上是 互为线性函数空间的这就是对偶空间名词的来由由此可知,任一线性空间都可 看成某个线性空间的线性函数所成的空间,这个看法在多线性代数中是很重要 的
分别为 n f , f , , f 1 2 及 g g gn , , , 1 2 .如果由 n , , , 1 2 到 n , , , 1 2 的过渡矩阵 为 A ，那么由 n f , f , , f 1 2 到 g g gn , , , 1 2 的过渡矩阵为 1 ( ) − A . 设 V 是 P 上一个线性空间， V 是其对偶空间，取定 V 中一个向量 x ，定义 V 的一个函数 x 如下： x ( f ) = f (x), f V . 根据线性函数的定义，容易检验 x 是 V 上的一个线性函数，因此是 V 的对偶空 间 (V ) = V 中的一个元素. 定理 4 V 是一个线性空间， V 是 V 的对偶空间的对偶空间. V 到 V 的映 射 → x x 是一个同构映射. 这个定理说明，线性空间 V 也可看成 V 的线性函数空间， V 与 V 实际上是 互为线性函数空间的.这就是对偶空间名词的来由.由此可知，任一线性空间都可 看成某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代数中是很重要 的