《数值计算》课程教学课件（讲稿）第8章 常微分方程的数值解法（2/2）

例：考察显式欧拉法yi+r=y,+hay,=(l+h)iyoImgCo = yo- y。 Ji+i=(1+h)i+l joRe8i+1 = yi+1 - Ji+1 =(1+h)i+l o由此可见，要保证初始误差&以后逐步衰减，h=ah必须满足：|1+h|<1个Img例：考察隐式欧拉法yi+1=y+hayi+1i+1Yi+16o6i+1-1-h-2Re可见绝对稳定区域为：[1-h|>1注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式上页法的好。下页返圆

上页 下页 返回 例：考察显式欧拉法 0 1 1 y y h y (1 h) y i i i i        0 0 0   y  y 0 1 1 y (1 h) y i i     0 1 1 1 1  (1 )          i i yi yi h 由此可见，要保证初始误差0 以后逐步衰减， 必须满足： h   h |1 h|  1 -2 -1 0 Re Img 例：考察隐式欧拉法 i1  i  i1 y y h y i i y h y          1 1 1 0 1 1 1 1             i i h 可见绝对稳定区域为： |1h|  1 0 1 2 Re Img 注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式 法的好

Ji+i =y; +h[a,K, +... +amKm]例：隐式龙格-库塔法K, =f(x, +a,h, y, +β,hK, +... +βjmhKm)(j=l,...,m)Yi+I = y; +hK,hh其中2阶方法的绝对稳定区域为K,=f(x,+,y +"K.22个Img而显式1~4阶方法的绝对稳定区域为个Imgk=4330Rek=2k=1>-3-2-1Re无条件稳定上页下页返回

上页 下页 返回 例：隐式龙格-库塔法                 ( 1, . , ) ( , . ) [ . ] 1 1 1 1 1 j m K f x h y hK hK y y h K K j i j i j jm m i i m m      而显式 1~ 4 阶方法的绝对稳定 区域为           ) 2 , 2 ( 1 1 1 1 K h y h K f x y y hK i i i i 其中2阶方法 的绝对稳定区域为 0 Re Img k=1 k=2 k=3 k=4 -3 -2 -1 - - - 1 2 3 Re Img 无条件稳定

85线性多步法当β-时，为隐式公式;两步欧拉公式：Ji+1=y用若干节点处的y及βI=0则为显式公式。其通式可写为：Yi+ =αy, +αi yi- +.+αyi-k +h(β-. fi+ +βofi + β fi- +.+ β fi-k)>基于数值积分的构造法将'=f(x,y)在[x;,xitil 上积分，得到y(xi+1) - y(x,) = (x* f(x, y(x)dx只要近似地算出右边的积分Ik~f(x,y(x))dx，则可通过yi+1=y;+I近似y(xi+1)。而选用不同近似式Ik，可得到不上页同的计算公式。下页返圆

上页 下页 返回 用若干节点处的y 及 y’ 值的线性组合来近似y(xi+1)。 . ( . ) i 1 0 i 1 i 1 k i k 1 i 1 0 i 1 i 1 k i k y y y y h f f f f                     其通式可写为： ( , ) j j j f  f x y  基于数值积分的构造法 将 y  f (x, y) 在 [xi , xi1 ] 上积分，得到      1 ( ) ( ) ( , ( )) 1 i i x x y xi y xi f x y x d x 只要近似地算出右边的积分 ，则可通 过 近似y(xi+1)。而选用不同近似式Ik，可得到不 同的计算公式。    1 ( , ( )) i i x x I k f x y x dx i i k y  y  I 1 §5 线性多步法 两步欧拉公式： yi1  yi1  2h 当 f (xi , yi ) i  1, . ,n 1 10 时，为隐式公式; 1=0 则为显式公式

亚当姆斯显式公式利用k+1个节点上的被积函数值fi,fi-,,fi-k构造k阶牛顿后插多项式N,(x,+th)，te[0,1],有[*" f(x,y(x)dx=["N,(x, +th)hdt+'R,(x, +th)hdtYi+ = y;+hf"'N,(x, +th)dt牛顿插值余项局部截断误差为：R;=(xi+1)-i+1=h[,R(x,+th例: k-1 时有 N;(x; +th)=f;+t(f;-fi-1)hYi1 = y +hf,lf, +t(f; - fi-)Idt = y; +=(3f - fil)2R, =hf"d"f(s,y(5) 15上页h'y"()th(t +1)h dt =dx?02!12下页返圆

上页 下页 返回  亚当姆斯显式公式 利用k+1 个节点上的被积函数值 构造 k 阶牛顿 后插多项式 , 有 i i i k f f f   , , . , 1 N (x  th) , t [0, 1] k i         1 0 1 0 ( , ( ) ) ( ) ( ) 1 f x y x d x N x th hd t R x th hd t k i x x k i i i 牛顿 插值余项 y y h N x th dt i i k i ( ) 1 0 1      局部截断误差为：        1 0 1 1 R y(x ) y h R (x th)d t i i i k i 例：k=1 时有 ( ) ( ) 1 i   i  i  i1 N x th f t f f            1 0 1 1 1 (3 ) 2 [ ( )] i i i i i i i i f f h y y h f t f f dt y th t h d t d x d f y R h x x i ( 1) 2! 1 ( , ( )) 1 0 2 2      ( ) 12 5 3 i  h y 

注：一般有R, =B,hk+2 y(k+2)(5)，其中B,与yi+i计算公式中fi....fi-各项的系数均可查表得到。kBkJifi-1 fi-2 Ji-31-252013-21238231652121212552515937324242472024常用的是k=3的4阶亚当姆斯显式公式上页h(55f -59 f- +37f-, -9 f-3)Ji+1 =Y, +下页24返圆

上页 下页 返回 注：一般有 ，其中Bk 与yi+1 计算公式 中 fi , ., fik 各项的系数均可查表得到。 ( ) 2 ( 2) i k k i k R B h y     0 1 1 2 3 k 2 1 2 3 12 23 24 55 2 1  12 16  24 59  12 5 24 37 24 9  12 5 8 3 720 251 fi fi1 fi2 fi3 . Bk . . . . . . . 常用的是 k = 3 的4阶亚当姆斯显式公式 (55 59 37 9 ) 24 i1  i  i  i1  i2  i3 f f f f h y y