(上定关孝 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 线性相关性 定义I 对向量组ax1,a2…,am若存在一组不全为零的数 29m 使得k1ax1+k2a2+…+knam=0 则称此向量组线性相关,否则称为线性无关 等价定义∏若向量组a1,a2y,am中存在一个向量能由其它 向量线性表出,则称此向量组线性相关, 否则称为线性无关
线性相关性 定义I 等价定义II 则称此向量组线性相关，否则称为线性无关 对向量组 1 ,2 ,..., m 若存在一组不全为零的数 k1 ,k2 ,...,km 使得 k11 + k22 + ... + km m = 0 若向量组 1 , 2 ,..., m 中存在一个向量能由其它 向量线性表出，则称此向量组线性相关， 否则称为线性无关
(上定关孝 O TONG UNIVERSITY 注:1、单个向量a构成的向量组线性相关的充要条件是 该向量α为零向量。 注:2、向量组含有零向量必线性相关 3、两个向量组成的 向量的各分量 注 向量组线性相关 对应成比例 注:|、从几何角度解释:两个三维向量线性相关,表示这 两个相向量在空间共线, 三个三维向量线性相关,表示这三个相向量在空间共
注： 1、单个向量α构成的向量组线性相关的充要条件是 该向量α为零向量。 注： 2、向量组含有零向量必线性相关 注： 3、两个向量组成的 向量组线性相关 向量的各分量 对应成比例 注： 4、从几何角度解释：两个三维向量线性相关，表示这 两个相向量在空间共线， 三个三维向量线性相关，表示这三个相向量在空间共 面
(上潇文大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 例讨论下列n维向量组的相关性 an1=(10…000) 000), 111)
例 讨论下列 n 维向量组的相关性 (1 1 1 1 1) (1 1 0 0 0), (1 0 0 0 0), 2 1 = = n
(上潇文大字 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 向量的线性相关性与线性方程组的关系 定理: 齐次线性方程组有非零解系数矩阵的列向量线性相关 推论1向量组a1,a2,.m线性相关→线性方程组 x1a1+x2a2+…+xnn=0(或AX=0)有非零解 其中A=[a1a2…am
x11 + x22 + ... + xm m = 0 (或 AX = 0） 有非零解 推论1 向量组 1 , 2 ,..., m 线性相关 线性方程组 其中 A = 1 2 m 定理： 齐次线性方程组有非零解 系数矩阵的列向量线性相关 向量的线性相关性与线性方程组的关系
(上定关孝 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 11 12 若 上述结论如何? 21 2m 92 9 注:此时矩阵为方阵 12 n 推论1*a1;a2,…,.m线性相关矩阵A降秩,即 R(A)<m A=0即,矩阵A是奇异的 其中A=[ax1a2…an1]
= = = mm m m m m m a a a a a a a a a 2 1 2 22 12 2 1 21 11 1 , , , 若 上述结论如何？， 注：此时矩阵为方阵 其中 A m = 1 2 推论1* 1 , 2 ,..., m 线性相关 R(A) m 矩阵A降秩，即 A = 0 即，矩阵A是奇异的