侧阅读与思考 为什么要证明 小明：我们观察任意一个三角形，量出它的每个内角，都能 得出它的内角和等于180°，为什么还要证明这个结论呢？ 李老师：通过观察、试验等可以寻找规律，但是由于观察可 能有误差，试验可能受干扰，考察对象可能不具有一般性等原 因，一般来说由观察、试验等所产生的“结论”未必正确.例 如，让一个班的学生每人任意画一个三角形，再量出它的每个内 角，计算三个内角的和，得到的结果未必全是180°，可能有的会 比180大些，有的会比180°小些. 小明：如果观察细致，仪器精确，不产生误差，还需要证明吗？ 李老师：仅通过观察、试验等就下结论有时也缺乏说服力，例如， 即使不考虑误差等因素，当上面观察的所有结果全是180°时，人们还会 有疑问：“不同形状的三角形有无数个，我们画出并验证的只是其中有 限个，其余的三角形的内角和是多少呢？能对所有的三角形都进行验证 吗？”事实上，不管我们经历多长时间，画出多少个三角形，观察、 试验的对象也是有限个.因此，要确认“三角形的内角和等于180” 就不能依靠度量的手段和观察、试验、验证的方法，而必须进行推理 论证一对于一般的三角形，推出它的三个内角的和等于一个平角， 从而得出“无论三角形的具体形状如何，它的内角和一定等于180” 小明：现在我明白了，一个数学命题是否正确，需要经过理由 充足、使人信服的推理论证才能得出结论.观察、试验等是发现数 学公式、定理的重要途径，而证明则是确认数学公式、定理的必要 步聚 18第十一章三角形
11.3多边形及其内角和 11.3.1多边形 观察图11.31中的图片，其中的房屋结构、蜂巢结构等给我们以由一些线段 围成的图形的形象，你能从图11.31中想象出几个由一些线段围成的图形吗？ 田 11.3-1 我们学过三角形.类似地，在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封 闭图形叫做多边形(polygon). 多边形按组成它的线段的条数分成三角形 四边形、五边形.三角形是最简单的多边形 如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多 边形就叫做n边形.如图11.32，螺母底面的 边缘可以设计为六边形，也可以设计为八边形 图11.3-2 多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.图11.33中的∠A,∠B, ∠C,∠D,∠E是五边形ABCDE的5个内角.多边形的边与它的邻边的延长线组 成的角叫做多边形的外角.图11.34中的∠1是五边形ABCDE的一个外角. 图11.3-3 图11.34 第十一章三角形19
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线(diagonal) 图11.3-5中，AC,AD是五边形ABCDE的两条对角线. 五边形 ABCDE共有几条 对角线？请画出它 的其他对角线 图11.3-5 如图11.3-6(1)，画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD)所在直 线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形.而图 11.3-6(2)中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD(或BC)所 在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧.类似地，画出多边形的任何一 条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是 凸多边形本节只讨论凸多边形. (2 图11.3-6 我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等，像正方形这样，各个 角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形(regular polygon).图11.3-7是 正多边形的一些例子. 正三角形 正方形 正五边形 正大边形 图11,3-7 20第十一章三角形
1.画出下列多边形的全部对角线 (第1题) 2.四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点出发，可 以画出几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？ 11.3.2多边形的内角和 公思考 我们知道，三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都 等于360°.那么，任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？你能利用 三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°吗？ 要用三角形内角和定理证明四边形的内角和 等于360°，只要将四边形分成几个三角形即可. 如图11.3-8，在四边形ABCD中，连接对 角线AC,则四边形ABCD被分为△ABC和 △ACD两个三角形. 图11.3-8 由此可得 ∠DAB+∠B+∠BCD+∠D =∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D =(∠1+∠B+∠3)+（∠2+∠4+∠D) :∠1+∠B+∠3=180°， ∠2+∠4+∠D=180°， ∴.∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=180°+180°=360° 即四边形的内角和等于360° 类比上面的过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗？ 第十一章三角形21
观察图11.3-9，填空： 图11.3-9 从五边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它们将五边形分为 个三角形，五边形的内角和等于180°X 从六边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它们将六边形分为 个三角形，六边形的内角和等于180°× 通过以上过程，你能发现多边形的内角和与 边数的关系吗？ 把一个多边形 一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作 分成几个三角形，还 (n-3)条对角线，它们将n边形分为(n一2 有其他分法吗？由新 个三角形，n边形的内角和等于180°×(n一2). 的分法，能得出多边 形内角和公式吗？ 这样就得出了多边形内角和公式 n边形内角和等于(n一2)×180° 例1如果一个四边形的一组对角互补，那 么另一组对角有什么关系？ 解：如图11.3-10，在四边形ABCD中， ∠A+∠C=180° :∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)X180° =360°， ∴·.∠B+∠D=360°-（∠A+∠C) 图11.3-10 =360°-180°=180. 这就是说，如果四边形的一组对角互补，那 么另一组对角也互补 例2如图11.3-11，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的 和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少？ 22第十一章三角形